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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 7.1 直線的方程教案 ●網(wǎng)絡(luò)體系總覽 ●考點目標定位 （1）理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式.掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程. （2）掌握兩條直線平行與垂直的條件、兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的關(guān)系. （3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域. （4）了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用. （5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標法. （6）掌握圓的標準方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程. ●復習方略指南 1.本章在高考中主要考查兩類問題： 基本概念題和求在不同條件下的直線方程.基本概念重點考查：（1）與直線方程特征值（主要指斜率、截距）有關(guān)的問題；（2）直線的平行和垂直的條件；（3）與距離有關(guān)的問題等.此類題大都屬于中、低檔題，以選擇題和填空題形式出現(xiàn)，每年必考.中心對稱與軸對稱問題雖然在《考試大綱》中沒有提及，但也是高考的重點，復習時也應(yīng)很好地掌握. 2.直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系等綜合性試題的難度較大，一般以解答題形式出現(xiàn)（此類問題下一章重點復習）. 3.由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，因此有關(guān)函數(shù)、數(shù)列、不等式、復數(shù)等代數(shù)問題往往借助直線方程進行解決，考查學生的綜合能力及創(chuàng)新能力. 在復習本章時要注意如下幾點： 1.要能分辨線段的有向與無向概念上的混淆，有向線段的數(shù)量與有向線段長度的混淆，能否分清這兩點是學好有向線段的關(guān)鍵． 2.在解答有關(guān)直線的問題時，要注意（1）在確定直線的斜率、傾斜角時，首先要注意斜率存在的條件，其次是傾斜角的范圍；（2）在利用直線的截距式解題時，要注意防止由于“零截距”而造成丟解的情況；（3）在利用直線的點斜式、斜截式解題時，要注意檢驗斜率不存在的情況，防止丟解；（4）要靈活運用定比分點公式、中點坐標公式，在解決有關(guān)分割問題、對稱問題時可以簡化運算；（5）掌握對稱問題的四種基本類型的解法；（6）在由兩直線的位置關(guān)系確定有關(guān)參數(shù)的值或其范圍時，要充分利用分類討論、數(shù)形結(jié)合、特殊值檢驗等基本的數(shù)學思想方法． 7.1 直線的方程 ●知識梳理 1.直線的傾斜角、斜率及直線的方向向量 （1）直線的傾斜角 在平面直角坐標系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為α，那么α就叫做直線的傾斜角. 當直線和x軸平行或重合時，我們規(guī)定直線的傾斜角為0. 可見，直線傾斜角的取值范圍是0≤α＜180. （2）直線的斜率 傾斜角α不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tanα（α≠90）. 傾斜角是90的直線沒有斜率；傾斜角不是90的直線都有斜率，其取值范圍是（－∞，+∞）. （3）直線的方向向量 設(shè)F1（x1，y1）、F2（x2，y2）是直線上不同的兩點，則向量=（x2－x1，y2－y1）稱為直線的方向向量.向量=（1，）=（1，k）也是該直線的方向向量，k是直線的斜率. （4）求直線斜率的方法 ①定義法：已知直線的傾斜角為α，且α≠90，則斜率k=tanα. ②公式法：已知直線過兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），且x1≠x2，則斜率k=. ③方向向量法：若a=（m，n）為直線的方向向量，則直線的斜率k=. 平面直角坐標系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率. 斜率的圖象如下圖. 