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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 回扣突破練 第22練 概率與分布 文 一.題型考點(diǎn)對(duì)對(duì)練 1．（互斥事件的概率）甲、乙兩名同學(xué)參加一項(xiàng)射擊比賽游戲，其中任何一人每射擊一次擊中目標(biāo)得2分，未擊中目標(biāo)得0分.若甲、乙兩人射擊的命中率分別為和，且甲、乙兩人各射擊一次得分之和為2的概率為.假設(shè)甲、乙兩人射擊互不影響，則值為 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 2.（古典概型）【xx湖南五市十校聯(lián)考】齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬， 田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，則田忌的馬獲勝的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設(shè)齊王的三匹馬分別記為a1,a2,a3,田忌的三匹馬分別記為b1,b2,b3，齊王與田忌賽馬，其情況有：(a1, b1)、(a1, b2)、(a1, b3)、(a2, b1)、(a2, b2)、(a2, b3)、(a3, b1)、(a3, b2) 、(a3, b3)，共9種；其中田忌的馬獲勝的有(a2, b1)、(a3, b1)、(a3, b2)共3種,則田忌獲勝的概率為，故選：A.共12種其中符合條件的基本事件有6種，故或僅一人被選中的概率為. 3.（與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型）在區(qū)間中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則事件“直線與圓相交”發(fā)生的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】圓 的圓心為 ，半徑為1．圓心到直線的距離為，要使直線與圓相交，則，解得 ．∴在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，使直線與圓相交的概率為．故選A 4.（與體積有關(guān)的幾何概型）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)O為底面ABCD的中心,在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為 . 【答案】 5.（古典概型的應(yīng)用）全世界越來(lái)越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問(wèn)題，某監(jiān)測(cè)站點(diǎn)于xx年8月某日起連續(xù)天監(jiān)測(cè)空氣質(zhì)量指數(shù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下： 空氣質(zhì)量指數(shù) 空氣質(zhì)量等級(jí) 空氣優(yōu) 空氣良 輕度污染 中度污染 重度污染 天數(shù) （1）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出的值，并完成頻率分布直方圖： （2）由頻率分布直方圖，求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)； （3）在空氣質(zhì)量指數(shù)分別為和的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取天，從中任意選取天，求事件 “兩天空氣都為良”發(fā)生的概率. 【解析】(1) , . 6.（古典概型與頻率分布直方圖）空氣污染，又稱為大氣污染，是指由于人類(lèi)活動(dòng)或自然過(guò)程引起某些物質(zhì)進(jìn)入大氣中，呈現(xiàn)出足夠的濃度，達(dá)到足夠的時(shí)間，并因此危害了人體的舒適、健康和福利或環(huán)境的現(xiàn)象．全世界也越來(lái)越關(guān)注環(huán)境保護(hù)問(wèn)題．當(dāng)空氣污染指數(shù)（單位：μg/m3）為0~50時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為一級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于優(yōu)；當(dāng)空氣污染指數(shù)為50~100時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為二級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于良；當(dāng)空氣污染指數(shù)為100~150時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為三級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于輕度污染；當(dāng)空氣污染指數(shù)為150~200時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為四級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于中度污染；當(dāng)空氣污染指數(shù)為200~300時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為五級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于重度污染；當(dāng)空氣污染指數(shù)為300以上時(shí)，空氣質(zhì)量級(jí)別為六級(jí)，空氣質(zhì)量狀況屬于嚴(yán)重污染．xx年1月某日某省x個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下： 空氣污染指數(shù) （單位：μg/m3） 監(jiān)測(cè)點(diǎn)個(gè)數(shù) 15 40 y 10 （1）根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖中的信息求出x，y的值，并完成頻率分布直方圖； （2）若A市共有5個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，其中有3個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)為輕度污染，2個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)為良．從中任意選取2個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)，事件A“其中至少有一個(gè)為良”發(fā)生的概率是多少？ （2）設(shè)A市空氣質(zhì)量狀況屬于輕度污染3個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)為1，2，3，空氣質(zhì)量狀況屬于良的2個(gè)監(jiān)測(cè)點(diǎn)為4,5, 從中任取2個(gè)的基本事件分別為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10種，其中事件A“其中至少有一個(gè)為良”包含的 基本事件為(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7種， 所以事件A“其中至少有一個(gè)為良”發(fā)生的概率是． 7.（古典關(guān)系與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合）【xx湖北八校聯(lián)考】為研究患肺癌與是否吸煙有關(guān)，做了一次相關(guān)調(diào)查，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，但可以確定的是不吸煙人數(shù)與吸煙人數(shù)相同，吸煙患肺癌人數(shù)占吸煙總?cè)藬?shù)的；不吸煙的人數(shù)中，患肺癌與不患肺癌的比為． （1）若吸煙不患肺癌的有人，現(xiàn)從患肺癌的人中用分層抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，求這兩人都是吸煙患肺癌的概率； （2）若研究得到在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)的前提下，認(rèn)為患肺癌與吸煙有關(guān)，則吸煙的人數(shù)至少有多少？ 附： ，其中． 【解析】（1）設(shè)吸煙人數(shù)為，依題意有，所以吸煙的人有人，故有吸煙患肺癌的有16人，不患肺癌的有4人．用分層抽樣的方法抽取5人，則應(yīng)抽取吸煙患肺癌的4人，記為．