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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分板塊（一）系統(tǒng)思想方法——融會貫通教學(xué)案理
高考數(shù)學(xué)選擇題歷來都是兵家必爭之地，因其涵蓋的知識面較寬，既有基礎(chǔ)性，又有綜合性，解題方法靈活多變，分值又高，既考查了同學(xué)們掌握基礎(chǔ)知識的熟練程度，又考查了一定的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想，試題區(qū)分度極佳．這就要求同學(xué)們掌握迅速、準(zhǔn)確地解答選擇題的方法與技巧，為全卷得到高分打下堅實的基礎(chǔ)．
一般來說，對于運算量較小的簡單選擇題，都是采用直接法來解題，即從題干條件出發(fā)，利用基本定義、性質(zhì)、公式等進行簡單分析、推理、運算，直接得到結(jié)果，與選項對比得出正確答案；對于運算量較大的較復(fù)雜的選擇題，往往采用間接法來解題，即根據(jù)選項的特點、求解的要求，靈活選用數(shù)形結(jié)合、驗證法、排除法、割補法、極端值法、估值法等不同方法技巧，通過快速判斷、簡單運算即可求解．下面就解選擇題的常見方法分別舉例說明．
一、直接法
直接從題目條件出發(fā)，運用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴密的推理和準(zhǔn)確的運算，得出正確的結(jié)論．涉及概念、性質(zhì)的辨析或運算較簡單的題目常用直接法．
[典例] (xx全國卷Ⅱ)若雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，則C的離心率為( )
A．2 B．
C． D．
[技法演示] 由圓截得漸近線的弦長求出圓心到漸近線的距離，利用點到直線的距離公式得出a2，b2的關(guān)系求解．
依題意，雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為bx－ay＝0.因為直線bx－ay＝0被圓(x－2)2＋y2＝4所截得的弦長為2，所以＝，所以3a2＋3b2＝4b2，所以3a2＝b2，所以e＝＝＝2.
[答案] A
[應(yīng)用體驗]
1．(xx全國卷Ⅲ)設(shè)集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，則S∩T＝( )
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
解析：選D 由題意知S＝{x|x≤2或x≥3}，
則S∩T＝{x|0
b>1,0b>1,0，
∴選項A不正確．
對于B,42＝4，24＝4,4>4，
∴選項B不正確．
對于C,4log2＝－4,2log4＝－1，－4<－1，
∴選項C正確．
對于D，log4＝－，log2＝－1，－>－1，
∴選項D不正確．
故選C．
法二：(直接法)根據(jù)待比較式的特征構(gòu)造函數(shù)，直接利用函數(shù)單調(diào)性及不等式的性質(zhì)進行比較．
∵y＝xα，α∈(0,1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，
∴當(dāng)a>b>1,0bc，選項A不正確．
∵y＝xα，α∈(－1,0)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，
∴當(dāng)a>b>1,0bac，選項B不正確．
∵a>b>1，∴l(xiāng)g a>lg b>0，∴alg a>blg b>0，
∴>.又∵0logbc，選項D不正確．
[答案] C
[應(yīng)用體驗]
5．(xx全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增，則a的取值范圍是( )
A．[－1,1] B．
C． D．
解析：選C 法一：(特殊值驗證法)取a＝－1，則f(x)＝x－sin 2x－sin x，f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－＜0，不具備在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增的條件，故排除A、B、D.故選C．
法二：(直接法)函數(shù)f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)單調(diào)遞增，等價于f′(x)＝1－cos 2x＋acos x＝－cos2x＋acos x＋≥0在(－∞，＋∞)恒成立．設(shè)cos x＝t，則g(t)＝－t2＋at＋≥0在[－1,1]恒成立，所以解得－≤a≤.故選C．
四、排除法
排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具體的做法是從條件出發(fā)，運用定理、性質(zhì)、公式推演，根據(jù)“四選一”的指令，對各個備選答案進行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾項逐一排除，從而獲得正確結(jié)論．
[典例] (xx全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝的部分圖象大致為( )
[技法演示] 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)圖象，利用排除法求解．令函數(shù)f(x)＝，其定義域為{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)＝為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，故排除B；因為f(1)＝＞0，f(π)＝＝0，故排除A、D，選C．
[答案] C
[應(yīng)用體驗]
6．(xx全國卷Ⅰ)函數(shù)y＝2x2－e|x|在[－2,2]的圖象大致為( )
解析：選D ∵f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2,2]是偶函數(shù)，
又f(2)＝8－e2∈(0,1)，故排除A，B.
