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2019-2020年中考數(shù)學 知識點聚焦 第十七章 圖形的全等與相似 考 情 分 析 高頻考點 考查頻率 所占分值 1.命題 ★ 6～9分 2.全等三角形的判定和性質 ★★★ 3.角平分線的性質定理及逆定理 ★ 4.線段垂直平分線的性質定理及逆定理 ★★ 5.等腰三角形中“三線合一”及“等邊對等角” ★★ 6.等邊三角形的性質 ★ 7.平行線分線段成比例 ★ 8.相似三角形的判定和性質 ★★★ 2間接證法 （1）反證法：先假設命題的結論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫作反證法。 用反證法證明的一般步驟： ①假設命題的結論不成立； ②由假設推導出矛盾（與基本事實、定理、定義、已知條件等矛盾）； ③由矛盾判定所作假設不成立，從而肯定原命題的結論成立。 （2）反例法：判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子（反例），它符合命題的題設，但不滿足結論就可以了。 方法技巧歸納 方法技巧（一）命題的識別法 判斷語句是否為命題要抓住兩條：（1）命題必須是一個完整的帶有判斷性語氣的句子，通常是陳述句（包括肯定句和否定句），而疑問句和命令性語句都不是命題；（2）命題必須對某件事作出肯定或者否定的判斷。 注意 只有對一件事情作出肯定或否定判斷的語句，才是命題。如果一個句子既沒有肯定什么，也沒有否定什么，那么它一定不是命題。 方法技巧（二）命題的題設與結論的識別法 如果是用“如果……那么……”的形式表示的命題，那么以“如果”開始的部分是題設，以“那么”開始的部分是結論；如果不是用“如果……那么……”的形式表示的命題，那么一般先將其改寫成“如果……那么……”的形式，再找題設和結論。 點撥 準確地把命題改寫為“如果……那么……”的形式，對找命題的題設與結論有很大幫助。 方法技巧（三）識別真、假命題的方法 首先應掌握一些公式、性質、判定等，這些都是真命題，另外有些命題要通過分析判斷真假。要證明一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可。 點撥 舉反例是說明命題是假命題的重要方法。 方法技巧（四）找一個命題的逆命題的方法 首先找出原命題的題設與結論，然后把題設與結論互換就可以找到其逆命題。 點撥 一個命題一定有逆命題，但當原命題是真命題時，其逆命題不一定是真命題。 方法技巧（五）用反證法證明命題的方法 反證法一般從結論的反面出發(fā)，先假設命題的結論不成立，經(jīng)過推理得出矛盾，從而肯定原結論正確。 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.逆命題與逆定理。 區(qū)別：所有的命題都有逆命題，當然真命題也不例外，但由于真命題的逆命題不一定是真命題，因此不是所有的定理都有逆定理。 2.反證法與舉反例。 區(qū)別：反證法是從結論的反面證明命題正確的方法，而舉反例是說明命題為假命題的方法。 易混易錯（一）命題的題設與結論區(qū)分不準確致錯 易混易錯（二）用反證法證題時，結論反面找錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 證明題是中考中必不可少的部分，占分較多，涉及直線、三角形、四邊形、圓等各章知識，題型有說理題、探究開放題等，對于命題、概念的考查主要以填空題、選擇題為主。 中考試題（一）反證法的應用 中考試題（二）真、假命題的判斷 第39講 全等三角形 知能解讀（一）全等形 能夠完全重合的兩個圖形叫作全等形。 知能解讀（二）全等三角形 1全等三角形的概念及表示方法 （1）概念：能夠完全重合的兩個三角形叫作全等三角形。 把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫作對應頂點，重合的邊叫作對應邊，重合的角叫作對應角。 （2）全等三角形的符號表示、讀法：與全等，記作，“”讀作“全等于”。 注意 （1）記兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應的位置上。 （2）找全等三角形對應邊、對應角的幾種常用方法： ①全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊。 ②全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角。 ③有公共邊的，公共邊是對應邊。 ④有公共角的，公共角是對應角。 ⑤有對頂角的，對頂角是對應角。 ⑥兩個全等三角形中一對最長邊（或最大角）是對應邊（或對應角），一對最短邊（或最小角）是對應邊（或對應角）。 ⑦由全等三角形的表示方法確定對應邊和對應角，如：若，則AB和DE，AC和DF，BC和EF分別是對應邊；和，和，和分別是對應角。 2全等三角形的性質 （1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等。（2）全等三角形對應邊上的高、中線以及對應角的平分線相等。（3）全等三角形的周長相等，面積相等。 3三角形全等的判定方法 （1）三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊邊邊”或“SSS"（基本事實）； （2）兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS’（基本事實）； （3）兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角邊角”或“ASA’（基本事實）； （4）兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“角角邊”或“AAS"； （5）斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等，簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”。 注意 “SSA”“AAA’不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與。非直角三角形中，如果有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角。 4三角形全等的證題思路 （1） （2） （3） 5全等變換（拓展） 一個圖形與另一個圖形的形狀一樣，大小相等，只是位置不同，我們稱這個圖形是另一個圖形的全等變換。三種基本全等變換：（1）旋轉；（2）翻轉；（3）平移。 知能解讀（三）角平分線的性質定理及逆定理 （1）性質定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。 注意 （1）定理作用：①證明線段相等；②為證明三角形全等準備條件。 （2）如圖所示，點P在的平分線上，于點D，于點E，則。 （3）性質定理中的“距離”是指點到射線的距離，是垂線段的長度。 （2）性質定理的逆定理：角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。 注意 如圖1-39-1所示，，，根據(jù)“HL”得，，是的平分線。 （3）三角形的三個內角的平分線交于一點，此點到三角形三邊的距離相。 方法技巧歸納 方法技巧（一）利用全等三角形的性質求線段長或角的度數(shù)的方法 解答這類問題時，一般先根據(jù)全等三角形的對應邊（或角）相等，找出相等的邊（或角），然后利用邊（或角）的和差關系以及三角形內角和定理等求出所求的邊（或角）。 方法技巧（二）三角形全等的判定、性質與角平分線判定定理的綜合應用 在解決三角形中邊或角的問題時，可結合已知條件和隱含條件，看是否能通過三角形的全等來解決，同時選擇合適的判定方法。 點撥 如果一個點到角的兩邊的距離相等，且點在角的內部，那么這個點在這個角的平分線上。 方法技巧（三）利用三角形全等解決實際問題 首先將實際問題轉化為全等三角形問題，然后利用全等三角形的判定和性質解決問題。 點撥 利用全等三角形的性質解決實際問題，關鍵是正確建立全等三角形模型。 易混易錯辨析 易混易錯知識 混淆“HL”與“SSA”。 一般的兩個三角形滿足兩邊及其中一邊的對角對應相等即“SSA”條件時，它們并不全等，但當其中的“A”是直角時，這兩個直角三角形就是全等的，這就是判定兩個直角三角形全等特有的“HL’定理。 易混易錯（一）錯用兩邊及一角對應相等說明三角形全等 易混易錯（二）利用角平分線的性質定理時，混淆“點與點”與“點與線”之間的距離致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 運用三角形全等的性質和判定進行有關的計算和推理，運用三角形全等的知識解決一些實際問題都是中考重點考查的內容。另外本講知識還常與四邊形、圓等構成綜合題，考查綜合運用知識解決問題的能力。近幾年添加的有關全等的條件或結論的開放性問題也成為中考的熱點，題型有選擇題、填空題、解答題。 中考試題（一）添加全等的條件 中考試題（二）利用三角形全等的判定和性質進行證明 中考試題（三）綜合運用全等三角形的判定和性質 中考試題（四）全等三角形性質和判定的創(chuàng)新 點撥 本題考查了全等三角形的判定與性質，讀懂問題背景，作輔助線構造出全等三角形并兩次證明三角形全等是解題的關鍵，也是本題的難點。 