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2019-2020年高中數(shù)學 第二章 第十一課時 平面向量數(shù)量積的坐標表示教案 蘇教版必修4 教學目標： 掌握兩個向量數(shù)量積的坐標表示方法，掌握兩個向量垂直的坐標條件，能運用兩個向量的數(shù)量積的坐標表示解決有關(guān)長度、角度、垂直等幾何問題. 教學重點： 平面向量數(shù)量積的坐標表示. 教學難點： 向量數(shù)量積的坐標表示的應用. 教學過程： Ⅰ.課題引入 上一節(jié)我們學習了平面向量的數(shù)量積，并對向量已能用坐標表示，如果已知兩個非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎樣用a和b的坐標表示ab呢? 這是我們這一節(jié)將要研究的問題. Ⅱ.講授新課 首先我們推導平面向量的數(shù)量積坐標表示： 記a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， ∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j ∴ab＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)ij＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2 1.平面向量數(shù)量積的坐標表示： 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， ∴ab＝x1x2＋y1y2 2.兩向量垂直的坐標表示： 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 則a⊥bab＝0x1x2＋y1y2＝0 ［例1］已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，則a與b的夾角是多少? 分析：為求a與b夾角，需先求ab及｜a｜｜b｜，再結(jié)合夾角θ的范圍確定其值. 解：由a＝(1，)，b＝(＋1，－1) 有ab＝＋1＋ (－1)＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝2. 記a與b的夾角為θ，則cosθ＝＝ 又∵0≤θ≤， ∴θ＝ 評述：已知三角形函數(shù)值求角時，應注重角的范圍的確定. ［例2］已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1. 分析：這里兩個條件互相制約，注意體現(xiàn)方程組思想. 解：由a＝(3，4)，b＝(4，3)，有xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y) 又(xa＋yb)⊥a(xa＋yb)a＝0 3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0 即25x＋24y＝0 ① 又｜xa＋yb｜＝1｜xa＋yb｜2＝1 (3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1 整理得：25x2＋48xy＋25y2＝1 即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1 ② 由①②有24xy＋25y2＝1 ③ 將①變形代入③可得：y＝ 再代入①得：x＝ ∴或 ［例3］在△ABC中，＝(1，1)，＝(2，k)，若△ABC中有一個角為直角，求實數(shù)k的值. 解：若A＝90，則＝0， ∴12＋1k＝0，即k＝－2 若B＝90，則＝0，又＝－＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1) 即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0 若C＝90，則＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k2－k＋2＝0無實根， 所以不存在實數(shù)k使C＝90 綜上所述，k＝－2或k＝0時，△ABC內(nèi)有一內(nèi)角是直角. 評述：本題條件中無明確指出哪個角是直角，所以需分情況討論.討論要注意分類的全面性，同時要注意坐標運算的準確性. ［例4］已知：O為原點，A(a，0)，B(0，a)，a為正常數(shù)，點P在線段AB上，且＝t (0≤t≤1)，則的最大值是多少? 解：設P(x，y)，則＝(x－a，y)，＝(－a，a)，由＝t可有： ，解得 ∴＝(a－at，at)，又＝(a，0)， ∴＝a2－a2t ∵a＞0，可得－a2＜0，又0≤t≤1， ∴當t＝0時，＝a2－a2t，有最大值a2. ［例5］已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夾角為60，m為何值時兩向量3a＋5b與ma－3b互相垂直？ 解法：(3a＋5b)(ma－3b) ＝3m｜a｜2－9ab＋5mab－15｜b｜2 ＝27m＋(5m－9)32cos60－154＝42m－87＝0 ∴m＝＝時，(3a＋5b)⊥(ma－3b). Ⅲ.課堂練習 課本P82練習1～8. Ⅳ.課時小結(jié) 通過本節(jié)學習，要求大家掌握兩個向量數(shù)量積的坐標表示方法，掌握兩個向量垂直的坐標形式條件，能運用兩個向量的數(shù)量積的坐標表示解決有關(guān)長度、角度、垂直等幾何問題. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P83習題 6，8，9，10 平面向量數(shù)量積的坐標表示 1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，則a，b之間的關(guān)系為 （ ） A.平行 B.不平行不垂直 C.a⊥b D.以上均不對 2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），則3|a|2－4ab為 （ ） A.63 B.83 C.23 D.57 3．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，則x等于 （ ） A.－23 B. C.－ D.－ 4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍為 （ ） A.（，+∞） B.［，+∞） C.（－∞，） D.（－∞，］ 5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），則a在b方向上的投影為 （ ） A.－ B. C.0 D.1 6．已知向量c與向量a＝（，－1）和b＝（1，）的夾角相等，c的模為，則 c＝ . 7．若a＝（3，4），b＝(1，2）且ab＝10，則b在a上的投影為 . 8．設a＝（x1，y1)，b＝(x`2，y`2)有以下命題： ①|(zhì)a|＝ ②b2＝ ③ab＝x1x`2＋y1y`2 ④a⊥bx1x`2＋y1y`2＝0，其中假命題的序號為 . 9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4）， （1）求證：⊥ ；（2）若四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標. 10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，當k取何值時，t有最小值？最小值為多少？ 11．設向量a，b滿足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值. 平面向量數(shù)量積的坐標表示答案 1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(，)或(－，) 7．2 8．② 9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4）， （1）求證：⊥ ；（2）若四邊形ABCD為矩形，求點C的坐標. （1）證明：∵＝（1，1），＝（－3，3） ∴＝13＋1(－3)＝0， ∴⊥. （2）解：∵ABCD為矩形，設C（x，y）， ∴＝，（1，1）＝（x+1，y－4) ∴x＝0，y＝5，∴C（0，5）. 10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，當k取何值時，t有最小值？最小值為多少？ 解：∵a－b＝(3－k，－2－k) ∴t＝|a－b|＝ ＝＝ ∴當k＝時，t取最小值，最小值為. 11．設向量a，b滿足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值. 解：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2), ∴|a|＝|b|＝1， ∴x12＋y12＝1，x22＋y22＝1 ① 3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2，3y1－2y2), 又|3a－2b|＝3, ∴(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝9, 將①代入化簡， 得x1x2＋y1y2＝ ② 又3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2，3y1＋y2), ∴|3a＋b|2＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9(x12＋y12)＋(x22＋y22)＋6(x1x2＋y1y2)＝12, 故|3a＋b|＝2.