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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 高頻考點(diǎn)、提分密碼 第九部分 排列組合與二項(xiàng)式定理 新人教版 [知識(shí)點(diǎn)] 一.排列與組合 1.基本原理：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理 N=m1+m2+…+mn 分步計(jì)數(shù)原理 N=m1m2…mn 2.定義與公式 排列 組合 定義 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)數(shù)列. 所有排列的個(gè)數(shù)叫排列數(shù)，記為Anm。m、n∈N*且 m≤n. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素并成一組，叫從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。所有組合的個(gè)數(shù)叫組合數(shù)，記為Cnm. m、n∈N*且m≤n. 公式 Anm=n(n－1)(n－2)… (n－m+1) Ann=n!, 0!=1 Anm= Cnm= Cnm=, Cn0=1 性質(zhì) Cnm=Cnn－m Cn+1m=Cnm+Cnm－1 區(qū)別 排列與元素順序有關(guān) 排列先取后排 組合與元素順序無(wú)關(guān) 組合只取不排 二.二項(xiàng)式定理 1.定理：(a+b)n=Cn0an+Cn1an－1b+…+Cnran－rbr+…+Cnnbn，n∈N* 2.二項(xiàng)式系數(shù)：Cnr，r=0,1,2,,…n. 3.通項(xiàng)Tr+1=Cnran－rbr (r=0,1,2…n) 4.二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì) ⑴對(duì)稱(chēng)性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等。 即Cn0=Cnn，Cn1=Cnn－1,Cn2=Cnn－2,… ⑵增減性：f(r)=Cnr，當(dāng)r<時(shí)，Cnr遞增，當(dāng)r≥時(shí)，Cnr遞減 ⑶最大值： 冪指數(shù)n 展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)n+1 二項(xiàng)式系數(shù)最大 項(xiàng)(中間項(xiàng)) 值 偶數(shù) 奇數(shù) T 奇數(shù) 偶數(shù) T、T = ⑷Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n Cn0+Cn2+Cn4+…=2n－1 Cn1+Cn3+Cn5+…=2n－1 另：⑴二項(xiàng)式系數(shù)表（楊輝三角）略。 ⑵ ⑶(a－b)n=Cn0an－Cn1an－1b+Cn2an－2b2－…+(－1)nCnnbn ⑷(1+x)n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn [易錯(cuò)點(diǎn)提示] 1.應(yīng)用兩個(gè)基本原理解題時(shí)，應(yīng)正確區(qū)分是分類(lèi)還是分步. 2.解排列組合應(yīng)用題時(shí)，應(yīng)注意方法及分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)的選擇，并做到層次清晰，不重不漏。 3.在二項(xiàng)式定理中，注意系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)、奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)、奇次項(xiàng)與偶次項(xiàng)的區(qū)別. Cnran－rbr是第r+1項(xiàng). 4.多項(xiàng)式展開(kāi)通常化為二項(xiàng)式展開(kāi)處理，求展開(kāi)式中某些項(xiàng)的系數(shù)(值)關(guān)系時(shí)，常用賦值法. 5.用二項(xiàng)式定理計(jì)算余數(shù)問(wèn)題時(shí)，余數(shù)不能為負(fù)數(shù). 如：∵233=811=(9－1)11=9k－1 ∴233被9除余數(shù)為8. 6.證明形如：2n>2n (n≥3且n∈N)， 比較2n與n2 (n∈N*)大小，此類(lèi)問(wèn)題常用二項(xiàng)式定理.