設(shè)g(x)＝2x2－ex，則g′(x)＝4x－ex.
又g′(0)<0，g′(2)>0，
∴g(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點，
∴f(x)＝2x2－e|x|在(0,2)內(nèi)至少存在一個極值點，排除C．故選D.
7．(xx全國卷Ⅱ)如圖，長方形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP＝x.將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數(shù)f(x)，則y＝f(x)的圖象大致為( )
解析：選B 當(dāng)x∈時，f(x)＝tan x＋，圖象不會是直線段，從而排除A、C．
當(dāng)x∈時，f＝f＝1＋，f＝2.∵2<1＋，∴f，所以e>.
故選D.
(二)快穩(wěn)細活 填空穩(wěn)奪
絕大多數(shù)的填空題都是依據(jù)公式推理計算型和依據(jù)定義、定理等進行分析判斷型，解答時必須按規(guī)則進行切實的計算或者合乎邏輯的推理和判斷．求解填空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合法、等價轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、分析法等．
解答填空題時，由于不反映過程，只要求結(jié)果，故對正確性的要求更高、更嚴格．解答時應(yīng)遵循“快”“細”“穩(wěn)”“活”“全”5個原則．
填空題解答“五字訣”
快——運算要快，力戒小題大做
細——審題要細，不能粗心大意
穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急
活——解題要活，不要生搬硬套
全——答案要全，避免殘缺不齊
一、直接法
直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識，通過變形、推理、計算等得出正確的結(jié)論．
[典例] (xx全國卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，則b＝________.
[技法演示] 先求出sin A，sin C的值，進而求出sin B的值，再利用正弦定理求b的值．
因為A，C為△ABC的內(nèi)角，且cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＋＝.
又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝.
[答案]
[應(yīng)用體驗]
1．(xx全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________.
解析：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，
∴－xln(－x＋)－xln(x＋)＝0恒成立，∴xln a＝0恒成立，∴l(xiāng)n a＝0，即a＝1.
答案：1
2．(xx全國卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展開式中x2y7的系數(shù)為________．(用數(shù)字填寫答案)
解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系數(shù)為C－C＝8－28＝－20.
答案：－20
二、特殊值法
當(dāng)填空結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，我們只需把題材中的參變量用特殊值代替即可得到結(jié)論．
[典例] (xx山東高考)已知雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)，若矩形ABCD的四個頂點在E上，AB，CD的中點為E的兩個焦點，且2|AB|＝3|BC|，則E的離心率是________．
[技法演示] 法一：(特殊值法)利用雙曲線的性質(zhì)，設(shè)特殊值求解．
如圖，由題意知|AB|＝，|BC|＝2c，
又2|AB|＝3|BC|，∴設(shè)|AB|＝6，|BC|＝4，則|AF1|＝3，|F1F2|＝4，
∴|AF2|＝5.由雙曲線的定義可知，a＝1，c＝2，∴e＝＝2.故填2.
法二：(直接法)利用雙曲線的性質(zhì)，建立關(guān)于a，b，c的等式求解．
如圖，由題意知|AB|＝，|BC|＝2C．
又2|AB|＝3|BC|，
∴2＝32c，即2b2＝3ac，
∴2(c2－a2)＝3ac，兩邊同除以a2并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(負值舍去)．
[答案] 2
[應(yīng)用體驗]
3．(xx安徽高考)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列，則q＝________.
解析：法一：(特殊值法)由題意知a1，a3，a5成等差數(shù)列，a1＋1，a3＋3，a5＋5成等比數(shù)列，所以觀察可設(shè)a1＝5，a3＝3，a5＝1，所以q＝1.故填1.
