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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上冊 8.2《向量的數(shù)量積》教案（3） 滬教版 一、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計 理解和掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示；會根據(jù)坐標(biāo)求兩個向量的夾角；能把向量垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件.通過學(xué)習(xí)，體會坐標(biāo)化的過程和意義，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力. 二、教學(xué)重點及難點 向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、垂直向量的坐標(biāo)關(guān)系、利用坐標(biāo)求兩個向量的夾角. 數(shù)形結(jié)合思想方法在解題中的運用. 教學(xué)用具準備 三角板，直尺(作圖用,也可用多媒體作圖). 垂直向量的坐標(biāo)關(guān)系. 兩個向量的夾角公式 四、教學(xué)流程設(shè)計 數(shù)量積的坐標(biāo)表示 運用與深化(例題解析、鞏固練習(xí)) 問題引入 課堂小結(jié)并布置作業(yè) 五、教學(xué)過程設(shè)計 一、 復(fù)習(xí)回顧 引入問題 已知、是基本單位向量,則 （1） 的坐標(biāo)是________，的坐標(biāo)是________. （2） ________；________. （3）若，，則與的位置關(guān)系是________，所以________. [說明]本題要求學(xué)生寫出基本單位向量的坐標(biāo),并根據(jù)它們的位置關(guān)系,計算與的數(shù)量積.問題設(shè)計的目的,一是復(fù)習(xí)鞏固向量的數(shù)量積和向量的坐標(biāo)表示,二是加深學(xué)生對向量坐標(biāo)的意義的理解,為進一步探究兩個向量的數(shù)量積與它們坐標(biāo)之間的關(guān)系作好準備. 二、學(xué)習(xí)新課 1.探究與、之間的關(guān)系 已知兩個向量，,試用和的坐標(biāo)表示 由向量坐標(biāo)的意義可知:， 根據(jù)數(shù)量積運算性質(zhì),得 又，， 所以 這就是說：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和 即 例1 已知，，求 解：. [說明]通過此例熟悉公式. [問題延伸]可否在上述條件下求出與的夾角呢?（課本p68例7） [說明]當(dāng)向量的坐標(biāo)給出后,向量的方向就惟一確定了(除零向量),那么它們的夾角也就確定了,所以我們能夠求出夾角.我們可以聯(lián)想到上節(jié)課利用向量的數(shù)量積求兩個向量夾角的方法,當(dāng)我們根據(jù)坐標(biāo)計算出兩個向量的數(shù)量積時,意味著只要能根據(jù)坐標(biāo)求出向量的模,問題就迎刃而解了. 解: ,. ,因為， 所以 [說明]注意兩個向量夾角的取值范圍. 2.兩個向量的夾角公式 顯然,對于任意兩個非零向量，我們都可以根據(jù)它們的坐標(biāo)求得它們的夾角. 一般地,設(shè)兩個非零向量,的夾角為,則 [說明]把向量的度量計算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計算，這不僅揭示了向量身兼幾何與代數(shù)雙重身份的本質(zhì),又深刻體現(xiàn)了幾何代數(shù)化的數(shù)學(xué)思想,這也是引入向量處理幾何問題的根本所在. 3.兩個向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示 根據(jù)我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的兩個向量垂直的充要條件和上述坐標(biāo)化的夾角公式，我們不難得到兩個向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示. 已知，，那么的充要條件是. [說明]把之前學(xué)習(xí)的兩個向量垂直的充要條件坐標(biāo)化，滲透著數(shù)形結(jié)合的思想.簡潔的形式,使之成為判斷兩個向量垂直最常用的方法. 4. 應(yīng)用與深化 例2 已知，，，求： （1）；（2） （課本p67例5） 解：（1）， . （2）， . [說明]①此例可以幫助學(xué)生進一步熟悉兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，讓學(xué)生體會數(shù)量積和實數(shù)與向量乘積的坐標(biāo)運算結(jié)果的區(qū)別;②引導(dǎo)學(xué)生觀察思考,得出結(jié)論:在一般情況下, . 例3 在中,已知A、B、C三點的坐標(biāo)分別為、、，求證：是直角三角形. （課本p68例6） 解：因為，， 所以，即是直角三角形. [說明] 此題根據(jù)三角形的三個頂點坐標(biāo),通過坐標(biāo)運算,將坐標(biāo)關(guān)系轉(zhuǎn)化為位置關(guān)系.本題解法多樣,可用兩個向量垂直的充要條件、勾股定理或解析幾何相關(guān)知識解答.在教學(xué)中可充分調(diào)動學(xué)生的積極性,引導(dǎo)學(xué)生得出多種解法,在此基礎(chǔ)上,啟發(fā)學(xué)生比較各種解法的優(yōu)劣,體會應(yīng)用代數(shù)方法進行幾何證明的優(yōu)越性. [問題變式]以原點和A(5, 2)為頂點作等腰直角△OAB，使B = 90，求點B和向量的坐標(biāo). 解：設(shè)B點坐標(biāo)(x, y)，則= (x, y)，= (x-5, y-2) ∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0,即x2 + y2 -5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2 ,即10x + 4y = 29 由 ∴當(dāng)點B坐標(biāo)為時,= 當(dāng)點B坐標(biāo)為時,=. [說明] 本題與例3對應(yīng),需將度量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系解決問題.