第40講 等腰三角形 知識能力解讀 知能解讀（一）線段垂直平分線的概念 經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。 知能解讀（二）線段垂直平分線的性質定理 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。 注意 （1）線段垂直平分線性質定理的作用是：證明兩條線段相等。如圖所示，若CD垂直平分線段AB，則。 （2）在CD上任意取一點P都有。 知能解讀（三）線段垂直平分線性質定理的逆定理（判定定理） 與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。 從線段垂直平分線的性質定理及其逆定理可以看出：在線段AB的垂直平分線l上的點與A，B兩點的距離相等；反過來，與A，B兩點距離相等的點都在線段AB的垂直平分線l上，所以直線l可以看成是與A，B兩點距離相等的所有點的集合。 注意 （1）線段垂直平分線性質定理的逆定理的作用是：判定一點在線段的垂直平分線上。如圖1-40-2所示，若，則點P在線段AB的垂直平分線上。 （2）等腰三角形的頂點在底邊的垂直平分線上。 （3）如果兩點到一條線段的兩個端點的距離相等，那么這兩點所在的直線是該線段的垂直平分線。如圖所示，若，，則點C，D都在線段AB的垂直平分線上，CD與AB的交點O是線段AB的中點。 知能解讀（四）三角形三邊垂直平分線的性質 根據(jù)線段垂直平分線的性質定理可以得到：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三個頂點的距離相等。 注意 （1）此定理的作用是：證明線段相等.如圖所示，若邊AB，BC，CA的垂直平分線交于點P，則；（2）三角形兩邊的垂直平分線段的交點必在第三邊的垂直平分線上；（3）證明三線共點，可先找到兩直線交點，再證明第三條直線也過這一點；（4）銳角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形內部，直角三角形三邊垂直平分線的交點恰是斜邊中點，鈍角三角形三邊垂直平分線的交點在三角形外部；（5）此定理給出了作一個點使其到三個不共線的點距離相等的方法，只需順次連接這三點組成一個三角形，作這個三角形兩邊的垂直平分線，交點即為所求. 知能解讀（五）等腰三角形的性質 （1）等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成：等邊對等角”）； （2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合（簡寫成“三線合一”）； （3）等腰三角形是軸對稱圖形，其頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高所在的直線是它的對稱軸. 知能解讀（六）等腰三角形的判定 如果一個三角形有兩個相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）。 注意 （1）等腰三角形的判定定理和性質定理互為逆定理. （2）“等角對等邊”應用極為廣泛，往往通過計算三角形各角的度數(shù)得角相等，則可得邊相等. （3）底角為頂角2倍（頂角為，底角為）的等腰三角形非常特殊，其一條底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形. 知能解讀（七）等邊三角形的性質、判定 1　等邊三角形的性質 等邊三角形的三邊都相等，三個內角都相等，并且每一個角都等于。 注意 （1）等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸； （2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質. 等邊三角形的判定 （1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形； （2）三個角都相等的三角形是等邊三角形； （3）有一個角是的等腰三角形是等邊三角形。 注意 腰三角形的條件下.三個判定定理的前提不同，判定（1）和（2）是在普通三角形的條件下，判定（3）是在等腰三角形的條件下。 方法技巧歸納 方法技巧（一）利用線段垂直平分線的性質或判定進行計算和推理 線段垂直平分線的性質定理可直接用來證明兩條線段相等，而其逆定理可直接用來證明某一個點在線段的垂直平分線上，均不必證明三角形全等. 點撥 在解決有關線段或角的計算問題時，給合一元一次方程或二元一次方程組求解是一種比較常用的方法. 