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2019-2020年高二數學《等比數列的前n項和》教學設計 一、內容與解析 (一）內容：等比數列前n項和的公式及推導，前n項和的公式的性質及應用。 （二）解析：本節(jié)課要學的內容等比數列前n項和，指的是等比數列前n項和的公式及推導，前n項和的公式的性質及應用.學生已經學習了等比數列的概念,本節(jié)課的內容就是在此基礎上的發(fā)展.由于它還與數列求和有聯系,所以在本學科有基礎地位,是本學科的重要內容.教學的重點是公式的應用,解決重點的關鍵是強調基本量的概念和方程的思想。 二、教學目標及解析 1.了解前n項和的公式的推導方法，理解并掌握前n項和的公式結構特征。 2.掌握前n項和的公式的相關性質。 3.能靈活運用前n項公式的應用。 三、問題診斷分析 在本節(jié)課的教學中,學生可能遇到的問題是求和公式的推導思想的理解以及如何應用,產生這一問題的原因是公式中量太多.要解決這一問題,就是要強調基本量的概念. 四、教學支持條件分析 五、教學過程 問題1.教學導圖 前n項和的公式的推導過程 前n項和的公式的結構特征 前n項和的公式的直接應用 前n項和的公式的相關性質 等比數列的實際應用 問題2.前n項和公式的推導 1.國際象棋起源于古代印度。相傳國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他想要什么。發(fā)明者說：“請在棋盤的第1格子里放上1顆麥粒，第2個格子里放上2顆麥粒，第3個格子里放上4顆麥粒，依次類推，每個格子里放的麥粒都是前一個格子里放的麥粒數的2倍，直到第64個格子。請給我足夠的麥粒以實現上述要求?！眹跤X得這個要求不高，就欣然同意了。假定千粒麥粒的質量為40克，據查，目前世界年度小麥產量約為6億噸，根據以上數據，判斷國王是否能實現他的諾言。 (1)每個格子里放的麥粒數可以構成一個數列,請判斷分析這個數列是否是等比數列?并寫出這個等比數列的通項公式. (2)請將發(fā)明者的要求表述成數學問題. (3)如何求解該問題. 2.一般地,對于等比數列,它的前n項和是 (1)利用它的通項公式,你能轉化成什么式子呢? (2)觀察等式右邊的任意相鄰兩項,你發(fā)現了什么? (3)根據你的發(fā)現,你能構造一個新的等式,使得這兩個等式有很多相同的項嗎? (4)你可以采取什么樣的運算,使得這些相同項消失呢?試試看,你得到了什么? (5)在上述運算過程中,你發(fā)現什么不妥嗎?請改進. (6)綜合上述的過程,請總結一下等比數列的前n項和的公式及推導方法。 3. 對于等比數列，我們有：， 又它的前n項和是，你能通過比例性質來得到等比數列的前n項和的公式嗎？試試。 4.再次利用等比數列的通項公式，你能得到等比數列的前n項和的公式的變式吧。 5.用所得到的公式求一求上述問題中，國王應該給發(fā)明者多少麥子？ 問題3.求下列等比數列前8項的和。 六、課堂目標檢測 P58 練習 第1題 七、課堂小結及作業(yè)布置 本節(jié)課你學習了什么內容，學會了什么方法？ 等比數列的前n項和公式，學會了錯位相減法，用方程的思想求解相關問題 作業(yè)：P61習題 A組第1題 B組第1題 第2課時 用等比數列的相關知識解決實際問題 問題1.復習等比數列的概念、通項公式與前n項和的公式 問題2.某商場今年銷售計算機5000臺。如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增加10%，那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達到30000臺（結果保留到個位）？ （1）總銷售量是指什么？ （2）每年的銷售量有什么規(guī)律？如何用數學語言來表述這些規(guī)律？ （3）實際問題要求的是什么？如何用數學語言來表述？ （4）請用相關的數學知識解決該問題。 問題3.請參照上述解法解決下列問題： （1）某市近10年的國內生產總值從xx億元開始以10%的速度增長，這個城市近10年的國內生產總值一共是多少？ （2）某企業(yè)去年的產值是138萬元，計劃在今后5年內每年比上一年產值增長10%，這5年的總產值是多少？ （3）如圖，畫一個邊長為2cm的正方形，再將這個正方形各邊的中點相連得到第2個正方形，依此類推，這樣一共畫了10個正方形。求： 第10個正方形的面積； 這10個正方形面積的和。 課堂小結： 本節(jié)課你學會了什么？ 課堂目標檢測 一個球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下。 （1）當它第10次著地時，經過的路程共是多少？ （2）當它第幾次著地時，經過的路程共是293.75m? 課外作業(yè)： P62 B組第3題 第3課時 探索等比數列前n項和的相關性質 問題1.如果一個等比數列前5項的和等于10，前10項的和等于50，那么它前15項的和等于多少？ （1） 根據前n項和的公式來求解 （2） 類比等差數列前n項和公式的函數特征，是否也可以用等比數列前n項和公式的函數特征求解呢？ （3） 我們知道等差數列的前n項和公式有一個重要性質，這個性質在等比數列中仍成立嗎？若成立，請證明，并用該性質求解此題。 （4） 若將上述問題中的“和”換成“積”，又有什么結論呢？ 變式：在一個等比數列中，已知 4 ,12 ,求與 問題2.已知是等比數列的前n項和，成等差數列，求證：成等差數列 變式1.題設不變時，求證：成等差數列；成等差數列； 變式2.上述問題的逆命題成立嗎？