要注意,僅有垂直關(guān)系,點B不是唯一確定的,事實上點B的軌跡是以O(shè)A為直徑的圓(除去O、A兩點).實質(zhì)上，該問題的幾何意義是求以O(shè)A為直徑的圓(除去O、A兩點)與線段OA的中垂線的交點坐標(biāo),所以有兩解. 例4已知，，求的值，使垂直于. （課本p68例8） 解: , 因為垂直于,所以, 解得: . 所以當(dāng)時, 垂直于. [說明]根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)關(guān)系求解. [探究問題] 已知四邊形ABCD中= (6,1), =(x,y)，=(-2,-3), (1)若∥,試探究 x與y間的關(guān)系式； (2)滿足(1)問的同時又有⊥,試求x,y的值及四邊形ABCD的面積. 解:(1)因為,,∥, 所以,可得: . (2)因為,,⊥, 所以,即 解 可得: 或 所以. [說明] ①本題有一定的綜合性,滲透著數(shù)形結(jié)合思想,要求位置關(guān)系、坐標(biāo)關(guān)系和度量關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)化.解題時先將平行與垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系,再利用求得坐標(biāo)計算長度和面積；②本題可視教學(xué)的實際情況采用. 三、鞏固練習(xí) 1.已知， ，，則 ， = .（課本p69練習(xí)8.2（2）第1題） 2.已知,,則 ； ；與的夾角 . （課本p69練習(xí)8.2（2）第2題） 3.若=(-4,3),=(5,6),則3||２－４＝（ ）(補充題) A.23 B.57 C.63 D.83 4.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)，則△ABC為（ ）(補充題) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形 5.在中,已知三點A(-2,3)、B(0,-1)、C(1,k)，若是直角.求k的值. （課本p69練習(xí)8.2（2）第3題） 6.已知,，，且，求實數(shù)k的值和向量. 參考答案：（課本p69練習(xí)8.2（2）第4題） 1.8，-2 ；2.5，13， ；3.D； 4. A 5.0或2 6.1，. 四、課堂小結(jié) 1、向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示;兩個向量的夾角公式;向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示. 2、求兩個向量的數(shù)量積時，注意數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)，而實數(shù)與向量乘法的結(jié)果是向量,要加以區(qū)別. 3、利用向量的雙重身份(代數(shù)性和幾何性),將向量的度量計算(兩個向量的夾角、長度)和位置關(guān)系(平行與垂直)判斷轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算，使幾何可能計算，問題更加簡潔和形式化、機械化，體現(xiàn)了現(xiàn)代幾何學(xué)的發(fā)展方向---幾何代數(shù)化. 五、作業(yè)布置 一、練習(xí)冊8.2 P35 T6、T7、T8. 二、補充題(根據(jù)教學(xué)實際情況選用) 1.已知點A (1，2)和B (4，-1)，問能否在y軸上找到一點C，使，若不能，說明理由；若能，求C點坐標(biāo). 2在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一個內(nèi)角為直角，求k值. 3.已知，，求x，y的值，使且. 解析:利用方程的思想求解 由題: 解得: [說明] ①本題有兩個待求量,可將兩個條件坐標(biāo)化，轉(zhuǎn)化為二元方程組求解；②解二元二次方程組要準確. 參考答案：1. 不能(理由略) 2. k = 七、教學(xué)設(shè)計說明 1本節(jié)課的主要內(nèi)容是兩個向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，兩個向量夾角的坐標(biāo)計算公式以及垂直向量的坐標(biāo)關(guān)系.向量坐標(biāo)化的意義在于用代數(shù)方法刻畫幾何量，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.本節(jié)課在學(xué)生學(xué)習(xí)向量的坐標(biāo)、向量的數(shù)量積的定義和幾何意義的基礎(chǔ)上，進一步將數(shù)量積坐標(biāo)化，將兩個向量的度量計算(夾角、長度)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計算.既是前述知識的延續(xù)，又為學(xué)生提供了數(shù)形結(jié)合的借鑒模型.在教學(xué)中,著力解決的問題有兩個：第一個，怎樣將兩個向量的數(shù)量積、夾角計算以及位置關(guān)系坐標(biāo)化；第二個，幾何量坐標(biāo)化以后體現(xiàn)了怎樣的優(yōu)越性，這可以通過解決數(shù)學(xué)問題的過程讓學(xué)生體會.第一個問題是非常重要的，如果學(xué)生不能了解問題坐標(biāo)化的過程和意義，也就失去了學(xué)習(xí)的主旨，使得本節(jié)課變成了一節(jié)課上輕松、課后糊涂的計算課，所以教師要在學(xué)生理解向量坐標(biāo)意義的基礎(chǔ)上揭示坐標(biāo)化的過程,本節(jié)課的引例就是為此而設(shè)計的，要重視對向量坐標(biāo)的意義的理解. 2 在教學(xué)時注意區(qū)別實數(shù)與向量的乘法和兩個向量的數(shù)量積的運算結(jié)果的區(qū)別，實數(shù)與向量的乘法的運算結(jié)果是向量，而兩個向量的數(shù)量積的結(jié)果是數(shù).在講解例2時，建議先由學(xué)生嘗試完成，然后師生共同討論，觀察、分析兩者的區(qū)別.這樣學(xué)生的理解比較深刻.