法二：(直接法)因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，所以可設(shè)a1＝t－d，a3＝t，a5＝t＋d，故由已知得(t＋3)2＝(t－d＋1)(t＋d＋5)，得d2＋4d＋4＝0，即d＝－2，所以a3＋3＝a1＋1，即q＝1.
答案：1
三、數(shù)形結(jié)合法
根據(jù)題目條件，畫出符合題意的圖形，以形助數(shù)，通過對圖形的直觀分析、判斷，往往可以快速簡捷地得出正確的結(jié)果，它既是方法，也是技巧，更是基本的數(shù)學(xué)思想．
[典例] (xx 全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．若|AB|＝2，則|CD|＝________.
[技法演示] 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系先求出m的值，再結(jié)合圖象求|CD|.
由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定點(－3，)，圓心O到直線l的距離為d＝.
由|AB|＝2得2＋()2＝12，
解得m＝－.
又直線l 的斜率為－m＝，
所以直線l的傾斜角α＝.
畫出符合題意的圖形如圖所示，過點C作CE⊥BD，則∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2＝4.
[答案] 4
[應(yīng)用體驗]
4．(xx全國卷Ⅰ)若x，y滿足約束條件則z＝3x＋y的最大值為________．
解析：畫出可行域(如圖所示)．
∵z＝3x＋y，
∴y＝－3x＋z.
∴直線y＝－3x＋z在y軸上截距最大時，即直線過點B時，z取得最大值．
由解得即B(1,1)，
∴zmax＝31＋1＝4.
答案：4
5．(xx全國卷Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．
解析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴圖象關(guān)于y軸對稱．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖象如圖所示，由f(x－1)>0，得－20，b>0)的一條漸近線與圓(x－)2＋(y－1)2＝1相切，則此雙曲線的離心率為( )
A．2 B．
C． D．
解析：選A 由題可知雙曲線的漸近線方程為bxay＝0，與圓相切，∴圓心(，1)到漸近線的距離為＝1或＝1，又a>0，b＞0，解得a＝b，∴c2＝a2＋b2＝4a2，即c＝2a，∴e＝＝2.
6．某程序框圖如圖所示，該程序運行后輸出S的值是( )
A．－3 B．－
C． D．2
解析：選A 模擬程序框圖的運算結(jié)果如下：
開始S＝2，i＝1.
第一次循環(huán)，S＝－3，i＝2；第二次循環(huán)，S＝－，i＝3；第三次循環(huán)，S＝，i＝4；第四次循環(huán)，S＝2，i＝5；
第五次循環(huán)，S＝－3，i＝6；……，可知S的取值呈周期性出現(xiàn)，且周期為4，∵跳出循環(huán)的i值2 018＝5044＋2，∴輸出的S＝－3.
7．在△ABC中，|＋|＝|－|，||＝||＝3，則的值為( )
A．3 B．－3
C．－ D．
解析：選D 由|＋|＝|－|，兩邊平方可得||2＋||2＋2＝3||2＋3||2－6，又||＝||＝3，∴＝，
∴＝(＋)＝2＋＝2－＝9－＝.
8．設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列，滿足a＋a＝a＋a，則{an}的前10項和S10＝( )
A．－10 B．－5
C．0 D．5
解析：選C 由a＋a＝a＋a，可得(a－a)＋(a－a)＝0，即2d(a6＋a4)＋2d(a7＋a5)＝0，∵d≠0，
∴a6＋a4＋a7＋a5＝0，∵a5＋a6＝a4＋a7，∴a5＋a6＝0，
∴S10＝＝5(a5＋a6)＝0.
9．函數(shù)f(x)＝cos x的圖象的大致形狀是( )
解析：選B ∵f(x)＝cos x，
∴f(－x)＝cos(－x)＝cos x＝－cos x＝－f(x)，故函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，可排除A，C；
又由當(dāng)x∈時，f(x)<0，函數(shù)圖象位于第四象限，可排除D，故選B.