對于直線上任意兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），當x1=x2時，直線斜率k不存在，傾斜角α=90；當x1≠x2時，直線斜率存在，是一實數(shù)，并且k≥0時，α=arctank，k＜0時，α=π+arctank. 2.直線方程的五種形式 （1）斜截式：y=kx+b. （2）點斜式：y－y0=k（x－x0）. （3）兩點式：=. （4）截距式：+=1. （5）一般式：Ax+By+C=0. ●點擊雙基 1.直線xtan+y=0的傾斜角是 A.－ B. C. D. 解析：k=－tan=tan（π－）=tan且∈［0，π）. 答案：D 2.過兩點（－1，1）和（3，9）的直線在x軸上的截距是 A.－ B.－ C. D.2 解析：求出過（－1，1）、（3，9）兩點的直線方程，令y=0即得. 答案：A 3.直線xcosα＋y＋2＝0的傾斜角范圍是 A.［，）∪（，］ B.［0，］∪［，π） C.［0，］ D.［，］ 解析：設(shè)直線的傾斜角為θ，則tanθ=－cosα.又－1≤cosα≤1， ∴－≤tanθ≤.∴θ∈［0，］∪［，π）. 答案：B 4.直線y=1與直線y=x+3的夾角為___________. 解法一：l1：y=1與l2：y=x+3的斜率分別為k1=0，k2=.由兩直線的夾角公式得 tanα=｜｜=，所以兩直線的夾角為60. 解法二：l1與l2表示的圖象為（如下圖所示）y=1與x軸平行，y=x+3與x軸傾斜角為60，所以y=1與y=x+3的夾角為60. 答案：60 5.下列四個命題：①經(jīng)過定點P0（x0，y0）的直線都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示；②經(jīng)過任意兩個不同的點P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直線都可以用方程（x2－x1）（x－x1）=（y2－y1）（y－y1）表示；③不經(jīng)過原點的直線都可以用方程+=1表示；④經(jīng)過定點 A（0，b）的直線都可以用方程y=kx+b表示.其中真命題的個數(shù)是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析：對命題①④，方程不能表示傾斜角是90的直線，對命題③，當直線平行于一條坐標軸時，則直線在該坐標軸上截距不存在，故不能用截距式表示直線.只有②正確. 答案：B ●典例剖析 【例1】 已知△ABC的三個頂點是A（3，－4）、B（0，3）、C（－6，0），求它的三條邊所在的直線方程. 剖析：一條直線的方程可寫成點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式等多種形式.使用時，應(yīng)根據(jù)題目所給的條件恰當選擇某種形式，使得解法簡便.由頂點B與C的坐標可知點B在y軸上，點C在x軸上，于是BC邊所在的直線方程用截距式表示，AB所在的直線方程用斜截式的形式表示，AC所在的直線方程利用兩點式或點斜式表示均可，最后為統(tǒng)一形式，均化為直線方程的一般式. 解：如下圖，因△ABC的頂點B與C的坐標分別為（0，3）和（－6，0），故B點在y軸上，C點在x軸上，即直線BC在x軸上的截距為－6，在y軸上的截距為3，利用截距式，直線BC的方程為+=1， 化為一般式為x－2y+6=0. 由于B點的坐標為（0，3），故直線AB在y軸上的截距為3，利用斜截式，得直線AB的方程為y=kx+3. 又由頂點A（3，－4）在其上，所以－4=3k+3.故k=－. 于是直線AB的方程為y=－x+3，化為一般式為7x+3y－9=0. 由A（3，－4）、C（－6，0），得直線AC的斜率kAC==－. 利用點斜式得直線AC的方程為y－0=－（x+6），化為一般式為4x+9y+24=0. 也可用兩點式，得直線AC的方程為=，再化簡即可. 評述：本題考查了求直線方程的基本方法. 【例2】 已知兩直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交點為P（2，3），求過兩點Q1（a1，b1）、Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直線方程. 剖析：利用點斜式或直線與方程的概念進行解答. 解：∵P（2，3）在已知直線上， ∴ 2a1+3b1+1=0， 2a2+3b2+1=0. ∴2（a1－a2）+3（b1－b2）=0，即=－. ∴所求直線方程為y－b1=－（x－a1）.∴2x+3y－（2a1+3b1）=0，即2x+3y+1=0. 評述：此解法運用了整體代入的思想，方法巧妙. 思考討論 依“兩點確定一直線”，那么你又有新的解法嗎？ 