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2019年高一數學《向量數乘運算及其幾何意義》教學設計 備課組長 李梅仙 中心發(fā)言人 李枝升 年級 周次 七 備課日期 5.2 備課題目 2.2.3向量數乘運算及其幾何意義 第幾課時 1、2 學科長簽名 思考題3：、是兩個不共線的向量,已知=2+3，=6+23, =4-8,求證：A、B、D三點共線。 三、教學問題診斷分析 1．學生在理解實數與向量積的定義時可能會出現障礙，主要是學生在此之前研究的都是數與數的積，并習慣了兩個數的積只有大小沒有方向，從而把它們混為一談。要克服這一困難，關鍵是讓學生知道實數與向量的積的定義可以看作是數與數的積的推廣，但要注意它們的區(qū)別。啟發(fā)學生在掌握向量加法的基礎上，學習實數與向量的積的概念及運算律，引導學生從特殊歸納到一般。 2．學生在掌握實數與向量的積的運算律時，又可能會出現障礙，原因是他們可能會認為實數與向量的積的運算律與數與數的積的運算律是一樣的，每個等式的證明只證明等式兩邊的模相等。針對這一問題，應啟發(fā)學生尋求其與代數運算中實數乘法的運算律的相似性，但應注意它們之間的區(qū)別是數與向量的積運算結果是一個向量，而數與數的積的運算結果是一個數。從而掌握實數與向量的積及其應用。 3．學生在理解兩個向量共線的充要條件時，還可能會出現障礙，主要原因是學生在前面學了0與任意向量共線，而這里是非零向量a ，a是否可以為零向量產生困惑。針對這一問題，應特別提出如果b＝a=0，數仍然存在，此時并不唯一，是任意實數。 四、教學過程設計 1、創(chuàng)設情境，導入新課 問題1.向量的加法是如何定義的？求兩個向量和的方法有那些？ 問題2.向量的加法滿足那些運算律？它們可表示為？ 問題3.向量的減法是如何定義的？差向量的意義是什么？ 問題4.什么是相等向量? 2、講解新課 問題5.在代數運算中，a＋a＋a＝3a，故實數乘法可以看成是相同實數加法的簡便計算方法，相同向量的求和運算也有類似的簡便計算嗎？ 問題6. 若為實數，a是向量，則a是向量還是數量？ 已知非零向量a，我們作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a). 由圖可知，＝＋＋＝a＋a＋a，我們把a＋a＋a記作3a，即＝3a，顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，即｜3a｜＝3｜a｜. 同樣，由圖可知，＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，我們把(－a)＋(－a)＋(－a)記作－3a，即＝－3a，顯然－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍，即｜－3a｜＝3｜a｜. 上述過程推廣后即為實數與向量的積. 實數與向量的積的概念： 一般地,實數與向量a的積是一個向量，記作a，其長度和方向規(guī)定如下： (1)｜a｜＝｜｜｜a｜；(2)當＞0時，a與a同向； 當＜0時，a與a反向；當＝0時，a＝0. 問題7. 實數與向量可以求積，那能不能進行加減運算呢？如：+a，-a有意義嗎？ 問題8. 數與數的積滿足那些運算律呢？實數與向量的積也滿足這些運算律嗎？ 實數與向量的積的運算律： (1)(μa)＝(μ)a；(2)(＋μ)a＝a＋μa；(3)(a＋b)＝a＋b 說明：對于運算律的驗證要求學生通過作圖來進行. 例5.計算： （1）（-3）4a ;（2）3(a+b)-2(a-b)-a;（3）(2a+3b-c)-(3a-2b+c) 向量共線的充要條件： 問題9.什么是共線向量? 若有向量a(a0)、b，實數λ，使b =λa，則a與b為共線向量。 若與共線(a0)且|b|：|a|=μ，則當a與b同向時b =μa； 當a與b反向時b =-μa。 因此，我們得到下面定理。 定理：向量b與非零向量a共線的充要條件是：有且只有一個實數λ，使b=λa。 問題10.在上面定理中，能不能把“非零向量”的“非零”去掉后？原充要條件是否正確？ P89例6 ： 問題10：如何用向量方法證明三點共線？ P89例7： 目標檢測 1、點C在線段AB上，且,則 , . 2、把下列各小題中的向量表示為實數與向量的積： （1）， ； （2），（3），；（4）， 3、判斷下列各小題中的向量與是否共線： （1）， ； （2），（3）， 5、下列說法正確的是( ) (A)a與b共線，b與c共線，則a與c共線； (B)a與b共線，b與c不共線，則a與c不共線； (C)a與b不共線，b與c不共線，則a與c不共線. 配餐作業(yè) 一、基礎題（A組題）（估計完成時間20分鐘） 1．化簡： (1) ； (2) 。 2．已知3（-）+2（+2）-4（+-）=,則 = ． 3．已知，方向相同，且｜｜=3, =7,｜2-｜= ． 4. 判斷向量a＝－5e與b＝5e是否共線? 二、鞏固題（B組題）（估計完成時間10分鐘） 5.向量e1、e2不共線,(ke1+e2)與(e1+ke2)共線，則k＝ . 6. 已知＝，＝λ，求λ的值。 7. 如圖，已知試判斷是否共線并證明. 三、提高題（C組題）（估計完成時間8分鐘） 8.已知ABCD，E、F分別是DC和AB的中點，求證：AE∥CF.（用向量證明）