10．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點(點A在第一象限)，若＝3，則直線AB的斜率為( )
A． B． C． D．
解析：選D 作出拋物線的準(zhǔn)線l：x＝－1，
設(shè)A，B在l上的投影分別是C，D，
連接AC，BD，過B作BE⊥AC于E，如圖所示．
∵＝3，∴設(shè)|AF|＝3m，
|BF|＝m，則|AB|＝4m，
由點A，B分別在拋物線上，結(jié)合拋物線的定義，得|AC|＝|AF|＝3m，|BD|＝|BF|＝m，則|AE|＝2m.
因此在Rt△ABE中，cos∠BAE＝＝＝，
得∠BAE＝60.
所以直線AB的傾斜角∠AFx＝60，故直線AB的斜率為k＝tan 60＝.
11．某幾何體的三視圖如圖，若該幾何體的所有頂點都在一個球面上，則該球面的表面積為( )
A．4π B．
C． D．20π
解析：選B 由三視圖知，該幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱長是2，則三棱柱的兩個底面的中心連線的中點到三棱柱的頂點的距離就是其外接球的半徑r，所以r＝ ＝，則球面的表面積為4πr2＝4π＝.
12．設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng) 取得最大值時，＋－ 的最大值為( )
A．0 B．1
C． D．3
解析：選B ∵x2－3xy＋4y2－z＝0，∴z＝x2－3xy＋4y2，又x，y，z均為正實數(shù)，∴＝＝≤＝1(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時等號成立)，∴max＝1，此時x＝2y，
則z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－32yy＋4y2＝2y2，
∴＋－＝＋－＝－2＋1≤1，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝1時等號成立，滿足題意．
∴＋－的最大值為1.
二、填空題
13．已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝，a2＋a4＝，則a6＝________.
解析：∵a1＋a3＝，a2＋a4＝，
∴解得
∴a6＝25＝.
答案：
14．已知sin＝，則cos＝________.
解析：cos＝cos＝cos ＝1－2sin2＝1－22＝.
答案：
15．設(shè)實數(shù)x，y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值為10，則a2＋b2的最小值為________．
解析：由z＝ax＋by(a>0，b>0)得y＝－x＋，∵a＞0，b＞0，∴直線y＝－x＋的斜率為負．作出不等式組表示的可行域如圖，
平移直線y＝－x＋，由圖象可知當(dāng)y＝－x＋經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最大，此時z也最大．
由解得即A(4,6)．
此時z＝4a＋6b＝10，即2a＋3b－5＝0，
即點(a，b)在直線2x＋3y－5＝0上，因為a2＋b2的幾何意義為直線上的點到原點距離的平方，又原點到直線的距離d＝＝，故a2＋b2的最小值為d2＝.
答案：
16．已知函數(shù)f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三個零點，則m的取值范圍為________．
解析：函數(shù)f(x)＝|xex|－m(m∈R)有三個零點，即y＝|xex|與y＝m的圖象有三個交點．令g(x)＝xex，則g′(x)＝(1＋x)ex，
當(dāng)x＜－1時，g′(x)＜0，當(dāng)x＞－1時，g′(x)＞0，
故g(x)＝xex在(－∞，－1)上為減函數(shù)，在(－1，＋∞)上是增函數(shù)，g(－1)＝－，又由x＜0時，g(x)＜0，當(dāng)x＞0時，g(x)＞0，故函數(shù)y＝|xex|的圖象如圖所示：
由圖象可知y＝m與函數(shù)y＝|xex|的圖象有三個交點時，m∈，故m的取值范圍是.
答案：
“12＋4”小題提速練(二)
(限時：40分鐘 滿分：80分)
一、選擇題
1．(xx西安模擬)已知集合A＝{x|log2x≥1}，B＝{x|x2－x－6＜0}，則A∩B＝( )
A．? B．{x|2＜x＜3}
C．{x|2≤x＜3} D．{x|－1＜x≤2}
解析：選C 化簡集合得A＝{x|x≥2}，B＝{x|－2＜x＜3}，則A∩B＝{x|2≤x＜3}．
2．(xx福州模擬)已知復(fù)數(shù)z＝2＋i，則＝( )
A．－i B．－＋i
C．－i D．－＋i
解析：選A 因為z＝2＋i，所以＝＝＝－i.