提示： 由 2a1+3b1+1=0， 2a2+3b2+1=0， 知Q1、Q2在直線2x+3y+1=0上. 【例3】 一條直線經(jīng)過點P（3，2），并且分別滿足下列條件，求直線方程： （1）傾斜角是直線x－4y+3=0的傾斜角的2倍； （2）與x、y軸的正半軸交于A、B兩點，且△AOB的面積最小（O為坐標原點）. 剖析：（2）將面積看作截距a、b的函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可. 解：（1）設(shè)所求直線傾斜角為θ，已知直線的傾斜角為α，則θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，從而方程為8x－15y+6=0. （2）設(shè)直線方程為＋＝1，a＞0，b＞0，代入P（3，2），得＋＝1≥2，得ab≥24，從而S△AOB＝ab≥12，此時＝，∴k＝－＝－. ∴方程為2x+3y－12=0. 評述：此題（2）也可以轉(zhuǎn)化成關(guān)于a或b的一元函數(shù)后再求其最小值. 深化拓展 若求|PA||PB|及|OA|+|OB|的最小值，又該怎么解呢？ 提示： 可類似第（2）問求解. ●闖關(guān)訓練 夯實基礎(chǔ) 1.直線x－2y+2k=0與兩坐標軸所圍成的三角形面積不大于1，那么k的范圍是 A.k≥－1 B.k≤1 C.－1≤k≤1且k≠0 D.k≤－1或k≥1 解析：令x=0，得y=k；令y=0，得x=－2k.∴三角形面積S=｜xy｜=k2. 又S≤1，即k2≤1，∴－1≤k≤1. 又∵k=0時不合題意，故選C. 答案：C 2.（xx年湖南，2）設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為α，且sinα+cosα=0，則a、b滿足 A.a+b=1 B.a－b=1 C.a+b=0 D.a－b=0 解析：0≤α＜180，又sinα+cosα=0，α=135，∴a－b=0. 答案：D 3.（xx年春季北京）直線x－y+a=0（a為實常數(shù)）的傾斜角的大小是____________. 解析：k=，即tanα=. ∴α=30. 答案：30 4.（xx年北京東城區(qū)目標檢測）已知直線l1：x－2y+3=0，那么直線l1的方向向量a1為____________（注：只需寫出一個正確答案即可）；l2過點（1，1），并且l2的方向向量a2與a1滿足a1a2=0，則l2的方程為____________. 解析：由方向向量定義即得a1為（2，1）或（1，）. a1a2=0，即a1⊥a2.也就是l1⊥l2，即k1k2=－1. 再由點斜式可得l2的方程為2x+y－3=0. 答案：（2，1）或（1，） 2x+y－3=0 5.已知直線l的斜率為6，且被兩坐標軸所截得的線段長為，求直線l的方程. 解法一：設(shè)所求直線l的方程為y=kx+b. ∵k＝6，∴方程為y=6x+b. 令x=0，∴y=b，與y軸的交點為（0，b）； 令y=0，∴x=－，與x軸的交點為（－，0）. 根據(jù)勾股定理得（－）2＋b2＝37， ∴b＝6.因此直線l的方程為y=6x6． 解法二：設(shè)所求直線為+=1，則與x軸、y軸的交點分別為（a，0）、（0，b）. 由勾股定理知a2＋b2＝37. 又k=－=6， 解此方程組可得 ∴ a2＋b2＝37， －=6. 或 a＝1， a＝－1， b＝－6 b＝6. 因此所求直線l的方程為x+=1或－x+=1，即6x－y6＝0． 6.在△ABC中，已知點A（5，－2）、B（7，3），且邊AC的中點M在y軸上，邊BC的中點N在x軸上. （1）求點C的坐標； （2）求直線MN的方程. 解：（1）設(shè)點C（x，y），由題意得=0，=0，得x=－5，y=－3.故所求點C的坐標是（－5，－3）. （2）點M的坐標是（0，－），點N的坐標是（1，0），直線MN的方程是=， 即5x－2y－5=0. 培養(yǎng)能力 7.某房地產(chǎn)公司要在荒地ABCDE（如下圖）上劃出一塊長方形地面（不改變方位）建造一幢八層的公寓樓，問如何設(shè)計才能使公寓占地面積最大？并求出最大面積.（精確到1 m2） 解：如下圖，在線段AB上任取一點P， 分別向CD、DE作垂線劃得一塊長方形土地，建立如下圖所示的直角坐標系，則AB的方程為+=1.設(shè)P（x，20－x），則長方形面積S=（100－x）［80－（20－x）］ （0≤x≤30）. 化簡得S=－x2+x+6000（0≤x≤30）. 配方，易得x=5，y=時，S最大，其最大值為6017 m2. 8.（文）已知點P（1，－1），直線l的方程為x－2y+1=0.求經(jīng)過點P，且傾斜角為直線l的傾斜角一半的直線方程. 