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2019-2020年高考數(shù)學(xué)重點難點講解 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)教案 舊人教版 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是高考考查的重點內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并會用它們?nèi)ソ鉀Q某些簡單的實際問題. ●難點磁場 (★★★★★)設(shè)f(x)=log2,F(x)=+f(x). (1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義，給出證明； (2)若f(x)的反函數(shù)為f－1(x),證明：對任意的自然數(shù)n(n≥3),都有f－1(n)>; (3)若F(x)的反函數(shù)F－1(x),證明：方程F－1(x)=0有惟一解. ●案例探究 ［例1］已知過原點O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點. (1)證明：點C、D和原點O在同一條直線上； (2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標. 命題意圖：本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析能力和運算能力.屬★★★★級題目. 知識依托：(1)證明三點共線的方法：kOC=kOD. (2)第(2)問的解答中蘊涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點坐標. 錯解分析：不易考慮運用方程思想去解決實際問題. 技巧與方法：本題第一問運用斜率相等去證明三點共線；第二問運用方程思想去求得點A的坐標. (1)證明：設(shè)點A、B的橫坐標分別為x1、x2,由題意知：x1>1,x2>1,則A、B縱坐標分別為log8x1,log8x2.因為A、B在過點O的直線上，所以,點C、D坐標分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以O(shè)C的斜率：k1=, OD的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一條直線上. (2)解：由BC平行于x軸知：log2x1=log8x2 即：log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=,則點A的坐標為(，log8). ［例2］在xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,對每個自然數(shù)n點Pn位于函數(shù)y=xx()x(0bn+1>bn+2.則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)1時，函數(shù)y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是( ) 二、填空題 3.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)=.則f-－1(x－1)=_________. 4.(★★★★★)如圖，開始時，桶1中有a L水，t分鐘后剩余的水符合指數(shù)衰減曲線y= ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae－nt,假設(shè)過5分鐘時，桶1和桶2的水相等，則再過_________分鐘桶1中的水只有. 三、解答題 5.(★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),當點P(x,y)是函數(shù)y=f(x)圖象上的點時，點Q(x－2a,－y)是函數(shù)y=g(x)圖象上的點. (1)寫出函數(shù)y=g(x)的解析式； (2)若當x∈［a+2,a+3］時，恒有|f(x)－g(x)|≤1,試確定a的取值范圍. 6.(★★★★)已知函數(shù)f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判斷［f(x1)+f(x2)］與f()的大小，并加以證明. 7.(★★★★★)已知函數(shù)x,y滿足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范圍. 8.(★★★★)設(shè)不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集為M，求當x∈M時函數(shù)f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值. 參考答案 難點磁場 解：(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定義域為(－1，1)，設(shè)－1＜x1＜x2＜1,則 F(x2)－F(x1)=()+() , ∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2項中對數(shù)的真數(shù)大于1. 因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函數(shù). (2)證明：由y=f(x)=得：2y=, ∴f－1(x)=,∵f(x)的值域為R，∴f-－1(x)的定義域為R. 當n≥3時，f-1(n)>. 用數(shù)學(xué)歸納法易證2n>2n+1(n≥3),證略. (3)證明：∵F(0)=,∴F－1()=0,∴x=是F－1(x)=0的一個根.假設(shè)F－1(x)=0還有一個解x0(x0≠),則F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠).這是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解. 殲滅難點訓(xùn)練 一、1.解析：由題意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ① 又g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1) ② 由①②得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－. 答案：C 2.解析：當a>1時，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選，又a>1時，y=(1－a)x為減函數(shù). 答案：B 二、3.解析：容易求得f- －1(x)=,從而： f－1(x－1)= 答案： 4.解析：由題意，5分鐘后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n=ln2.設(shè)再過t分鐘桶1中的水只有,則y1=ae－n(5+t)=,解得t=10. 答案：10 三、5.解：(1)設(shè)點Q的坐標為(x′,y′),則x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′. ∵點P(x,y)在函數(shù)y=loga(x－3a)的圖象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga,∴g(x)=loga. (2)由題意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga|=|loga(x2－4ax+3a2)||f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上為減函數(shù)，∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上為減函數(shù)，從而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),于是所求問題轉(zhuǎn)化為求不等式組的解. 由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤,由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤, ∴所求a的取值范圍是0＜a≤. 6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2, ∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤()2(當且僅當x1=x2時取“=”號)， 當a>1時，有l(wèi)ogax1x2≤loga()2, ∴l(xiāng)ogax1x2≤loga()，(logax1+logax2)≤loga, 即f(x1)+f(x2)］≤f()(當且僅當x1=x2時取“=”號) 當0＜a＜1時，有l(wèi)ogax1x2≥loga()2, ∴(logax1+logax2)≥loga,即［f(x1)+f(x2)］≥f()(當且僅當x1=x2時取“=”號）. 7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐標系uOv內(nèi)，圓弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)與平行直線系v=－u+k有公共點，分兩類討論. (1)當u≥0,v≥0時，即a>1時，結(jié)合判別式法與代點法得1+≤k≤2(1+); (2)當u≤0,v≤0,即0＜a＜1時，同理得到2(1－)≤k≤1－.x綜上，當a>1時，logaxy的最大值為2+2，最小值為1+；當0＜a＜1時，logaxy的最大值為1－，最小值為2－2. 8.解：∵2(x)2+9(x)+9≤0 ∴(2x+3)( x+3)≤0. ∴－3≤x≤－. 即 ()－3≤x≤() ∴()≤x≤()－3,∴2≤x≤8 即M={x|x∈［2,8］} 又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1. ∵2≤x≤8,∴≤log2x≤3 ∴當log2x=2,即x=4時ymin=－1;當log2x=3,即x=8時，ymax=0.