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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 6.1 不等式的性質(zhì)教案 ●網(wǎng)絡(luò)體系總覽 ●考點目標定位 1.理解不等式的性質(zhì)及應(yīng)用. 2.掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單地應(yīng)用. 3.掌握比較法、分析法、綜合法證明簡單的不等式. 4.掌握不等式的解法. 5.理解不等式|a|－|b|≤|ab|≤|a|+|b|. ●復習方略指南 本章內(nèi)容在高考中，以考查不等式的性質(zhì)、證明、解法和最值方面的應(yīng)用為重點，多數(shù)是與函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、幾何綜合在一起被考查，單獨考查不等式的問題較少，尤其是不等式的證明題. 借助不等式的性質(zhì)及證明，主要考查函數(shù)方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學思想方法.含參數(shù)不等式的解法與討論，不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角等內(nèi)容的綜合問題，仍將是今后高考命題的熱點. 本章內(nèi)容理論性強，知識覆蓋面廣，因此復習中應(yīng)注意： 1.復習不等式的性質(zhì)時，要克服“想當然”和“顯然成立”的思維定勢，要以比較準則和實數(shù)的運算法則為依據(jù). 2.不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外，還有反證法、換元法、判別式法、構(gòu)造法、幾何法，這些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧賓奪主. 3.解（證）某些不等式時，要把函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性結(jié)合起來. 4.注意重要不等式和常用思想方法在解題中的作用. 5.利用平均值定理解決問題時，要注意滿足定理成立的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”. 6.對于含有絕對值的不等式（問題），要緊緊抓住絕對值的定義實質(zhì)，充分利用絕對值的幾何意義. 7.要強化不等式的應(yīng)用意識，同時要注意到不等式與函數(shù)方程的對比與聯(lián)系.  6.1 不等式的性質(zhì) ●知識梳理 1.比較準則：a－b＞0a＞b； a－b=0a=b；a－b＜0a＜b. 2.基本性質(zhì)：（1）a＞bb＜a. （2）a＞b，b＞ca＞c. （3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d. （4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd. （5）a＞b＞0＞（n∈N，n＞1）；a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）. 3.要注意不等式性質(zhì)成立的條件.例如，重要結(jié)論：a＞b，ab＞0＜，不能弱化條件得a＞b＜，也不能強化條件得a＞b＞0＜. 4.要正確處理帶等號的情況.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，當且僅當a=b且b=c時，才會有a=c. 5.性質(zhì)（3）的推論以及性質(zhì)（4）的推論可以推廣到兩個以上的同向不等式. 6.性質(zhì)（5）中的指數(shù)n可以推廣到任意正數(shù)的情形. 特別提示 不等式的性質(zhì)從形式上可分兩類：一類是“”型；另一類是“”型.要注意二者的區(qū)別. ●點擊雙基 1.若a＜b＜0，則下列不等式不能成立的是 A.＞ B.2a＞2b C.|a|＞|b| D.（）a＞（）b 解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a＜b，即＞成立； 由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立. 又（）x是減函數(shù)，所以（）a＞（）b成立.故不成立的是B. 答案：B 2.（xx年春季北京，7）已知三個不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均為實數(shù)），用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出－＞0. bc－ad＞0，兩端同除以ab，得－＞0. 同樣由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0. ab＞0. 答案：D 3.設(shè)α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范圍是 A.（0，） B.（－，） C.（0，π） D.（－，π） 解析：由題設(shè)得0＜2α＜π，0≤≤.∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π. 答案：D 4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，則，，，的由大到小的順序是____________. 解析：特殊值法即可 答案：＞＞＞ 5.設(shè)a=2－，b=－2，c=5－2，則a、b、c之間的大小關(guān)系為____________. 解析：a=2－=－＜0，∴b＞0. c=5－2=－＞0. b－c=3－7=－＜0. ∴c＞b＞a. 答案：c＞b＞a ●典例剖析 【例1】 已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范圍. 