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2019年高中數(shù)學(xué) 2.3.2《方差與標準差》教案 蘇教版必修3 教學(xué)目標: （1）通過實例是學(xué)生理解樣本數(shù)據(jù)的方差、標準差的意義和作用； （2）學(xué)會計算數(shù)據(jù)的方差、標準差； （3）使學(xué)生掌握通過合理抽樣對總體的穩(wěn)定性水平作出科學(xué)估計的思想。 教學(xué)重點: 用樣本數(shù)據(jù)的方差和標準差估計總體的方差與標準差。 教學(xué)難點: 理解樣本數(shù)據(jù)的方差、標準差的意義和作用，形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識。 教學(xué)過程: 一、問題情境 1．上圖顯示的是上海xx年2月下旬和xx年同期的每日最高氣溫，如何對這兩段時間的氣溫進行比較呢? ２．有甲、乙兩種鋼筋，現(xiàn)從中各抽取一個標本（如表）檢查它們的抗拉強度（單位：kg/mm2）,通過計算發(fā)現(xiàn)，兩個樣本的平均數(shù)均為125． 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 哪種鋼筋的質(zhì)量較好？ 二、學(xué)生活動 由圖可以看出，哪種鋼筋的抗拉強度穩(wěn)定? 由圖可以看出，乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值100，最大值145高于甲樣本的最大值135，這說明乙種鋼筋沒有甲種鋼筋的抗拉強度穩(wěn)定。 我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差（range）。由圖可以看出，乙的極差較大，數(shù)據(jù)點較分散；甲的極差小，數(shù)據(jù)點較集中，這說明甲比乙穩(wěn)定。運用極差對兩組數(shù)據(jù)進行比較，操作簡單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時，就不容易得出結(jié)論。 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計量是方差和標準差。 三、建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．方差： 一般地，設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，…， ，其平均數(shù)為，則稱為這個樣本的方差． 因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同，且平方后可能夸大了離差的程度，我們將方差的算術(shù)平方根稱為這組數(shù)據(jù)的標準差． 2．標準差： 　標準差也可以刻畫數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度． 3．方差和標準差的意義： 描述一個樣本和總體的波動大小的特征數(shù)，標準差大說明波動大． 四、數(shù)學(xué)運用 例1．甲、乙兩種水稻試驗品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。 品種 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 解：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為 [（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]5=0.02. 乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為 [（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]5=0.24 因為0.24>0.02，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定。 例2．為了保護學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時間后必須更換。已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計這種日光燈的平均使用壽命和標準差。 天數(shù) 151~180 181~210 211~240 241~270 271~300 301~330 331~360 361~390 燈泡數(shù) 1 11 18 20 25 16 7 2 分析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命，再求平均壽命。 解：各組中值分別為165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均數(shù)約為1651%+19511%+22518%+25520%+28525%+31516%+3457%+3752%=267.9≈268(天) 這些組中值的方差為 1/100[1(165-268)2+11(195-268)2+18(225-268)2+20(255-268)2+25(285-268)2+16(315-268)2+7(345-268)2+2(375-268)2]=2128.60(天2). 故所求的標準差約（天） 答：估計這種日光燈的平均使用壽命約為268天,標準差約為46天. 五、課堂練習(xí)： （1）課本第68頁練習(xí)第1、2、3、4題 ； （2） （3） （4）若k,k,….k的方差為3，則2（k-3)， 2(k-3), ….2（k-3)的方差為________ （7）在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為________、_______. 9.5，0.016 六、回顧小結(jié)： 1．用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征分兩類： 用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)。 用樣本方差、標準差估計總體方差、標準差。樣本容量越大，估計就越精確。 2．方差、標準差描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小，反映了一組數(shù)據(jù)變化的幅度． 七、課外作業(yè)：課本第69頁第3， 4，5，7題．