3．設(shè)a＝log32，b＝ln 2，c＝5－，則a，b，c的大小關(guān)系為( )
A．a(chǎn)＜b＜c B．b＜c＜a
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：選C 因為a＝log32＝，b＝ln 2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，又c＝5－＝，＞2＝log24＞log23，所以c＜a，故c＜a＜b.
4．(xx屆高三蘭州一中月考)在電視臺舉辦的一次智力答題中，規(guī)定闖關(guān)者從圖中任選一題開始，必須連續(xù)答對能連成一條線的3道題目，闖關(guān)才能成功，則闖關(guān)成功的答題方法有( )
A．3種 B．8種
C．30種 D．48種
解析：選D 能連成橫著的一條線的有123,456,789，共3種，能連成豎著的一條線的有147,258,369，共3種，能連成對角線的有159,357，共2種，故共有8種．
又因為每種選擇的答題順序是任意的，故每種選擇都有6種答題方法：如答題為1,2,3時，答題方法有：1→2→3,1→3→2,2→1→3,2→3→1,3→1→2,3→2→1.所以共有86＝48(種)答題方法．
5．(xx合肥模擬)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋2y的最大值為( )
A．5 B．6
C． D．7
解析：選C 作出不等式組表示的可區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖易知，當(dāng)直線z＝x＋2y經(jīng)過直線x－y＝－1與x＋y＝4的交點，即A時，z取得最大值，zmax＝x＋2y＝.
6．(xx屆高三寶雞調(diào)研)閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1，則輸出S的值為( )
A．64 B．73
C．512 D．585
解析：選B 依題意，執(zhí)行題中的程序框圖，當(dāng)輸入x的值為1時，進行第一次循環(huán)，S＝1＜50，x＝2；進行第二次循環(huán)，S＝1＋23＝9＜50，x＝4；進行第三次循環(huán)，S＝9＋43＝73＞50，此時結(jié)束循環(huán)，輸出S的值為73.
7．(xx衡陽三模)在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，前n項和為Sn，若數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，則Sn＝( )
A．2n＋1－2 B．3n
C．2n D．3n－1
解析：選C 因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a1＝2，設(shè)其公比為q，則an＝2qn－1，因為數(shù)列{an＋1}也是等比數(shù)列，所以(an＋1＋1)2＝(an＋1)(an＋2＋1)?a＋2an＋1＝anan＋2＋an＋an＋2?an＋an＋2＝2an＋1?an(1＋q2－2q)＝0?q＝1，即an＝2，所以Sn＝2n.
8．點A，B，C，D在同一個球的球面上，AB＝BC＝AC＝，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個球的表面積為( )
A．π B．8π
C．π D．π
解析：選C 如圖所示，當(dāng)點D位于球的正頂部時四面體的體積最大，設(shè)球的半徑為R，則四面體的高為h＝R＋，四面體的體積為V＝()2sin 60(R＋)＝(R＋)＝，解得R＝，
所以球的表面積S＝4πR2＝4π2＝，故選C．
9．(xx屆高三湖北七校聯(lián)考)已知圓C：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)．設(shè)條件p：0＜r＜3，條件q：圓C上至多有2個點到直線x－y＋3＝0的距離為1，則p是q的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析：選C 圓C：(x－1)2＋y2＝r2的圓心(1,0)到直線x－y＋3＝0的距離d＝＝2.
當(dāng)0＜r＜1時，直線在圓外，圓上沒有點到直線的距離為1；
當(dāng)r＝1時，直線在圓外，圓上只有1個點到直線的距離為1；
當(dāng)1＜r＜2時，直線在圓外，此時圓上有2個點到直線的距離為1；
當(dāng)r＝2時，直線與圓相切，此時圓上有2個點到直線的距離為1；
當(dāng)2＜r＜3時，直線與圓相交，此時圓上有2個點到直線的距離為1.
