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2019-2020年高中數(shù)學 2.2 直線的方程 2.2.1 直線方程的概念與直線的斜率教案 新人教B版必修2 教學分析　　　　　 本小節(jié)從一個具體的一次函數(shù)與它的圖象入手，引入直線的方程、斜率、傾斜角的概念，注重了由淺及深的學習規(guī)律，并體現(xiàn)了由特殊到一般的研究方法．引導學生認識到之所以引入直線在平面直角坐標系中的傾斜角和斜率概念，是進一步研究直線方程的需要． 直線是最基本、最簡單的幾何圖形，它既能為進一步學習作好知識上的必要準備，又能為今后靈活地運用解析幾何的基本思想和方法打好堅實的基礎．事實上，只有透徹理解并熟練掌握直線的傾斜角和斜率這兩個基本概念，學生才能對直線及其位置進行定量的研究．對直線的傾斜角和斜率，必須要求學生理解它們的準確含義和作用，掌握它們的導出，并在運用上形成相應的技能和熟練的技巧． 三維目標　　　　　 1．了解直線方程的概念，認識事物之間的相互聯(lián)系． 2．理解直線的傾斜角和斜率的定義，充分利用斜率和傾斜角是從數(shù)與形兩方面刻畫直線相對于x軸傾斜程度的這一事實，在教學中培養(yǎng)學生數(shù)形結合的數(shù)學思想． 3．掌握經過兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)的直線的斜率公式：k＝(x1≠x2)，培養(yǎng)學生樹立辯證統(tǒng)一的觀點，并形成嚴謹?shù)目茖W態(tài)度和求簡的數(shù)學精神． 重點難點　　　　　 教學重點：直線的傾斜角和斜率的概念以及過兩點的直線的斜率公式． 教學難點：斜率公式的推導． 課時安排　　　　　 1課時 導入新課　　　　　 設計1.如下圖所示，在直角坐標系中，過點P的一條直線繞P點旋轉，不管旋轉多少周，它對x軸的相對位置有幾種情形？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率． 設計2.我們知道，經過兩點有且只有(確定)一條直線．那么，經過一點P的直線l的位置能確定嗎？這些直線有什么聯(lián)系和區(qū)別呢？教師引入課題：直線的傾斜角和斜率． 推進新課　　　　　 (1)一次函數(shù)的圖象是什么形狀？以y＝2x＋1為例說明． (2)方程y＝kx＋b的解與其圖象上的點有什么對應關系？ (3)直線y＝kx＋b被其上的任意兩個不同的點所唯一確定(如下圖)，如果點A(x1，y1)，點B(x2，y2)是這條直線上任意兩點，其中x1≠x2，怎樣由這兩點的坐標計算出k的值呢？ (4)怎樣用角來表示直線的傾斜程度？ (5)寫出求一條直線斜率的計算步驟． 討論結果： (1)所有一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象是一條直線．例如函數(shù)y＝2x＋1的圖象是通過點(0,1)和點(1,3)的一條直線l(如下圖)，直線l是函數(shù)y＝2x＋1的圖象，所表達的意義是：如果點P在l上，則它的坐標(x，y)滿足關系y＝2x＋1，① 反之，如果點P的坐標(x，y)滿足①式，則點P一定在l上． 于是，函數(shù)式y(tǒng)＝2x＋1，可作為描述直線l的特征性質，因此l＝{(x，y)|y＝2x＋1}． 我們再來看k＝0的特殊情況． 例如方程y＝2，無論x取何值，y始終等于2，雖然它已不是一次函數(shù)，但方程y＝2(常值函數(shù))的圖象是一條通過點(0,2)且平行于x軸的直線． (2)由于函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)或y＝b都是二元一次方程，因此，我們也可以說，方程y＝kx＋b的解與其圖象上的點存在一一對應關系． 如果以一個方程的解為坐標的點都在某條直線上，且這條直線上點的坐標都是這個方程的解，那么這個方程叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線． 由于方程y＝kx＋b的圖象是一條直線，因此我們今后常說直線y＝kx＋b. (3)由于x1，y1和x2，y2是直線方程的兩組解，方程y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，兩式相減，得y2－y1＝kx2－kx1＝k(x2－x1)．因此k＝(x1≠x2)． 所以由直線上兩點的坐標，可以求出k的值，且它與這兩點在直線上的順序無關，即k＝(x1≠x2)． 