剖析：∵a+b，a－b的范圍已知， ∴要求2a+3b的取值范圍，只需將2a+3b用已知量a+b，a－b表示出來. 可設(shè)2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系數(shù)法求出x、y. 解：設(shè)2a+3b=x（a+b）+y（a－b），∴解得 ∴－＜（a+b）＜，－2＜－（a－b）＜－1. ∴－＜（a+b）－（a－b）＜，即－＜2a+3b＜. 評述：解此題常見錯誤是：－1＜a+b＜3， ① 2＜a－b＜4. ② ①+②得1＜2a＜7. ③ 由②得－4＜b－a＜－2. ④ ①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜. ⑤ ③+⑤得－＜2a+3b＜. 思考討論 1.評述中解法錯在何處? 2.該類問題用線性規(guī)劃能解嗎?并試著解決如下問題： 已知函數(shù)f（x）=ax2－c，滿足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值. 答案：20 －1 【例2】 （xx年福建，3）命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要條件；命題q：函數(shù)y=的定義域是（－∞，－1］∪［3，+∞），則 A.“p或q”為假 B.“p且q”為真 C. p真q假 D. p假q真 剖析：只需弄清命題p、q的真假即可. 解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1， 而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命題p為假. 又函數(shù)y=的定義域為|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2. ∴x≤－1或x≥3.∴q為真. 答案：D 【例3】 比較1+logx3與2logx2（x＞0且x≠1）的大小. 剖析：由于要比較的兩個數(shù)都是對數(shù)，我們聯(lián)系到對數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性. 解：（1+logx3）－2logx2=logx. 當或即0＜x＜1或x＞時，有l(wèi)ogx＞0，1+logx3＞2logx2. 當①或②時，logx＜0. 解①得無解，解②得1＜x＜，即當1＜x＜時，有l(wèi)ogx＜0，1+logx3＜2logx2. 當x=1，即x=時，有l(wèi)ogx=0.∴1+logx3=2logx2. 綜上所述，當0＜x＜1或x＞時，1+logx3＞2logx2； 當1＜x＜時，1+logx3＜2logx2； 當x=時，1+logx3=2logx2. 評述：作差看符號是比較兩數(shù)大小的常用方法，在分類討論時，要做到不重復、不遺漏. 深化拓展 函數(shù)f（x）=x2+（b－1）x+c的圖象與x軸交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.當t＜x1時，比較t2+bt+c與x1的大小. 提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2）， ∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x. 把t2+bt+c與x1作差即可. 答案：t2+bt+c＞x1. ●闖關(guān)訓練 夯實基礎(chǔ) 1.（xx年遼寧，2）對于0＜a＜1，給出下列四個不等式： ①loga（1+a）＜loga（1+）；②loga（1+a）＞loga（1+）；③a1+a＜a1；④a1+a＞a.其中成立的是 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 解析：∵0＜a＜1，∴a＜，從而1+a＜1+.∴l(xiāng)oga（1+a）＞loga（1+）. 又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.故②與④成立. 答案：D 2.若p=a+（a＞2），q=2，則 A.p＞q B.p＜q C.p≥q D.p≤q 解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q. 答案：A 3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，C=，D=則A、B、C、D按從小到大的順序排列起來是____________. 解析：取特殊值a=－，計算可得A=，B=，C=，D=. ∴D＜B＜A＜C. 答案：D＜B＜A＜C 4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是____________. 解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3. 答案：（－3，3） 5.已知a＞2，b＞2，試比較a+b與ab的大小. 解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1， 又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1. ∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b. 6.設(shè)A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，當x∈R+，n∈N時，求證：A≥B. 證明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x） =x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）. 由x∈R+，x－n＞0，得 當x≥1時，x－1≥0，x2n－1－1≥0； 當x＜1時，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1與x2n－1－1同號.∴A－B≥0.∴A≥B. 培養(yǎng)能力 7.