綜上，當(dāng)0＜r＜3時，圓C上至多有2個點到直線x－y＋3＝0的距離為1，由圓C上至多有2個點到直線x－y＋3＝0的距離為1可得0＜r＜3，故p是q的充要條件，故選C．
10．(xx合肥模擬)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e.P是橢圓上一點，滿足PF2⊥F1F2，點Q在線段PF1上，且＝2 .若＝0，則e2＝( )
A．－1 B．2－
C．2－ D．－2
解析：選C 由題意可知，在Rt△PF1F2中，F(xiàn)2Q⊥PF1，所以|F1Q||F1P|＝|F1F2|2，又|F1Q|＝|F1P|，所以有|F1P|2＝|F1F2|2＝4c2，即|F1P|＝c，進而得出|PF2|＝C．又由橢圓定義可知，|PF1|＋|PF2|＝c＋c＝2a，解得e＝＝＝，所以e2＝2－.
11．(xx廣州模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)是奇函數(shù)，直線y＝與函數(shù)f(x)的圖象的兩個相鄰交點的橫坐標(biāo)之差的絕對值為，則( )
A．f(x)在上單調(diào)遞減
B．f(x)在上單調(diào)遞減
C．f(x)在上單調(diào)遞增
D．f(x)在上單調(diào)遞增
解析：選D f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sinωx＋φ＋，因為0＜φ＜π且f(x)為奇函數(shù)，所以φ＝，即f(x)＝－sin ωx，又直線y＝與函數(shù)f(x)的圖象的兩個相鄰交點的橫坐標(biāo)之差的絕對值為，所以函數(shù)f(x)的最小正周期為，由＝，可得ω＝4，故f(x)＝－sin 4x，由2kπ＋≤4x≤2kπ＋，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，令k＝0，得≤x≤，此時f(x)在上單調(diào)遞增，故選D.
12．(xx貴陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln(x2－4x－a)，若對任意的m∈R，均存在x0使得f(x0)＝m，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－4) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[－4，＋∞)
解析：選D 依題意得，函數(shù)f(x)的值域為R，令函數(shù)g(x)＝x2－4x－a，其值域A包含(0，＋∞)，因此對方程x2－4x－a＝0，有Δ＝16＋4a≥0，解得a≥－4，即實數(shù)a的取值范圍是[－4，＋∞)．
二、填空題
13．(xx蘭州模擬)已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝，則＝________.
解析：由菱形的性質(zhì)知||＝a，||＝a，且〈，〉＝，∴＝aacos＝a2.
答案：a2
14．(xx石家莊模擬)若n的展開式的二項式系數(shù)之和為64，則含x3項的系數(shù)為________．
解析：由題意，得2n＝64，所以n＝6，
所以n＝6，
其展開式的通項公式為Tr＋1＝C(x2)6－rr＝Cx12－3r.
令12－3r＝3，得r＝3，
所以展開式中含x3項的系數(shù)為C＝20.
答案：20
15．某批產(chǎn)品成箱包裝，每箱5件，一用戶在購進該批產(chǎn)品前先取出三箱，再從每箱中任意抽取2件產(chǎn)品進行檢驗，設(shè)取出的三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．用ξ表示抽檢的6件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，則ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝________.
解析：由題意知，ξ的所有可能取值為0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，
P(ξ＝1)＝＋＝，
P(ξ＝2)＝＋＝，
P(ξ＝3)＝＝，
所以ξ的數(shù)學(xué)期望為
E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝.
答案：
16．(xx屆高三云南調(diào)研)已知三棱錐PABC的所有頂點都在表面積為的球面上，底面ABC是邊長為的等邊三角形，則三棱錐PABC體積的最大值為________．
解析：依題意，設(shè)球的半徑為R，則有4πR2＝，R＝，△ABC的外接圓半徑為r＝＝1，球心到截
面ABC的距離h＝＝＝，因此點P到截面ABC的距離的最大值等于h＋R＝＋＝4，因此三棱錐PABC體積的最大值為4＝.
答案：
“12＋4”小題提速練(三)
(限時：40分鐘 滿分：80分)
一、選擇題
1．已知集合M＝{x|16－x2≥0}，集合N＝{y|y＝|x|＋1}，則M∩N＝( )
A．{x|－2≤x≤4} B．{x|x≥1}
C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥－2}
解析：選C 由M中16－x2≥0，即(x－4)(x＋4)≤0，解得－4≤x≤4，所以M＝{x|－4≤x≤4}，集合N＝{y|y＝|x|＋1}＝[1，＋∞)，則M∩N＝{x|1≤x≤4}．
2．若復(fù)數(shù)z滿足z(4－i)＝5＋3i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為( )
A．1－i B．－1＋i
C．1＋i D．－1－i
解析：選A 由z(4－i)＝5＋3i，
得z＝＝＝＝1＋i，
則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 1－i.