方法技巧（二）利用等腰三角形的性質求角的度數(shù)的方法 先利用等腰三角形的性質得到等角，再借助三角形內角和定理及內角與外角之間的關系，可以求角的度數(shù). 本題綜合考查了等腰三角形的性質和三角形內角和定理. 方法技巧（三）利用“三線合一”證明線段相等或角相等的方法 “三線合一”既可以提供等角、等線段，又可以提供直角，這些條件可用于證明線段相等或角相等. 點撥 使用“三線合一”的性質時應注意“三線”是指“底邊”上的三線.另外，“三線合一”的性質既是證明兩線段相等的方法，也是證明兩線垂直或某線是角平分線的方法. 方法技巧（四）利用“等角對等邊”證明線段相等的方法 如果所要證明的相等的兩條線段是同一個三角形的兩邊，可以先證明這兩邊所對的角相等，從而用“等角對等邊”來證明線段相等. 點撥 “等角對等邊”是繼全等三角形之后又一種證明線段相等的常用方法，應注意它的使用前提條件是線段在同一個三角形中. 方法技巧（五）等腰三角形判定和性質的綜合運用 在等腰三角形中尋長角或邊的等量關系時，首先考慮等腰三角形判定和性質的運用. 點撥 本題考查等腰三角形的判定，用到的知識有等腰三角形的性質、三角形內角和定理以及角平分線的定義等.解題時找出圖中的三角形，逐個證明. 方法技巧（六）利用等邊三角形的性質求角的度數(shù)或線段長度的方法 點撥 本題綜合運用等邊三角形的性質以及三角形內角和定理求角的度數(shù). 方法技巧（七）利用等邊三角形的性質證明線段相等的方法 等邊三角形的三條邊都相等，三個角都相等，為證明三角形全等提供了條件，由此可證明線段相等. 點撥 等腰三角形的底角相等、“三線合一”的性質以及等邊三角形三邊相等的性質常與三角形全等綜合使用證明線段相等. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.涉及等腰三角形腰上“高”的問題對由于考慮不全面漏解. 由于等腰三角形分為等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形，所以腰上“高”的位置不同. 2.線段的垂直平分線與過線段中點的直線相混淆. 區(qū)別：線段的垂直平分線過線段中點且與該線段垂直，而過線段中點的直線與線段不一定垂直. 考慮不全致誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 等腰三角形的考查包括邊的計算、角的計算以及與全等、相似結合進行計算，近年來也出現(xiàn)了一些操作型試問題，題型主要以填空題、選擇題為主，分值為3分左右，有些綜合性解答題分值占到8～10分. 中考試題（一）利用等腰三角形的相關知識求解 中考試題（二）利用等腰三角形的相關知識推理證明 第41講 相 似 知識能力解讀 知能解讀（一）圖形的相似 （1）相似圖形：我們把形狀相同的圖形叫作相似圖形.兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作由另一個圖形放大或縮小得到. （2）相似多邊形：兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫作相似多邊形. （3）相似比：相似多邊形對應邊的比叫作相似比. （4）線段成比例：對于四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的比（即它們長度的比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說這四條線段成比例. （5）相似多邊形的性質：相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例. 注意 （1）當兩個多邊形全等時，其相似比為1；反之，如果兩個相似多邊形的相似比為1，那么這兩個多邊形全等. （2）相似比是有順序的，如：若正方形ABCD與正方形的相似比為，則正方形與正方形ABCD的相似比. 知能解讀（二）平行線分線段成比例 （1）基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例. （2）推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例. 知能解讀（三）相似三角形 1　相似三角形及表示方法 2　相似三角形的判定 （1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似. （2）三邊成比例的兩個三角形相似. （3）兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似. （4）兩角分別相等的兩個三角形相似. （5）斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似. 3　相似三角形的性質 （1）相似三角形的對應角相等. （2）相似三角形的對應邊成比例. （3）相似三角形對應線段（對應高、對應中線、對應角平分線）的比等于相似比。 （4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。 拓展：相似三角形周長的比等于相似比。 4　相似三角形的應用 利用三角形相似，可以解決一些測量問題。 知能解讀（四）位似圖形的概念及性質 1　位似圖形 如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，對應邊互相平行，像這樣的兩個圖形叫作位似圖形，這點叫作位似中心，這時我們說這兩個圖形關于這點位似。 2　位似圖形的畫法 （1）確定位似中心；（2）分別連接位似中心和能代表原圖的關鍵點并延長；（3）根據(jù)位似比，找出所作的位似圖形的對應點；（4）順次連接上述各對應點，得到放大或縮小后的圖形。 3　直角坐標系中，位似圖形坐標之間的關系 一般地，在平面與直角坐標系中，如果以原點為位似中心，新圖形與原圖形的相似比為，那么與原圖形上的點對應的位似圖形上的點的坐標為或。 方法技巧歸納 方法技巧（一）求兩條線段的比的方法 兩條線段的比所表示的是兩數(shù)的相除關系，因此求兩條線段的比，只要把線段長度代入，然后約會就可以，在代入時應注意統(tǒng)一單位。 點撥 （1）比例尺就是圖上距離與實際距離的比；（2）求線段的比時單位要一致。 方法技巧（二）相似三解形的判定方法 相似三解形的判定方法除定義外還有四種，其中使用最多的是利用平行判定相似和兩角分別相等的兩個三解形相似；如果既有邊又有角的條件，那么可以考慮“兩邊夾角”的方法判定；如果只有邊的條件，那么可以考慮用“三邊成比例”的方法判定。 方法技巧（三）相似三解形性質的應用 利用相似三角形對應邊成比例來求線段的長度，有時通過尋找中間比組成比例式。 點撥 本題關鍵是抓住中間比，構造比例式，從而求出的長. 方法技巧（四）相似三角形的實際應用 相似三角形知識在實際生活中應用非常廣泛，主要是運用相似三角形的有關性質來測量、計算那些不易直接測量的物體的高度或寬度.例如：通常利用在同一時刻物高與影長成比例的原理解決測量高度問題，或通過構造相似三角形，利用相似三角形的性質解決測量寬度問題. 點撥 本題需要運用已知條件構建比例式.構建比例式的常用方法有： （1）三點定形法，尋找相似三角形； （2）等線段替換法，依據(jù)比例式不能組建三角形時選擇合適的相等線段替換，構造三角形； （3）尋找“過渡比”，體會本例所采用的方法. 方法技巧（五）位似圖形、位似中心的知別 識別似圖形，關鍵是看兩個相似多邊形的對應頂點所在的直線是否相交于一點，相交于一點的就是位似圖形，交點就是位似中心. 點撥 位似圖形必須滿足兩個條件：①兩個圖形是相似圖形；②兩個相似圖形每對對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點.二者缺一不可. 方法技巧（六）位似的性質的應用 位似圖形是特殊的相似圖形，利用位似比等于相似比，而面積比等于相似比的平方可進行相關計算. 求比值：由已知去求比值，多種途徑可利用.活用比例七性質，變量替換也走紅，消元也是好辦法，殊途同歸會變通. 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.計算比例尺時，容易忽視單位的統(tǒng)一. 比例尺是圖上距離與實際距離的比，在計算比值時單位必須要統(tǒng)一. 2.相似三角形中有時對應關系找不準. 3.位似圖形和相似圖形. 區(qū)別：相似圖形不受位置關系的限制，但位似圖形有位置上的要求.位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形. 易混易錯（一）求兩條線段的比時，忽視兩條線段的單位統(tǒng)一而致錯 易混易錯（二）利用相似三角形對應邊成比例時，由于考慮不全面，導致漏解 易混易錯（三）不能正確理解和把握位似與相似的關系致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 本節(jié)內容是中考必考內容，主要考查相似三角形的判定和性質及利用圖形的位似求坐標或計算圖形的面積比等問題，題型有填空題、選擇題、解答題、作圖題及一些綜合型考題. 中考試題（一）利用相似求解 中考試題（二）應用相似三角形解決實際問題 中考試題（三）運用相似三角形的判定和性質證明 比例中項：比例中項很重要，多種場合會碰到.成比例的四項中，外項相同有不少.有時內項會相同，比例中項出現(xiàn)了.同數(shù)平方等異積，比例中項無處逃. 初中數(shù)學基礎知識手冊