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2019-2020年中考專題復(fù)習(xí)：第二講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算 【重點(diǎn)考點(diǎn)例析】 考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)的大小比較。 例1 （xx?淮安）如圖，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為和5.1，則A、B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)共有（　?。? A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè) 思路分析：根據(jù)比1大比2小，5.1比5大比6小，即可得出A、B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)． 解：∵1＜＜2，5＜5.1＜6， ∴A、B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有2，3，4，5，共有4個(gè)； 故選C． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了無(wú)理數(shù)的估算和數(shù)軸，根據(jù)數(shù)軸的特點(diǎn)，我們把數(shù)和點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來，也就是把“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，二者互相補(bǔ)充，相輔相成，把很多復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，在學(xué)習(xí)中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1．（xx?內(nèi)江）下列四個(gè)實(shí)數(shù)中，絕對(duì)值最小的數(shù)是（　?。? A．-5 B．- C．1 D．4 1．C 考點(diǎn)二：估算無(wú)理數(shù)的大小 例2 （xx?畢節(jié)地區(qū)）估計(jì)的值在（　　）之間． A．1與2之間 B．2與3之間 C．3與4之間 D．4與5之間 思路分析：11介于9與16之間，即9＜11＜16，則利用不等式的性質(zhì)可以求得介于3與4之間． 解：∵9＜11＜16， ∴3＜＜4，即的值在3與4之間． 故選C． 點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根式的計(jì)算和估算無(wú)理數(shù)的大小，解題需掌握二次根式的基本運(yùn)算技能，靈活應(yīng)用．“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2．（xx?吳江市模擬）3+的整數(shù)部分是a，3- 的小數(shù)部分是b，則a+b等于 ． 2． 考點(diǎn)三：有關(guān)絕對(duì)值的運(yùn)算 例3 （xx?咸寧）在數(shù)軸上，點(diǎn)A（表示整數(shù)a）在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B（表示整數(shù)b）在原點(diǎn)的右側(cè)．若|a-b|=xx，且AO=2BO，則a+b的值為 -671 ． 思路分析：根據(jù)已知條件可以得到a＜0＜b．然后通過取絕對(duì)值，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離定義知b-a=xx，a=-2b，則易求b=671．所以a+b=-2b+b=-b=-671． 解：如圖，a＜0＜b． ∵|a-b|=xx，且AO=2BO， ∴b-a=xx，① a=-2b，② 由①②，解得b=671， ∴a+b=-2b+b=-b=-671． 故答案是：-671． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)軸、絕對(duì)值以及兩點(diǎn)間的距離．根據(jù)已知條件得到a＜0＜b是解題的關(guān)鍵． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3．（xx?永州）已知，則 的值為 -1 ． 3．-1 考點(diǎn)四：實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算。 例4 （xx?自貢）計(jì)算：xx0+()-1-2sin60-|-2|= 1 ． 思路分析：本題涉及零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值等四個(gè)考點(diǎn)．針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果． 解：原式=1+-2-（2-）=1+2--2+=1， 故答案為1． 點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握負(fù)零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4．（xx?玉林）計(jì)算：+2cos60-（π-2-1）0． 4．解：原式=2+2-1=2． 考點(diǎn)五：實(shí)數(shù)中的規(guī)律探索。 例5 （xx?永州）我們知道，一元二次方程x2=-1沒有實(shí)數(shù)根，即不存在一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1．若我們規(guī)定一個(gè)新數(shù)“i”，使其滿足i2=-1（即方程x2=-1有一個(gè)根為i）．并且進(jìn)一步規(guī)定：一切實(shí)數(shù)可以與新數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有運(yùn)算律和運(yùn)算法則仍然成立，于是有i1=i，i2=-1，i3=i2?i=（-1）?i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，從而對(duì)于任意正整數(shù)n，我們可以得到i4n+1=i4n?i=（i4）n?i=i，同理可得i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1．那么i+i2+i3+i4+…+ixx+ixx的值為（　?。? A．0 B．1 C．-1 D．i 思路分析：i1=i，i2=-1，i3=i2?i=（-1）?i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4?i=i，i6=i5?i=-1，從而可得4次一循環(huán)，一個(gè)循環(huán)內(nèi)的和為0，計(jì)算即可． 解：由題意得，i1=i，i2=-1，i3=i2?i=（-1）?i=-i，i4=（i2）2=（-1）2=1，i5=i4?i=i，i6=i5?i=-1， 故可發(fā)現(xiàn)4次一循環(huán)，一個(gè)循環(huán)內(nèi)的和為0， ∵=503…1， ∴i+i2+i3+i4+…+ixx+ixx=i． 