3．由變量x與y的一組數(shù)據(jù)：
x
1
5
7
13
19
y
y1
y2
y3
y4
y5
得到的線性回歸方程為＝2x＋45，則＝( )
A．135 B．90
C．67 D．63
解析：選D 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得＝(1＋5＋7＋13＋19)＝9，線性回歸方程＝2x＋45過點(，)，則＝29＋45＝63.
4．如圖給出一個算法的程序框圖，該程序框圖的功能是( )
A．輸出a，b，c三個數(shù)中的最大數(shù)
B．輸出a，b，c三個數(shù)中的最小數(shù)
C．將a，b，c按從小到大排列
D．將a，b，c按從大到小排列
解析：選B 由程序框圖知：第一個判斷框是比較a，b大小，a的值是a，b之間的較小數(shù)；第二個判斷框是比較a，c大小，輸出的a是a，c之間的較小數(shù)．∴該程序框圖的功能是輸出a，b，c三個數(shù)中的最小數(shù)．故選B.
5．函數(shù)y＝sin的圖象經(jīng)過下列平移，可以得到函數(shù)y＝cos圖象的是( )
A．向右平移個單位 B．向左平移個單位
C．向右平移個單位 D．向左平移個單位
解析：選B 把函數(shù)y＝sin＝cos－＝cos的圖象向左平移個單位，可得y＝cos＝cos的圖象．
6．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且以2為周期，則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：選C ∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，
∴若f(x)為[0,1]上的增函數(shù)，則f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，
又∵f(x)是定義在R上的以2為周期的函數(shù)，且[3,4]與[－1,0]相差兩個周期，
∴兩區(qū)間上的單調(diào)性一致，所以可以得出f(x)為[3,4]上的減函數(shù)，故充分性成立．
若f(x)為[3,4]上的減函數(shù)，同樣由函數(shù)周期性可得出f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，
再由函數(shù)是偶函數(shù)可得出f(x)為[0,1]上的增函數(shù)，故必要性成立．
綜上，“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的充要條件．
7．某三棱錐的三視圖如圖所示，其三個視圖都是直角三角形，則該三棱錐的體積為( )
A． B．
C．1 D．6
解析：選A 由已知中的三視圖可得，該三棱錐的底面面積S＝21＝1，高h＝1，故體積V＝Sh＝.
8．已知向量a與b的夾角為60，|a|＝4，|b|＝1，且b⊥(a－xb)，則實數(shù)x為( )
A．4 B．2
C．1 D．
解析：選B ∵b⊥(a－xb)，∴b(a－xb)＝0，即ab－xb2＝41cos 60－x＝0，解得x＝2.
9．已知點P在直線x＝－1上移動，過點P作圓(x－2)2＋(y－2)2＝1的切線，相切于點Q，則切線長|PQ|的最小值為( )
A．2 B．2
C．3 D．
解析：選B 圓心(2,2)到直線x＝－1的距離為d＝3＞r＝1，故直線和圓相離．故切線長|PQ|的最小值為＝2.
10．(xx太原三模)已知等比數(shù)列{an}的各項均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列{bn}滿足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，則數(shù)列{bn}的前n項和的最大值為( )
A．126 B．130
C．132 D．134
解析：選C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q＞0)，由題意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.又b3＝18，b6＝12，則a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.又{an}為正項等比數(shù)列，∴{bn}為等差數(shù)列，且公差d＝－2，b1＝22，故bn＝22＋(n－1)(－2)＝－2n＋24.∴數(shù)列{bn}的前n項和Sn＝22n＋(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又n∈N*，故n＝11或12時，(Sn)max＝132.
