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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 2.3空間的角的計(jì)算 蘇教版選修2-1 課時(shí)目標(biāo)　1.掌握異面直線所成角與二面角的概念，能正確運(yùn)用向量的數(shù)量積求角.2.正確運(yùn)用二面角的概念及兩個(gè)平面的法向量的夾角與二面角大小的關(guān)系求二面角的大小.3.掌握平面的斜線所在方向向量與平面的法向量夾角與線面角的關(guān)系． 1．兩條異面直線所成的角 (1)定義：設(shè)a、b是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的________________叫做a與b所成的角． (2)范圍：兩異面直線所成的角θ的取值范圍是________________． (3)向量求法：設(shè)直線a、b的方向向量為a、b，其夾角為φ，則有cosθ＝|cosφ|＝__________. 2．直線與平面所成的角 (1)定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的________所成的角． (2)范圍：直線和平面所成的角θ的取值范圍是__________． (3)向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為θ，a與u的夾角為φ，則有sinθ＝|cosφ|＝________或cosθ＝________. 3．二面角 (1)二面角的取值范圍：________. (2)二面角的向量求法： 利用向量求二面角的平面角有兩種方法： ①若AB，CD分別是二面角α—l—β的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小θ是向量與的夾角(如圖①所示)．即cosθ＝. ②設(shè)n1、n2是二面角α—l—β的兩個(gè)面α、β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)就是二面角的平面角的大小(如圖②所示)．即二面角α—l—β的大小θ的余弦值為 cosθ＝或cosθ＝－. 一、填空題 1．若直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角是150，則l1與l2這兩條異面直線所成的角為_______________________________________________________． 2．若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于150，則直線l與平面α所成的角為________． 3. 如圖所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點(diǎn)，若∠B1MN＝90，則∠PMN的大小是______． 4．將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，則二面角A—BC—D的平面角的余弦值是________． 5．已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為________． 6．若兩個(gè)平面α，β的法向量分別是n＝(1,0,1)，ν＝(－1，1,0)，則這兩個(gè)平面所成的銳二面角的度數(shù)是________． 7．如圖， 已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________． 8．已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為________． 二、解答題 9. 如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M、N分別為A1B1和BB1的中點(diǎn)，求異面直線AM與C1N所成的角的余弦值． 10. 如圖所示，三棱柱OAB—O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60，∠AOB＝90，且OB＝OO1＝2，OA＝，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大?。? 能力提升 11．已知三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上一點(diǎn)，且AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點(diǎn)． (1)證明：CM⊥SN； (2)求SN與平面CMN所成角的大?。? 12. 如圖所示，底面ABCD是直角梯形，∠ABC＝90，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，求平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值． 1．兩異面直線所成的角θ等于兩異面直線的方向向量a，b所成的角(或其補(bǔ)角)，所以求解時(shí)要加絕對(duì)值，cosθ＝|cos〈a，b〉|. 2．求直線與平面的夾角的方法與步驟 思路一：找直線在平面內(nèi)的射影，充分利用面與面垂直的性質(zhì)及解三角形知識(shí)可求得夾角(或夾角的某一三角函數(shù)值)． 思路二：用向量法求直線與平面的夾角可利用向量夾角公式或法向量． 3．二面角的求法往往有兩種思路．一種是幾何法，可以在兩個(gè)半平面內(nèi)作出垂直于棱的兩條線段，找出二面角的平面角，這是幾何中的一大難點(diǎn)．另一種是向量法，當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立(有特殊的位置關(guān)系)時(shí)，用向量法求解二面角無需作出二面角的平面角．只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡(jiǎn)單的運(yùn)算即可求出．可以根據(jù)所求二面角是銳角還是鈍角確定二面角大?。? 3．2.3　空間的角的計(jì)算 知識(shí)梳理 1．(1)銳角或直角　(2)0<θ≤　(3) 2．(1)射影　(2)0≤θ≤　(3)　sinφ 3．(1)[0，π] 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．30 2．60 3．90 解析　A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN. ∵＝(＋)＝＋＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90. 4. 解析　 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O—xyz， 設(shè)正方形ABCD的棱長(zhǎng)為1，則 O(0,0,0)，A， B，C. ∴＝，＝. 設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)， 則　∴ 可取n＝(1，－1,1)． 由題意知，平面BCD的法向量為＝， ∴cos〈n，〉＝＝＝， 即二面角A—BC—D的平面角的余弦值為. 5. 解析　如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)锳1D⊥平面ABC，AD⊥BC，設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為1，則AD＝，AA1＝1，A1D＝， 故A1. 又A，B， ∴＝ ＝，＝， ∴cos〈，〉＝. ∴異面直線AB與CC1所成角的余弦值為. 6．60 解析　∵cos〈n，ν〉＝＝－. ∴〈n，ν〉＝120.故兩平面所成的銳二面角為60. 7．90 解析　建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為1，則 B，M， B1， 因此＝，＝，設(shè)異面直線AB1與BM所成的角為θ， 則cosθ＝|cos〈，〉|＝＝0， ∴θ＝90. 8. 解析　 如圖，連結(jié)A1B，則A1B∥CD1，故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角． 設(shè)AB＝a，則A1E＝a，A1B＝a，BE＝a. 在△A1BE中，由余弦定理得， cos∠A1BE＝ ＝＝. 9．解　方法一　∵＝＋， ＝＋， ∴＝(＋)(＋) ＝＝－. 而||＝ ＝＝＝. 同理||＝. 設(shè)α為異面直線AM與C1N所成的角， 則cosα＝＝＝. 方法二　 以，，為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz. 則A(1,0,0)，M， C1(0,1,1)，N，于是有＝－(1,0,0)＝， ＝－(0,1,1)＝. ∴＝01＋0＋1＝－， 又||＝＝， ||＝＝， ∴cosα＝＝＝. 10．解　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則O(0,0,0)，O1(0,1，)， A(，0,0)，A1(，1，)， B(0,2,0)， ∴＝－＝(－，1，－)， ＝－＝(，－1，－)． ∴cos〈，〉＝ ＝＝－. ∴異面直線A1B與AO1所成角的余弦值為. 11. (1)證明　設(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示， 則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)， N(，0,0)，S(1，，0)． 所以＝(1，－1，)，＝(－，－，0)． 因?yàn)椋剑?＝0， 所以CM⊥SN. (2)解?。?－，1,0)， 設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的一個(gè)法向量，則 即令x＝2，得a＝(2,1，－2)． 因?yàn)閨cos〈a，〉|＝ ＝＝， 所以SN與平面CMN所成的角為45. 12．解　如圖所示以A為原點(diǎn)，AB，AD，AS所在的直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則D，C(1,1,0)， S(0,0,1)，A(0,0,0)． 所以＝，＝(1,1，－1)，＝， 設(shè)平面SDC的法向量為n＝(x，y，z)，則n⊥，n⊥， 所以　即 令z＝1，則x＝－1，y＝2. 此時(shí)n＝(－1,2,1)． 而是平面SAB的法向量，則＝. 觀察圖形可知平面SCD與平面SAB所成角的余弦值為.