解：設(shè)直線l的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角為，由已知直線l的斜率為tanα=及公式tanα=，得tan2+2tan－1=0. 解得tan=－或tan=－－. 由于tanα=，而0<<1，故0<α<，0<<.因此tan>0. 于是所求直線的斜率為k=tan=－. 故所求的直線方程為y－（－1）=（－）（x－1）， 即（－）x－y－（－+1）=0. （理）設(shè)直線l的方程是2x+By－1=0，傾斜角為α. （1）試將α表示為B的函數(shù)； （2）若＜α＜，試求B的取值范圍； （3）若B∈（－∞，－2）∪（1，+∞），求α的取值范圍. 解：（1）若B=0，則直線l的方程是2x－1=0，∴α=； 若B≠0，則方程即為y=－x+， ∴當B＜0時，－＞0，α=arctan（）， 而當B＞0時，－＜0，α=π+arctan（－）， －arctan （B＜0）， 即α=f（B）= （B=0）， π－arctan（B＞0）. （2）若α=，則B=0， 若α≠，則tanα＜－或tanα＞， 即－＜－（B＞0）或－＝＞（B＜0）， ∴－2＜B＜0或0＜B＜. 綜上，知－2＜B＜. （3）若B＜－2，則－＜1，∴0＜tanα＜1，0＜α＜； 若B＞1，則－＞－2，∴0＞tanα＞－2，π－arctan2＜α＜π. 綜上，知π－arctan2＜α＜π或0＜α＜. 探究創(chuàng)新 9.某市現(xiàn)有自市中心O通往正西和東北方向的兩條主要公路，為了解決交通擁擠問題，市政府決定修一條環(huán)城路，分別在通往正西和東北方向的公路上選取A、B兩點，使環(huán)城公路在A、B間為線段，要求AB環(huán)城路段與中心O的距離為10 km，且使A、B間的距離|AB|最小，請你確定A、B兩點的最佳位置（不要求作近似計算）. 解：以O(shè)為原點，正東方向為x軸的正半軸，正北方向為y軸的正半軸，建立如下圖所示的坐標系. 設(shè)A（－a，0）、B（b，b）（其中a>0，b>0），則AB的方程為=， 即bx－（a+b）y+ab=0. ∵10=， ∴a2b2=100（a2+2b2+2ab）≥100（2+2ab）=200（1+）ab. ∵ab>0，∴ab≥200（+1）. 當且僅當“a2=2b2”時等號成立， 而|AB|==， ∴|AB|≥20（+1）. 當 a2=2b2， ab=10， 時，|AB|取最小值， 即 a=10， b=10 此時|OA|=a=10，|OB|=10， ∴A、B兩點的最佳位置是離市中心O均為10km處. ●思悟小結(jié) 直線的傾斜角、斜率及直線在坐標軸上的截距是刻畫直線位置狀態(tài)的基本量，應(yīng)正確理解；直線方程有五種形式，其中點斜式要熟練掌握，這五種形式的方程表示的直線各有適用范圍，解題時應(yīng)注意不要丟解；含參數(shù)的直線方程問題用數(shù)形結(jié)合法常常簡捷些. ●教師下載中心 教學點睛 1.注意斜率和傾斜角的區(qū)別，讓學生了解斜率的圖象. 2.直線方程的點斜式、兩點式、斜截式、截距式等都是直線方程的特殊形式，其中點斜式是最基本的，其他形式的方程皆可由它推導.直線方程的特殊形式都具有明顯的幾何意義，但又都有一些特定的限制條件，因此應(yīng)用時要注意它們各自適用的范圍，以避免漏解. 3.如何建立平面坐標系內(nèi)滿足一定條件的直線的方程是本節(jié)的主要問題；通用的解決方法是待定系數(shù)法；根據(jù)所知條件選擇恰當?shù)闹本€方程的形式是解題的關(guān)鍵；克服各類方程局限性的手段是分類討論；開闊思路分析問題的措施是數(shù)形結(jié)合. 拓展題例 【例1】 在直線方程y=kx+b中，當x∈［－3，4］時，y∈［－8，13］，求此直線方程. 解：當x的區(qū)間的左端點與y的區(qū)間的左端點對應(yīng)，x的區(qū)間的右端點與y的區(qū)間的右端點對應(yīng)時，得 解得∴直線方程為y=3x+1. 當x的區(qū)間的左端點與y的區(qū)間的右端點對應(yīng)，x的區(qū)間右端點與y的區(qū)間的左端點對應(yīng)時，得 解得∴所求的直線方程為y=－3x+4. 【例2】 已知兩點A（－1，2）、B（m，3）. （1）求直線AB的斜率k與傾斜角α； （2）求直線AB的方程； （3）已知實數(shù)m∈［－－1，－1］，求直線AB的傾斜角α的取值范圍． 解：（1）當m=－1時，直線AB的斜率不存在，傾斜角α＝． 當m≠－1時，k＝， 當m＞－1時，α＝arctan， 當m＜－1時，α＝π＋arctan． （2）當m=－1時，AB：x=－1， 當m≠1時，AB：y－2=（x+1）． （3）1當m=－1時，α＝； 2當m≠－1時，∵k＝∈（－∞，－］∪［，＋∞）， ∴α∈［，）∪（，］. 故綜合1、2得，直線AB的傾斜角α∈［，］.