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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 10.5 二項(xiàng)式定理教案 ●知識梳理 1.二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ). 2.二項(xiàng)展開式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 3.利用二項(xiàng)式展開式可以證明整除性問題，討論項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式，進(jìn)行近似計(jì)算等. ●點(diǎn)擊雙基 1.已知（1－3x）9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9，則｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于 A.29 B.49 C.39 D.1 解析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負(fù)值， ∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9. ∴已知條件中只需賦值x=－1即可. 答案：B 2.（xx年江蘇，7）（2x+）4的展開式中x3的系數(shù)是 A.6 B.12 C.24 D.48 解析：（2x+）4=x2（1+2）4，在（1+2）4中，x的系數(shù)為C22=24. 答案：C 3.（xx年全國Ⅰ，5）（2x3－）7的展開式中常數(shù)項(xiàng)是 A.14 B.－14 C.42 D.－42 解析：設(shè)（2x3－）7的展開式中的第r+1項(xiàng)是T=C（2x3）（－）r=C2 （－1）rx， 當(dāng)－+3（7－r）=0，即r=6時(shí)，它為常數(shù)項(xiàng)，∴C（－1）621=14. 答案：A 4.（xx年湖北，文14）已知（x+x）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是128，則展開式中x5的系數(shù)是_____________.（以數(shù)字作答） 解析：∵（x+x）n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為128， ∴令x=1，即得所有項(xiàng)系數(shù)和為2n=128. ∴n=7.設(shè)該二項(xiàng)展開式中的r+1項(xiàng)為T=C（x）（x）r=Cx， 令=5即r=3時(shí)，x5項(xiàng)的系數(shù)為C=35. 答案：35 5.若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=_____________. 解析：a∶b=C∶C=3∶1，n=11. 答案：11 ●典例剖析 【例1】 如果在（+）n的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng). 解：展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1，，， 由題意得2=1+，得n=8. 設(shè)第r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，T=Cx，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8. 有理項(xiàng)為T1=x4，T5=x，T9=. 評述：求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定r. 【例2】 求式子（｜x｜+－2）3的展開式中的常數(shù)項(xiàng). 解法一：（｜x｜+－2）3=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到常數(shù)項(xiàng)的情況有：①三個(gè)括號中全?。?，得（－2）3；②一個(gè)括號?。黿｜，一個(gè)括號取，一個(gè)括號?。?，得CC（－2）=－12， ∴常數(shù)項(xiàng)為（－2）3+（－12）=－20. 解法二：（|x|+－2）3=（－）6. 設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)， 則T=C（－1）r（）r|x|=（－1）6C|x|，得6－2r=0，r=3. ∴T3+1=（－1）3C=－20. 思考討論 （1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展開式中x4的系數(shù)； （2）求（x+－4）4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)； （3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展開式中x3的系數(shù). 解：（1）原式=（1－x）7=（1－x4）（1－x）6，展開式中x4的系數(shù)為（－1）4C－ 1=14. （2）（x+－4）4==，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C（－1）4=1120. （3）方法一：原式==. 展開式中x3的系數(shù)為C. 方法二：原展開式中x3的系數(shù)為 C+C+C+…+C=C+C+…+C=C+C+…+C=…=C. 評述：把所給式子轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)展開式形式是解決此類問題的關(guān)鍵. 【例3】 設(shè)an=1+q+q2+…+q（n∈N*，q≠1），An=Ca1+Ca2+…+Can. （1）用q和n表示An； （2）（理）當(dāng)－32.所以2<（1+）n<3. ●思悟小結(jié) 1.在使用通項(xiàng)公式T=Cbr時(shí)，要注意： （1）通項(xiàng)公式是表示第r＋1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng). （2）展開式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C與第r+1項(xiàng)的系數(shù)不同. （3）通項(xiàng)公式中含有a，b，n，r，T五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求出第五個(gè)元素.在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中，常常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè)，求另外幾個(gè)元素的問題，這類問題一般是利用通項(xiàng)公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負(fù)整數(shù)且r≤n. 2.證明組合恒等式常用賦值法. ●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 1.要正確理解二項(xiàng)式定理，準(zhǔn)確地寫出二項(xiàng)式的展開式. 2.要注意區(qū)分項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù). 3.要注意二項(xiàng)式定理在近似計(jì)算及證明整除性中的應(yīng)用. 4.通項(xiàng)公式及其應(yīng)用是二項(xiàng)式定理的基本問題，要熟練掌握. 拓展題例 【例題】 求（a－2b－3c）10的展開式中含a3b4c3項(xiàng)的系數(shù). 解：（a－2b－3c）10=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），從10個(gè)括號中任取3個(gè)括號，從中取a；再從剩余7個(gè)括號中任取4個(gè)括號，從中?。?b；最后從剩余的3個(gè)括號中?。?c，得含a3b4c3的項(xiàng)為Ca3C（－2b）4C（－3c）3=CCC（－3）3a3b4c3.所以含a3b4c3項(xiàng)的系數(shù)為－CC1627.