如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1，則Δx表示變量x的改變量，Δy表示相應的y的改變量．于是k＝(Δx≠0)． 通常，我們把直線y＝kx＋b中的系數(shù)k叫做這條直線的斜率．垂直于x軸的直線，人們常說它的斜率不存在． 方程y＝kx＋b(k≠0)的圖象是通過點(0，b)且斜率為k的直線． 對一次函數(shù)所確定的直線，它的斜率等于相應函數(shù)值的改變量與自變量改變量的比值．直觀上可使我們感知到斜率k的值決定了這條直線相對于x軸的傾斜程度． (4)x軸正向與直線向上的方向所成的角叫做這條直線的傾斜角．我們規(guī)定，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角． 由斜率k的定義可知： k＝0時，直線平行于x軸或與x軸重合； k>0時，直線的傾斜角為銳角，此時，k值增大，直線的傾斜角也隨著增大； k<0時，直線的傾斜角為鈍角，此時，k值增大，直線的傾斜角也隨著增大； 垂直于x軸的直線的傾斜角等于90. (5)步驟： (1)給直線上兩點的坐標賦值：x1＝？，x2＝？，y1＝？，y2＝？； (2)計算Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1； (3)如果Δx＝0，則判定“斜率k不存在”； (4)如果Δx≠0，計算k＝； (5)輸出斜率k. 思路1 例1求經過A(－2,0)，B(－5,3)兩點的直線的斜率k. 解：x1＝－2，x2＝－5，y1＝0，y2＝3；Δx＝－5－(－2)＝－3，Δy＝3－0＝3；k＝＝ ＝－1. 變式訓練 1．已知過點A(a,3)，B(6,5)的直線的斜率k＝，則a＝______. 答案：2 　2.經過A(4，－7)，B(4,9)的直線斜率k等于(　　) A．0 B．16 C．－16 D．不存在 答案：D 例2畫出方程3x＋6y－8＝0的圖象． 解：由已知方程解出y，得y＝－x＋. 這是一次函數(shù)的表達式，它的圖象是一條直線，當x＝0時，y＝；當x＝2時，x＝. 在坐標平面內作點A(0，)，B(2，)，作直線AB，即為所求方程的圖象．(如下圖) 點評：方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的圖象是直線，以此方程的任意兩解為坐標的點的連線(直線)就是該方程的圖象． 變式訓練 已知方程4x＋By＋4＝0的圖象過點(1,1)，則B＝______. 解析：把點的坐標值代入方程，得4＋B＋4＝0，解得B＝－8. 答案：－8 思路2 例3 求經過點A(－2,10)，B(5,3)的直線的斜率和傾斜角． 解：k＝＝－1，即tanα＝－1， 又∵0≤α<180，∴α＝135. ∴該直線的斜率是－1，傾斜角是135. 點評：此題要求學生會通過斜率公式求斜率，并根據(jù)斜率求直線的傾斜角． 變式訓練 1．將直線y＝3x繞原點逆時針旋轉90，再向右平移1個單位，所得到的直線為… (　　) A．y＝－x＋ B．y＝－x＋1 C．y＝3x－3 D．y＝x＋1 解析：將直線y＝3x繞原點逆時針旋轉90，得到直線y＝－x，再右移1個單位，得到直線y＝－x＋. 答案：A 2．求過下列兩點的直線的斜率k及傾斜角α. (1)P1(－2,3)，P2(－2,8)；(2)P1(5，－2)，P2(－2，－2)． 解：(1)∵過P1，P2的直線與x軸垂直，∴直線斜率不存在，傾斜角α＝90. (2)k＝tanα＝＝0，∴直線斜率為0，傾斜角α＝0. 例4 已知三點A、B、C，且直線AB、AC的斜率相同，求證：這三點在同一條直線上． 證明：由直線的斜率相同，可知直線AB的傾斜角與AC的傾斜角相等，而這兩直線過公共點A， 所以直線AB與AC重合，因此A、B、C三點共線． 點評：此題反映了斜率公式的應用，即若有公共點的兩直線斜率相同，則可以判斷三點共線． 變式訓練 1．若三點A(2,3)，B(3,2)，C(，m)共線，求實數(shù)m的值． 解：由題意知kAB＝＝－1，kAC＝， ∵A、B、C三點共線，∴kAB＝kAC.∴＝－1.∴m＝. 2．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值＝__________. 答案： 例5 已知三角形的頂點A(0,5)，B(1，－2)，C(－6，m)，BC的中點為D，當AD斜率為1時，求m的值及|AD|的長． 分析：應用斜率公式、中點坐標公式、兩點間的距離公式． 