故選D． 點(diǎn)評(píng)：本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是計(jì)算出前面幾個(gè)數(shù)的值，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出一個(gè)循環(huán)內(nèi)的和再計(jì)算，有一定難度． 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 5．（xx?臺(tái)州）任何實(shí)數(shù)a，可用[a]表示不超過a的最大整數(shù)，如[4]=4，[]=1．現(xiàn)對(duì)72進(jìn)行如下操作：，這樣對(duì)72只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?，類似的，①對(duì)81只需進(jìn)行幾次3 操作后變?yōu)?：②只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是幾？255 ？？ 5．解：①[]=9，[]=3，[]=1，故答案為：3； ②最大的是255，[]=15，[]=3，[]=1，而[]=16，[]=4，[]=2，[]=1， 即只需進(jìn)行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的正整數(shù)是255， 故答案為：255． 【聚焦山東中考】 1．（xx?萊蕪）在-，-，-2，-1這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（　?。? A．- B．- C．-2 D．-1 1．B 2．（xx?濱州）計(jì)算- ，正確的結(jié)果為（　?。? A． B．- C． D．- 2．D 3．（xx?日照）計(jì)算-22+3的結(jié)果是（　?。? A．7 B．5 C．-1 D．-5 3．C 4．（xx?聊城）（-2）3的相反數(shù)是（　?。? A．-6 B．8 C．- D． 4．B 5．（xx?菏澤）如果a的倒數(shù)是-1，那么axx等于（　?。? A．1 B．-1 C．xx D．-xx 5．B 【備考真題過關(guān)】 一、選擇題 1．（xx?廣州）比0大的數(shù)是（　?。? A．-1 B．- C．0 D．1 1．D 2．（xx?重慶）在-2，0，1，-4這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（　　） A．-4 B．-2 C．0 D．1 2．D 3．（xx?天津）計(jì)算（-3）+（-9）的結(jié)果等于（　?。? A．12 B．-12 C．6 D．-6 3．B 4．（xx?河北）氣溫由-1℃上升2℃后是（　?。? A．-1℃ B．1℃ C．2℃ D．3℃ 4．B 5．（xx?自貢）與-3的差為0的數(shù)是（　?。? A．3 B．-3 C． D．- 5．B 6．（xx?溫州）計(jì)算：（-2）3的結(jié)果是（　?。? A．-6 B．-1 C．1 D．6 6．A 7．（xx?廈門）下列計(jì)算正確的是（　　） A．-1+2=1 B．-1-1=0 C．（-1）2=-1 D．-12=1 7．A 8．（xx?南京）計(jì)算：12-7（-4）+8（-2）的結(jié)果是（　?。? A．-24 B．-20 C．6 D．36 8．D 9．（xx?常德）計(jì)算 +的結(jié)果為（　?。? A．-1 B．1 C．4-3 D．7 9．B 10．（xx?南京）設(shè)邊長(zhǎng)為3的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為a．下列關(guān)于a的四種說法：①a是無(wú)理數(shù)；②a可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示；③3＜a＜4；④a是18的算術(shù)平方根．其中，所有正確說法的序號(hào)是（　?。? A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 10．C 二、填空題 11．（xx?欽州）比較大?。?1 ＜ 2（填“＞”或“＜”） 11．＜ 12．（xx?曲靖）若a=1.9105，b=9.1104，則a ＞ b（填“＜”或“＞”）． 12．＞ 13．（xx?衡陽(yáng)）計(jì)算(-4)(- )= 2 ． 13．2 14．（xx?河南）計(jì)算：|-3|- = 1 ． 14．1 15．（xx?呼和浩特）大于且小于 的整數(shù)是 2 ． 15．2 16．（xx?湘潭）計(jì)算：sin45+(-)0= 2 ． 16．2 17．（xx?牡丹江）定義一種新的運(yùn)算a﹠b=ab，如2﹠3=23=8，那么請(qǐng)?jiān)嚽螅?﹠2）﹠2= 81 ． 17．81 18．（xx?紅河州模擬）計(jì)算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，歸納計(jì)算結(jié)果中的個(gè)位數(shù)字的規(guī)律，猜測(cè)3xx+1的個(gè)位數(shù)字是 4 ． 18．4 19．（xx?黃石）在計(jì)數(shù)制中，通常我們使用的是“十進(jìn)位制”，即“逢十進(jìn)一”，而計(jì)數(shù)制方法很多，如60進(jìn)位制：60秒化為1分，60分化為1小時(shí)；24進(jìn)位制：24小時(shí)化為一天；7進(jìn)位制：7天化為1周等…而二進(jìn)位制是計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)的依據(jù)．已知二進(jìn)位制與十進(jìn)位制比較如下表： 十進(jìn)位制 0 1 2 3 4 5 6 … 二進(jìn)位制 0 1 10 11 100 101 110 … 請(qǐng)將二進(jìn)位制數(shù)10101010（二）寫成十進(jìn)位制數(shù)為 170 ． 19．170 20．（xx?天河區(qū)一模）我們常用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，計(jì)算機(jī)程序使用的是二進(jìn)制數(shù)（只有數(shù)碼0和1），它們兩者之間可以互相換算，如將（101）2，（1011）2換算成十進(jìn)制數(shù)應(yīng)為： (101)2=122+021+120=4+0+1=5；(1011)2=123+022+121+120=11 按此方式，將二進(jìn)制（1101）2換算成十進(jìn)制數(shù)的結(jié)果是 13 ． 20．13 三、解答題 21．（xx?株洲）計(jì)算： +|-3|-2sin30． 21．解：原式=2+3-2=5-1=4． 22．（xx?珠海）計(jì)算：()-1--1）0+|-|。 22．解：原式=3-1+-=． 23．（xx?重慶）計(jì)算：(-1)xx-|-2|+( -π)0+()-1． 23．解：原式=-1-2+12+4=3． 24．（xx?張家界）計(jì)算：(xx-π)0-()-2-2sin60+|-1|． 24．解：原式=1-4-2+-1=-4． 25．（xx?南寧）計(jì)算：xx0- +2cos60+（-2） 25．解：原式=1-3+2-2=-3． 26．（xx?遂寧）計(jì)算：|-3|+ ?tan30- -(xx-π)0． 26．解：原式=3+-2-1=3+1-2-1=1．