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2019-2020年高中數(shù)學(xué)向量的加法運(yùn)算及其幾何意義 【知識(shí)與技能】 1．掌握向量的加法運(yùn)算，并理解其幾何意義； 2．會(huì)用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作出已知兩個(gè)向量的和向量； 3．將向量運(yùn)算與熟悉的數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類比，理解向量加法運(yùn)算的交換律和結(jié)合律，會(huì)用它們進(jìn)行向量計(jì)算. 【過(guò)程與方法】 數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，向量也能進(jìn)行運(yùn)算.但是，對(duì)向量與數(shù)之間不同的地方要非常小心，也即運(yùn)算中除了考慮大小，還要考慮方向問(wèn)題.借助于物理中力的合成可進(jìn)行向量的加法運(yùn)算，即用“三角形法則”和“平行四邊形法則”建立了向量加法運(yùn)算與幾何圖形之間的關(guān)系.根據(jù)三角形法則，和向量+對(duì)應(yīng)的有向線段，就是平移、對(duì)應(yīng)的有向線段，使得（）的起點(diǎn)與（）的終點(diǎn)重合，則以（）的起點(diǎn)為起點(diǎn)以（）的終點(diǎn)為終點(diǎn)的有向線段就是和向量+對(duì)應(yīng)的有向線段；而根據(jù)平行四邊形法則，就是平移、對(duì)應(yīng)的有向線段，使得、的起點(diǎn)重合，并以、對(duì)應(yīng)線段為邊作平行四邊形，以公共起點(diǎn)為起點(diǎn)，對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的有向線段就是和向量+對(duì)應(yīng)的有向線段. 一、教學(xué)目標(biāo) （1）掌握向量的加法的定義，會(huì)用向量加法的三角形法則和會(huì)用向量加法的平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和向量； （2）掌握向量加法的交換律和結(jié)合律，并會(huì)用它們進(jìn)行計(jì)算； （3）啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，善于獨(dú)立思考，學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和創(chuàng)造地解決問(wèn)題； （4）培養(yǎng)學(xué)生化歸的數(shù)學(xué)思想． 二、教學(xué)重點(diǎn)：向量的加法的定義，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個(gè)向量的和向量； 三、教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)向量加法定義的理解． 四、教具：多媒體、投影儀 五、教學(xué)過(guò)程 ㈠設(shè)置情境 請(qǐng)同學(xué)看這樣一個(gè)問(wèn)題：（投影） （1）由于大陸和臺(tái)灣沒(méi)有直航，因此xx年春節(jié)探親，要先從臺(tái)北到香港，再?gòu)南愀鄣缴虾＃@兩次位移之和時(shí)什么？ （2）如圖1（2），飛機(jī)從到，再改變方向從到，則兩次位移的和是，應(yīng)該是_____________． （3）如圖1（3），船的速度是，水流速度是則兩個(gè)速度的和是應(yīng)該是___________． 圖1 A B C A B C 上海 香港 臺(tái)北 答：（1）這人兩次的位移的和是從臺(tái)北到上海；（2）飛機(jī)兩次位移的和是；（3）兩個(gè)速度的和是． 兩個(gè)向量的和仍是一個(gè)向量．本節(jié)課就來(lái)研究?jī)蓚€(gè)向量的和（板書(shū)課題：向量的加法）． ㈡探索研究 （1）向量的加法的定義： 已知向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，則向量叫做 向量的和。記作： 即 零向量與任意向量，有 （2）兩個(gè)向量的和向量的作法： ①三角形法則:兩個(gè)向量“首尾”相接 注意：1三角形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)也適用； 2兩個(gè)向量的和向量仍是一個(gè)向量 [例1]已知向量，求作 向量 作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 ，則 ②平行四邊形法則： 由同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量為鄰邊作平行四邊形ABCD，則以A為起點(diǎn) 的向量就是向量的和。這種作兩個(gè)向量和的方法叫做平行四邊形法則 注意：平行四邊形法則對(duì)于兩個(gè)向量共線時(shí)不適用 （3）向量和與數(shù)量和的區(qū)別： ①當(dāng)向量不共線時(shí)，的方向與不同向，且 ②當(dāng)向量同向時(shí)，的方向與同向，且 當(dāng)向量反向時(shí)，若，則的方向與同向，且 ；若，則的方向與反向，且 ； （4）向量的運(yùn)算律： ①交換律： 證明：當(dāng)向量不共線時(shí),如上圖，作平行四邊形ABCD，使， 則, 因?yàn)椋? 所以 當(dāng)向量共線時(shí)，若與同向，由向量加法的定義知： 與同向，且 與同向，且，所以 若與反向，不妨設(shè)，同樣由向量加法的定義知： 與同向，且 與同向，且，所以 綜上， ②結(jié)合律： 學(xué)生自己驗(yàn)證。 由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，對(duì)于多個(gè)向量的加法運(yùn)算就可以按照任意 的次序與任意的組合來(lái)進(jìn)行了 例如： [例2]如圖，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以的速度向垂直于對(duì) 岸的方向行駛，同時(shí)喝水的流速為，求船實(shí)際航行的速度的 大小與方向。 解：設(shè)表示船垂直于對(duì)岸的速度，表示水流的速度， 以AD,AB為鄰邊作平行四邊形ABCD，則就是船實(shí)際航行的 速度 在中，， 所以 因?yàn)? 答：船實(shí)際航行的速度的大小為，方向與水流速間的夾角為 例3 用向量加法證明：兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 已知：如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD交于點(diǎn)O，且AO=OC，BO=OD D C O A B 求證：ABCD是平行四邊形. 證明：∵AO=OC，BO=OD，∴=，= ∵=+，=+，∴，即AD=BC且AD|| BC，∴ABCD是平行四邊形 （5）演練反饋（投影） （1）在平行四邊形中，，則用、表示向量的是（ ） A．＋ B． C．0 D．＋ （2）若為△內(nèi)一點(diǎn)，，則是△的（ ） A．內(nèi)心 B．外心 C．垂心 D．重心 （3）下列各等式或不等式中一定不能成立的個(gè)數(shù)（ ） ① ② ③ ④ A．0 B．1 C．2 D．3 （6）總結(jié)提煉 （1）是一個(gè)向量，在三角形法則下：平移向量，使的起點(diǎn)與的終點(diǎn)重合，則就是以的起點(diǎn)為起點(diǎn)，的終點(diǎn)為終點(diǎn)的新向量． （2）一組首尾相接的向量和：，如圖5． 圖5 （3）對(duì)任意兩個(gè)向量、， 任有成立． ㈢板書(shū)設(shè)計(jì) ●題目答疑 習(xí)題(課本P)參考答案 1.略 2.略 3. （1）；（2） 4. (1) c （2）f （3）f （4）g