解：D點的坐標為(－，)， ∴kAD＝＝1.∴m＝7.∴D點坐標為(－，)． ∴|AD|＝＝. 變式訓練 1．過點P(－1，－1)的直線l與x軸和y軸分別交于A、B兩點，若P恰為線段AB的中點，求直線l的斜率和傾斜角． 答案：l的斜率為－1，傾斜角為135. 2．如下圖中菱形ABCD的∠BAD＝60，求菱形各邊和兩條對角線所在直線的傾斜角與斜率． 解：由題意知直線AD和BC的傾斜角為60，直線AB和DC的傾斜角為0，直線AC的傾斜角為30，直線BD的傾斜角為120；直線AD和BC的斜率為k＝tan60＝，直線AB和DC的斜率為k＝tan0＝0，直線AC的斜率為k＝tan30＝，直線BD的斜率為k＝tan120＝－. 1．關于直線的傾斜角和斜率，下列哪些說法正確的是(　　) A．任一條直線都有傾斜角，也都有斜率 B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大 C．平行于x軸的直線的傾斜角是0或180 D．直線斜率的范圍是(－∞，＋∞) 答案：D 2．已知直線的斜斜角，求直線的斜率． (1)α＝0；(2)α＝60；(3)α＝90；(4)α＝135. 分析：指導學生根據(jù)定義直接求解． 解：(1)∵tan0＝0，∴傾斜角為0的直線斜率為0. (2)∵tan60＝，∴傾斜角為60的直線斜率為. (3)∵tan90不存在，∴傾斜角為90的直線斜率不存在． (4)∵tan135＝－1，∴傾斜角為135的直線斜率為－1. 3．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0,4)共線，則a＝______. 解析：由題意得kAB＝kAC，則＝，解得a＝4. 答案：4 4．已知a>0，若平面內三點A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共線，則a＝______. 解析：A、B、C三點共線，∴kAB＝kBC， 即＝，a2＋a＝a3－a2，a2－2a－1＝0. ∵a>0，∴a＝1＋. 答案：1＋ 如下圖，直線l1的傾斜角α1＝30，直線l1⊥l2，求l1、l2的斜率． 解：l1的斜率k1＝tanα1＝tan30＝， ∵l2的傾斜角α2＝90＋30＝120， ∴l(xiāng)2的斜率k2＝tan120＝－. 點評：此題要求學生掌握已知直線的傾斜角求斜率． 本節(jié)課學習了： 1．直線方程的概念； 2．直線的斜率、傾斜角和斜率公式； 3．利用斜率判定三點共線． 本節(jié)練習A　1,2題． 在對傾斜角及斜率這兩個概念進行辨析時，以傾斜角與斜率的相互變化作為突破口．同時本節(jié)教學設計注重引導學生通過觀察來獲得新知，在實際教學中教師要及時引導，加強師生交流，學生通過自主觀察、分析還是能得到正確結論的，要留給學生充分的思考時間，透徹理解直線的傾斜角和斜率的概念，能根據(jù)條件正確地求出直線的傾斜角和斜率是知識教學的目的；在形成概念的過程中，培養(yǎng)分析、抽象、歸納的思維能力，強化“形”“數(shù)”結合相互轉化的思想方法，完善學生的數(shù)學知識結構．新課程解析幾何教材在學生沒有三角函數(shù)、向量基礎的情況下展開，使得教學設計有了無米之炊的感覺．從知識接受上講似乎并無大礙，但是從知識的聯(lián)系性、思維的豐富性上來說，講多了給人一種感覺——記住結論會用就行！這或許就是新課程的理念吧．但本課還是力求在學生思維發(fā)展層面上保持較高要求． 已知直線的傾斜角的取值范圍，利用正切函數(shù)的性質，討論直線斜率及其絕對值的變化情況． 解：①0≤α<90.作出y＝tanα在[0，90)區(qū)間內的函數(shù)圖象，由圖象觀察可知：當α∈[0，90)時，y＝tanα＞0，并且隨著α的增大，y不斷增大，|y|也不斷增大． 所以，當α∈[0，90)時，隨著傾斜角α的不斷增大，直線斜率不斷增大，直線斜率的絕對值也不斷增大． ②90<α<180.作出y＝tanα在(90，180)區(qū)間內的函數(shù)圖象，由圖象觀察可知：當α∈(90，180)時，y＝tanα＜0，并且隨著α的增大，y＝tanα不斷增大，|y|不斷減?。? 所以當α∈(90，180)時，隨著傾斜角α的不斷增大，直線的斜率不斷增大，但直線斜率的絕對值不斷減小． 點評：針對以上結論，雖然有當α∈[0，90)時，隨著α增大直線斜率不斷增大；當α∈(90，180)時，隨著α增大直線斜率不斷增大．但是當α∈[0，90)∪(90，180)時，隨著α的增大直線斜率不斷增大卻是一錯誤結論．