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2019-2020年高中數(shù)學《等比數(shù)列的前n項和》教案4 新人教A版必修5 教學目的： 1．掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路． 2．會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關等比數(shù)列的一些簡單問題 教學重點：等比數(shù)列的前n項和公式推導 教學難點：靈活應用公式解決有關問題 授課類型：新授課 課時安排：1課時 教 具：多媒體、實物投影儀 教材分析： 本節(jié)是對公式的教學，要充分揭示公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握與理解公式的來龍去脈，掌握公式的導出方法，理解公式的成立條件．也就是讓學生對本課要學習的新知識有一個清晰的、完整的認識、忽視公式的推導和條件，直接記憶公式的結論是降低教學要求，違背教學規(guī)律的做法 教學過程： 一、復習引入： 首先回憶一下前兩節(jié)課所學主要內(nèi)容： 1．等比數(shù)列：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0） 2.等比數(shù)列的通項公式: ， 3．｛｝成等比數(shù)列=q（,q≠0） “≠0”是數(shù)列｛｝成等比數(shù)列的必要非充分條件 4．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列． 5．等比中項：G為a與b的等比中項. 即G=（a,b同號）. 6．性質(zhì)：若m+n=p+q， 7．判斷等比數(shù)列的方法：定義法，中項法，通項公式法 8．等比數(shù)列的增減性：當q>1, >0或01, <0,或00時, {}是遞減數(shù)列;當q=1時, {}是常數(shù)列;當q<0時, {}是擺動數(shù)列; 二、講解新課： 例如求數(shù)列1，2，4，…262，263的各項和 即求以1為首項，2為公比的等比數(shù)列的前64項的和，可表示為： ① 2 ② 由②—①可得： 這種求和方法稱為“錯位相減法” “錯位相減法”，是研究數(shù)列求和的一個重要方法 等比數(shù)列的前n項和公式： ∴當時， ① 或 ② 當q=1時， 當已知, q, n 時用公式①；當已知, q, 時，用公式②. 公式的推導方法一： 一般地，設等比數(shù)列它的前n項和是 由 得 ∴當時， ① 或 ② 當q=1時， 公式的推導方法二： 有等比數(shù)列的定義， 根據(jù)等比的性質(zhì)，有 即 （結論同上） 圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運用等比定理，導出了公式． 公式的推導方法三： ＝ ＝＝ （結論同上） “方程”在代數(shù)課程里占有重要的地位，方程思想是應用十分廣泛的一種數(shù)學思想，利用方程思想，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使問題得到解決 三、例題講解 例1 求等比數(shù)列1，2，4，…從第5項到第10項的和. 解：由 ， 從第5項到第10項的和為-=1008 例2一條信息，若一人得知后用一小時將信息傳給兩個人，這兩個人又用一小時各傳給未知此信息的另外兩人，如此繼續(xù)下去，一天時間可傳遍多少人？ 解：根據(jù)題意可知，獲知此信息的人數(shù)成首項的等比數(shù)列 則：一天內(nèi)獲知此信息的人數(shù)為： 例3 已知{}為等比數(shù)列，且=a，=b，（ab≠0），求． 分析：要求，需知，q，而已知條件為和．能否進一步挖掘題目的條件，使已知和未知溝通起來？ 當時 ＝a ① ＝＝＝b ② ②/①得 ③ 將③代入①，得 ∴＝＝＝ 以下再化簡即可． 這樣處理問題很巧妙．沒有分別求得與q的值，而改為求與的值，這樣使問題變得簡單但在分析的過程中是否完備？ 第①式就有問題，附加了條件q≠1．而對q=1情況沒有考慮． 使用等比數(shù)列前n項和公式時，要特別注意適用條件，即 q=1時，=n；當時， 或 （含字母已知數(shù)的等比數(shù)列求和題目，學生常忽略q=1情況，要引起足夠重視，以培養(yǎng)學生思維的嚴密性） 解法1：設等比數(shù)列{}的公比為q． 若q=1（此時數(shù)列為常數(shù)列），則=n=a，=b， 從而有2a=b ∴（或） 若q≠1（即2a≠b），由已知 ＝a ① ＝b ② 又ab0,②/①得 , ③ 將③代入①，得 ∴＝＝＝ ＝ 解法2：由，－，－成等比數(shù)列（練習中證此結論）， 即a,b-a, －b成等比，所以a(－b)=( b-a) 從而有 ＝ （包含了q=1的情況） 四、練習： 是等比數(shù)列，是其前n項和，數(shù)列 （）是否仍成等比數(shù)列？ 解：設首項是，公比為q, ①當q=－1且k為偶數(shù)時，不是等比數(shù)列. ∵此時， =0. 例如：數(shù)列1,－1,1,－1,…是公比為－1的等比數(shù)列，S2=0, ②當q≠－1或k為奇數(shù)時， ＝ ＝ ＝ （）成等比數(shù)列 評述：應注意等比數(shù)列中的公比q的各種取值情況的討論，還易忽視等比數(shù)列的各項應全不為0的前提條件. 五、小結 1. 等比數(shù)列求和公式：當q=1時， 當時， 或 ； 2．是等比數(shù)列的前n項和， ①當q=－1且k為偶數(shù)時，不是等比數(shù)列. ②當q≠－1或k為奇數(shù)時， 仍成等比數(shù)列 3．這節(jié)課我們從已有的知識出發(fā)，用多種方法（迭加法、運用等比性質(zhì)、錯位相減法、方程法）推導出了等比數(shù)列的前n項和公式，并在應用中加深了對公式的認識． 六、課后作業(yè)： 已知數(shù)列是等比數(shù)列，是其前n項的和，求證,－,－成等比數(shù)列. 解：（1）①當q=1時，=7,=14, －=14－7=7,－=21－14a1=7 ∴,－,－為以7為首項，1為公比的等比數(shù)列. ②當q≠1時，= ∴= ∴,－,－成等比數(shù)列. ［這一過程也可如下證明： －=－ === 同理，－== ∴,－,－為等比數(shù)列. 七、板書設計（略） 八、課后記：