11．設(shè)O為坐標(biāo)原點，P是以F為焦點的拋物線y2＝2px(p＞0)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|＝2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為( )
A． B．
C． D．1
解析：選C 由題意可得F，設(shè)P，
顯然當(dāng)y0＜0時，kOM＜0；當(dāng)y0＞0時，kOM＞0.
要求kOM的最大值，必須有y0＞0，
則＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，即M，則kOM＝＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)y＝2p2時，等號成立．故選C．
12．已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A． B．
C． D．
解析：選D ∵函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)＝kx－恰有四個不相等的實數(shù)根，則y＝f(x)的圖象和直線y＝kx－有4個交點．作出函數(shù)y＝f(x)的圖象及直線y＝kx－，如圖，
故點(1,0)在直線y＝kx－的下方，∴k1－＞0，解得k＞.
又當(dāng)直線y＝kx－和y＝ln x相切時，設(shè)切點橫坐標(biāo)為m，則 k＝＝，∴m＝，
此時，k＝＝，f(x)的圖象和直線y＝kx－有3個交點，不滿足條件，故k的取值范圍是.
二、填空題
13．(x＋y＋z)8的展開式中項x3yz4的系數(shù)為________．(用數(shù)字作答)
解析：(x＋y＋z)8的展開式表示8個因式(x＋y＋z)的積，展開式中項x3yz4即從這8個因式中任意選出3個取x，從剩下的5個中任意選4個取z，最后的一個取y，即可得到含x3yz4的項，故x3yz4的系數(shù)為CCC＝280.
答案：280
14．實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝的取值范圍為________．
解析：由約束條件作出可行域如圖，
聯(lián)立解得A(3,1)，
聯(lián)立解得B(1,2)．
z＝的幾何意義為可行域內(nèi)的動點與定點P(－1,0)連線的斜率．∵kPA＝，kPB＝1，∴z＝的取值范圍為.
答案：
15．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分數(shù)三角形，單位分數(shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分數(shù)．根據(jù)前6行的規(guī)律，寫出第7行的第3個數(shù)是________．
解析：第7行第一個數(shù)和最后一個數(shù)都是，第二個數(shù)
加要等于，所以第二個數(shù)是，同理第三個數(shù)加等于，則第三個數(shù)是.
答案：
16．以拋物線y2＝8x的焦點為圓心，以雙曲線－＝1(a>0，b>0)的虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，則當(dāng)＋取得最小值時，雙曲線的離心率為________．
解析：拋物線y2＝8x的焦點為(2,0)，雙曲線的一條漸近線方程為bx＋ay＝0，
∵以拋物線y2＝8x的焦點為圓心，以雙曲線－＝1(a>0，b>0)虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，
∴＝b，∴a2＋b2＝4，
∴＋＝(a2＋b2)＝≥(5＋4)＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，即此時＋取得最小值，∴c＝b，∴e＝＝＝.
答案：
(三)函數(shù)方程 穩(wěn)妥實用
函數(shù)與方程思想的含義
函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用
函數(shù)的思想，就是用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決的數(shù)學(xué)思想．
方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決的數(shù)學(xué)思想.
1
函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決相關(guān)的問題，常涉及不等式恒成立問題、比較大小問題．一般利用函數(shù)思想構(gòu)造新函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系求解．
2
三角函數(shù)中有關(guān)方程根的計算，平面向量中有關(guān)模、夾角的計算，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．
3
數(shù)列的通項與前n項和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，可用函數(shù)的觀點去處理數(shù)列問題，常涉及最值問題或參數(shù)范圍問題，一般利用二次函數(shù)或一元二次方程來解決．
4
解析幾何中有關(guān)的求方程、求值等問題常常需要通過解方程(組)來解決，求范圍、最值等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域、最值來解決．
5
立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計算，經(jīng)常需要運用列方程或建立函數(shù)表達式的方法加以解決.
函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用
[典例] 設(shè)不等式2x－1>m(x2－1)對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m的取值都成立，求x的取值范圍．
[解] 問題可以變成關(guān)于m的不等式：
即(x2－1)m－(2x－1)<0在[－2,2]上恒成立，
設(shè)f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
則
即
解得ln x2－ln x1 B．e－ex1e D．x2e
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