不吸煙患肺癌的1人，記為A．從5人中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果有， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共種，則這兩人都是吸煙患肺癌的情形共有種，∴，即這兩人都是吸煙患肺癌的概率為． （2）設(shè)吸煙人數(shù)為，由題意可得列聯(lián)表如下： 患肺癌 不患肺癌 合計(jì) 吸煙 不吸煙 總計(jì) 由表得， ，由題意，∴， ∵為整數(shù)，∴的最小值為．則，即吸煙人數(shù)至少為人． 二.易錯(cuò)問(wèn)題糾錯(cuò)練 8.（基本事件列舉重復(fù)或遺漏至錯(cuò)）質(zhì)地均勻的正四面體表明分別印有0,1,2,3四個(gè)數(shù)字，某同學(xué)隨機(jī)的拋擲次正四面體2次，若正四面體與地面重合的表面數(shù)字分別記為，且兩次結(jié)果相互獨(dú)立，互不影響.記為事件，則事件發(fā)生的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【注意問(wèn)題】根據(jù)要求兩次點(diǎn)數(shù)情況進(jìn)行一一列舉． 9.（辨別不清幾何概型和古典概型至錯(cuò)）【xx四川成都二診】?jī)晌煌瑢W(xué)約定下午5：30-6：00在圖書(shū)館見(jiàn)面，且他們?cè)?：30-6：00之間到達(dá)的時(shí)刻是等可能的，先到的同學(xué)須等待，15分鐘后還未見(jiàn)面便離開(kāi)，則兩位同學(xué)能夠見(jiàn)面的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 設(shè)甲、乙各在第分鐘和第分鐘到達(dá)，則樣本空間為 畫(huà)成圖為一正方形；會(huì)面的充要條件為，即事件A可以會(huì)面所對(duì)應(yīng)的區(qū)域是圖中的陰影部分，故由幾何概型公式知所求概率為面積之比，即，故選D. 【注意問(wèn)題】因涉及兩人見(jiàn)面時(shí)間，故考慮到是幾何概型，建立坐標(biāo)系列出滿足條件的式子，計(jì)算出最終的概率． 三.新題好題好好練 10.現(xiàn)有一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)為1,2,2,3,3,3,的六個(gè)小球，他們除數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球記下號(hào)碼后放回，均勻攪拌后再隨機(jī)取出一球，則兩次取出小球所標(biāo)號(hào)碼不同的概率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】從中隨機(jī)取出一球記下號(hào)碼后放回，均勻攪拌后再隨機(jī)取出一球，共有種不同的取法，其中兩次取出小球所標(biāo)號(hào)碼相同的有種不同的取法，則兩次取出小球所標(biāo)號(hào)碼不同的概率為；故選D. 11.在集合中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)m，若的概率為，則實(shí)數(shù)a的值為 A. 5 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】由幾何概型可得： . 12.已知函數(shù)，則不等式成立的概率是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，可知，解得，由幾何概型可知，選B 13.三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明．下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱為弦實(shí)．圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱為朱實(shí)、黃實(shí)，利用勾股股勾朱實(shí)黃實(shí)弦實(shí)，化簡(jiǎn)，得勾股弦．設(shè)勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲1000顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（ ） A. 866 B. 500 C. 300 D. 134 【答案】D 14. 傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火爆熒屏。將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)人數(shù)的條形圖. （Ⅰ）若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí)，根據(jù)已知條件完成下面的22列聯(lián)表， 并據(jù)此資料你是否有95﹪的把握認(rèn)為選手成績(jī)“優(yōu)秀”與文化程度 有關(guān)？ 優(yōu)秀 合格 合計(jì) 大學(xué)組 中學(xué)組 合計(jì) 注：，其中. 0.10 0.05 0.005 2.706 3.841 7.879 （Ⅱ）若參賽選手共6萬(wàn)人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù)； （Ⅲ）在優(yōu)秀等級(jí)的選手中取6名，依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，在良好等級(jí)的選手中取6名，依次編號(hào)為1，2，3，4，5，6，在選出的6名優(yōu)秀等級(jí)的選手中任取一名，記其編號(hào)為在選出的6名良好等級(jí)的選手中任取一名，記其編號(hào)為，求使得方程組有唯一一組實(shí)數(shù)解的概率. 【解析】（1）由條形圖可知22列聯(lián)表如下 優(yōu)秀 合格 合計(jì) 大學(xué)組 45 10 55 中學(xué)組 30 15 45 合計(jì) 75 25 100 沒(méi)有95﹪的把握認(rèn)為優(yōu)秀與文化程度有關(guān). 15.某中學(xué)舉行了一次“環(huán)保只知識(shí)競(jìng)賽”，全校學(xué)生參加了這次競(jìng)賽.為了了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績(jī)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì).請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表（如圖所示），解決下列問(wèn)題. （1）求出的值； （2）在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上（含80分）的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)到廣場(chǎng)參加環(huán)保只是的志愿宣傳活動(dòng). 1）求所抽取的2名同學(xué)中至少有1名同學(xué)來(lái)自第5組的概率； 2）求所抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的概率. 2）設(shè)“隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組”為事件，有共7種情況. 所以.即隨機(jī)抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的概率是. 16.某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類(lèi)節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各個(gè)城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示： 其中一個(gè)數(shù)字被污損． (1)求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率． (2)隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情，從中獲益匪淺．現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間(單位：小時(shí))與年齡（單位：歲），并制作了對(duì)照表（如下表所示） 年齡x（歲） 周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間y（小時(shí)） 由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程，并預(yù)測(cè)年齡為歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間． 參考公式：，．