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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上冊 8.2向量的數(shù)量積教案 滬教版 教學(xué)目標(biāo)設(shè)計 1．深刻領(lǐng)會向量的數(shù)量積的概念和運算性質(zhì)、向量的夾角公式及其內(nèi)涵、兩向量垂直的充要條件； 2．掌握求向量的長度、求兩個向量的夾角、判斷兩個向量垂直的技能和方法； 3．初步運用向量的方法解決一些簡單的幾何問題，領(lǐng)略向量的數(shù)量積的數(shù)學(xué)價值； 4．通過對問題的分析研究，體會數(shù)學(xué)思考的過程． 教學(xué)重點及難點 重點：向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)、向量的夾角公式、向量垂直的條件及其應(yīng)用； 難點：向量的夾角公式的應(yīng)用. 教學(xué)用具準(zhǔn)備 直尺，投影儀 教學(xué)過程設(shè)計 一．情景引入： 1．復(fù)習(xí)回顧 (1)兩個非零向量的夾角的概念： 對于兩個非零向量，如果以為起點，作，那么射線的夾角叫做向量與向量的夾角，其中． (2)平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義： 如果兩個非零向量的夾角為（），那么我們把叫做向量與向量的數(shù)量積，記做，即．并規(guī)定與 任何向量的數(shù)量積為0． (3) “投影”的概念： 定義：叫做向量在方向上的投影． 投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0時投影為；當(dāng)q = 180時投影為． (4)向量的數(shù)量積的幾何意義： 數(shù)量積等于的長度與在方向上投影|的乘積． (5)向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)： 對于，有 （1）當(dāng)且僅當(dāng)時，＝ （2） （3） （4） ２．分析思考： (1)類比實數(shù)的運算性質(zhì)，向量的數(shù)量積結(jié)合律是否成立？ 學(xué)生通過討論，回答：一般不成立 (2)如果一個物體在大小為２牛頓的力的作用下，向前移動１米，其所做的功的大小為１焦耳，問力的方向與運動方向的夾角是否為？ 分析：設(shè)該物體在力的作用下產(chǎn)生位移，所做的功為，與的夾角為， 則由知 二．學(xué)習(xí)新課: 1.向量的夾角公式: 在學(xué)習(xí)了向量數(shù)量積的定義之后，我們很容易推導(dǎo)出兩個非零向量的夾角滿足 因此,當(dāng)時,,反之,當(dāng)時, .考慮到可與任何向量垂直,所以可得： 兩個向量垂直的充要條件是． ２.例題分析 例1：化簡:．(課本P66例2) 解: = = = 例2:已知,且與的夾角為,求．(課本P66例3) 解: 所以 例3：已知,垂直,求的值．(課本P66例4) 解： 因為垂直，所以 化簡得 即 由已知，可得 解得 ． 所以，當(dāng)時，垂直． 例4：已知、都是非零向量，且與垂直，與垂直，求與的夾角． 解：由 ① ② 兩式相減： 代入①或②得： 設(shè)、的夾角為q，則 ∴q = 60 ３.問題拓展 例5．利用向量數(shù)量積的運算證明半圓上的圓周角是直角． 證明：設(shè)AB是⊙O直徑，半徑為r 設(shè),則;,則 則 ，即∠ACB是直角． 三．鞏固練習(xí) 1已知,(1)若∥,求； (2)若與的夾角為60，求； (3)若與垂直，求與的夾角． 2已知,向量與的位置關(guān)系為（ ） A．平行 B．垂直 C．夾角為 D．不平行也不垂直 3已知,與之間的夾角為，則向量的模為（ ） A．2 B．2 C．6 D．12 4已知與是非零向量，則是與垂直的（ ） A．充分但不必要條件 B．必要但不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 四．課堂小結(jié) 1．向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)； ２．兩向量的夾角公式； ３．兩個向量垂直的充要條件； 4．求向量的模、兩個向量的夾角、判斷兩個向量垂直的技能和方法． 五．作業(yè)布置 練習(xí)8.2(1) P67 T2、T3、T4 ； P35 T3 、 T4 思考題 1已知向量與的夾角為，,則|+||-|= ． 2已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐標(biāo)系中軸、軸正方向上的單位向量，那么= ． 3已知⊥、與、的夾角均為60，且則＝_____ _． 4對于兩個非零向量與，求使最小時的t值，并求此時與的夾角． 5求證：平行四邊形兩條對角線平方和等于四條邊的平方和 教學(xué)設(shè)計說明及反思 本節(jié)課是在上節(jié)課學(xué)習(xí)了向量的數(shù)量積的概念、向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)之后．再一次拋出物理模型問題，學(xué)生通過交流、分析．討論，解決問題．進(jìn)一步推而廣之，由數(shù)量積的定義，通過變形十分容易的導(dǎo)出向量的夾角公式．并推出了兩向量垂直的充要條件．之后，通過例題分析，學(xué)生體驗了運用向量的數(shù)量積的定義和運算性質(zhì)求向量的模、向量的夾角、以及研究一些簡單幾何問題的過程．學(xué)生獲取了知識、掌握了方法、提高了技能、訓(xùn)練了能力．