設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠，試比較|log3a（1－x）3|與|log3a（1+x）3|的大小. 解：∵0＜x＜1，∴①當3a＞1，即a＞時， |log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）| =3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］=－3log3a（1－x2）. ∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0. ②當0＜3a＜1，即0＜a＜時， |log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］ =3log3a（1－x2）＞0. 綜上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|. 8.設(shè)a1≈，令a2=1+. （1）證明介于a1、a2之間； （2）求a1、a2中哪一個更接近于； （3）你能設(shè)計一個比a2更接近于的一個a3嗎？并說明理由. （1）證明：（－a1）（－a2）=（－a1） （－1－）=＜0. ∴介于a1、a2之間. （2）解：|－a2|=|－1－|=|| =|－a1|＜|－a1|. ∴a2比a1更接近于. （3）解：令a3=1+，則a3比a2更接近于. 由（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|. 探究創(chuàng)新 9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比較（1+x）n與1+nx的大小. 解：設(shè)f（x）=（1+x）n－（1+nx），則（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］. 由（x）=0得x=0. 當x∈（－1，0）時，（x）＜0，f（x）在（－1，0）上遞減. 當x∈（0，+∞）時，（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增. ∴x=0時，f（x）最小，最小值為0，即f（x）≥0. ∴（1+x）n≥1+nx. 評述：理科學生也可以用數(shù)學歸納法證明. ●思悟小結(jié) 1.不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對任意兩實數(shù)a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，這是比較兩數(shù)（式）大小的理論根據(jù)，也是學習不等式的基石. 2.一定要在理解的基礎(chǔ)上記準、記熟不等式的性質(zhì)，并注意解題中靈活、準確地加以應(yīng)用. 3.對兩個（或兩個以上）不等式同加（或同乘）時一定要注意不等式是否同向（且大于零）. 4.對于含參問題的大小比較要注意分類討論. ●教師下載中心 教學點睛 1.加強化歸意識，把比較大小問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算. 2.通過復習要強化不等式“運算”的條件.如a＞b、c＞d在什么條件下才能推出ac＞bd. 3.強化函數(shù)的性質(zhì)在大小比較中的重要作用，加強知識間的聯(lián)系. 拓展題例 【例1】 已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）. （1）比較m+n與0的大小； （2）比較f（）與f（）的大小. 剖析：本題關(guān)鍵是如何去掉絕對值號，然后再判斷差的符號. 解：（1）∵f（m）=f（n），∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|. ∴l(xiāng)og22（m+1）=log22（n+1）. ∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0， log2（m+1）（n+1）log2=0. ∵m＜n，∴≠1.∴l(xiāng)og2（m+1）（n+1）=0. ∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0. 當m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）時， 由函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性知x∈（－1，0］時，f（x）為減函數(shù)，x∈［0，+∞）時，f（x）為增函數(shù)，f（m）≠f（n）. ∴－1＜m＜0，n＞0.∴mn＜0. ∴m+n=－mn＞0. （2）f（）=|log2|=－log2=log2， f（）=|log2|=log2. －==－＞0. ∴f（）＞f（）. 【例2】 某家庭準備利用假期到某地旅游，有甲、乙兩家旅行社提供兩種優(yōu)惠方案，甲旅行社的方案是：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優(yōu)惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集體票，可按七五折優(yōu)惠.如果甲、乙兩家旅行社的原價相同，請問該家庭選擇哪家旅行社外出旅游合算？ 解：設(shè)該家庭除戶主外，還有x人參加旅游，甲、乙兩旅行社收費總金額分別為y1和y2.一張全票價格為a元， 那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a. ∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）. ∴當x＞1.25時，y1＜y2； 當x＜1.25時，y1＞y2.又因x為正整數(shù)， 所以當x=1，即兩口之家應(yīng)選擇乙旅行社； 當x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭應(yīng)選擇甲旅行社.