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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 不等式的性質(zhì)教案 新人教B版必修5 教材分析 這節(jié)的主要內(nèi)容是不等式的概念、不等式與實(shí)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系和不等式的性質(zhì)．這部分內(nèi)容是不等式變形、化簡(jiǎn)、證明的理論依據(jù)及基礎(chǔ)．教材通過具體實(shí)例，讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)生活中存在大量的不等關(guān)系．在不等式與實(shí)數(shù)運(yùn)算的關(guān)系基礎(chǔ)上，系統(tǒng)歸納和論證了不等式的一系列性質(zhì)． 教學(xué)重點(diǎn)是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法和不等式的性質(zhì)，教學(xué)難點(diǎn)是不等式性質(zhì)的證明及其應(yīng)用． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過具體情境，讓學(xué)生感受現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，理解不等關(guān)系與不等式的聯(lián)系，會(huì)用不等式表示不等關(guān)系． 2. 理解并掌握比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的方法． 3. 引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)不等式的性質(zhì)，并利用比較實(shí)數(shù)大小的方法論證這些性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和邏輯論證能力． 任務(wù)分析 這節(jié)內(nèi)容從實(shí)際問題引入不等關(guān)系，進(jìn)而用不等式來表示不等關(guān)系，自然引出不等式的基本性質(zhì)．為了研究不等式的性質(zhì)，首先學(xué)習(xí)比較兩實(shí)數(shù)大小的方法，這是論證不等式性質(zhì)的基本出發(fā)點(diǎn)，故必須讓學(xué)生明確．在教師的引導(dǎo)下學(xué)生基本上可以歸納總結(jié)出不等式的一系列性質(zhì)，但對(duì)于這些性質(zhì)的證明有些學(xué)生認(rèn)為沒有必要或?qū)φ撟C過程感到困惑，為此，必須明確論證性質(zhì)的方法和要點(diǎn)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)中的定理、法則等，通常要通過論證才予以認(rèn)可，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情境 教師通過下列三個(gè)現(xiàn)實(shí)問題創(chuàng)設(shè)不等式的情境，并引導(dǎo)學(xué)生思考． 1. 公路上限速40km／h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km／h，用不等式表達(dá)即為v≤40km／h． 2. 某種雜志以每本2.5元的價(jià)格銷售，可以售出8萬(wàn)本．據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若雜志的單價(jià)每提高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少xx本．若把提價(jià)后雜志的定價(jià)改為x元，怎樣用不等式表示銷售的總收入的不低于20萬(wàn)元？ x［80000－xx（x－25）］≥xx00． 3. 某鋼鐵廠要把長(zhǎng)度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm兩種，按照生產(chǎn)的要求，600mm鋼管的數(shù)量不能超過500mm的3倍，試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式． 設(shè)600mm鋼管的數(shù)量為x，500mm的數(shù)量為y，則 通過上述實(shí)例，說明現(xiàn)實(shí)世界中，不等關(guān)系是十分豐富的，為了解決這些問題，須要我們學(xué)習(xí)不等式及基本性質(zhì)． 二、建立模型 1. 教師精講，分析 我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點(diǎn)中，右邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)比左邊的點(diǎn)表示的實(shí)數(shù)大，用不等式表示為ａ＞ｂ，即ａ減去ｂ所得的差是一個(gè)大于0的數(shù)． 一般地，設(shè)ａ，ｂ∈R，則 ａ＞ｂａ－ｂ＞0， ａ＝ｂａ－ｂ＝0， ａ＜ｂａ－ｂ＜0． 由此可見，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，只要考查它們的差就可以了．例如，比較（ａ＋3）（ａ－5）與（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差變形，然后判斷符號(hào)． 2. 通過問題或復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納和總結(jié)不等式的性質(zhì) （1）對(duì)于“甲的年齡大于乙的年齡”，你能換一種不同的敘述方式嗎？ （2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲與丙哪個(gè)高嗎？ （3）回憶初中已學(xué)過的不等式的性質(zhì)，試用字母把它們表示出來． 用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出上面的問題，便可得出不等式的一些性質(zhì)： 定理1　如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ． 定理2　如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ． 定理3　如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ． 定理4　如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ； 如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ． 3. 定理1～4的證明 關(guān)于定理1～4的證明要注意： （1）定理為什么要證明？ （2）證明定理的主要依據(jù)或出發(fā)點(diǎn)是什么？ （3）定理的證明要規(guī)范，每步推理要有根據(jù)． （4）關(guān)于定理3的推論，定理4的推論1，可由學(xué)生獨(dú)立完成證明． 4. 考慮定理4的推論2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命題，得出定理5 定理5　如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）． 由于直接證明定理5較困難，故可考慮運(yùn)用反證法． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求證：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ． 證法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0． ∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0， ∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ． 證法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ． ［練　習(xí)］ 1. 判斷下列命題的真假，并說明理由． （1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ． （2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ． 四、拓展延伸 1. 如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范圍． 2. 如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn嗎？為什么？ 3. 如果ａ＞ｂ＞0，那么嗎？（其中為正有理數(shù)） 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例從實(shí)際問題引入不等關(guān)系，由如何求非不等關(guān)系引入不等式的求法，進(jìn)而點(diǎn)出教學(xué)的主題———不等式性質(zhì)，由學(xué)生熟悉的實(shí)數(shù)性質(zhì)，及現(xiàn)實(shí)生活中的常識(shí)，將語(yǔ)言表達(dá)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)的一般表示，進(jìn)而得出不等式的常見性質(zhì)．通過對(duì)不等式的證明，使學(xué)生理解對(duì)數(shù)學(xué)定理證明的必要性，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力．就整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)的效果看，這種設(shè)計(jì)是成功的，尤其是由定理的應(yīng)用，達(dá)到了對(duì)性質(zhì)的理解和升華，鞏固了教學(xué)的重點(diǎn)，效果比較理想．此外，這篇案例也十分關(guān)注由學(xué)生自主探究去開發(fā)其潛在能力，培養(yǎng)其發(fā)散思維能力． 總之，這是一篇成功的教學(xué)設(shè)計(jì)案例，美中不足的是，對(duì)文初創(chuàng)設(shè)的現(xiàn)實(shí)情景利用的力度稍欠缺．