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2019-2020年中考數(shù)學(xué) 知識點聚焦 第十九章 解直角三角形 考 情 分 析 高頻考點 考查頻率 所占分值 1.勾股定理 ★★ 8～12分 2.勾股定理的逆定理 ★ 3.銳角三角函數(shù)的概念 ★★ 4.特殊角的銳角三角函數(shù) ★★★ 5.解直角三角形 ★★ 6.解直角三角形的應(yīng)用 ★★★ 7.解非直角三角形 ★★ 勾股定理的驗證方法很多，可以用測量計算，可以用代數(shù)式的變形，可以用幾何證明，也可以用面積（拼圖）證明，其中拼圖法是最常見的一種方法，驗證如下： 現(xiàn)有四塊直角邊長為，，斜邊長為的直角三角形紙板，請從中取出若干塊進(jìn)行拼圖（需畫出所拼的圖形），證明勾股定理。 證法1：如圖所示， ∵， ∴，∴。 證法2：如圖所示， ∵， ∴， 整理，得。 證法3：如圖所示， ∵， ∴，整理，得。 知能解讀（二）勾股定理的應(yīng)用 勾股定理揭示了直角三角形的三邊關(guān)系，其應(yīng)用有：（1）已知兩邊求第三邊；（2）證明三角形中的某些線段的平方關(guān)系；（3）作長為的線段。 知能解讀（三）勾股定理的逆定理 如果三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形。 點撥 勾股定理的逆定理是判定三角形是直角三角形的一個依據(jù)。 知能解讀（四）勾股數(shù) 一般地，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正常數(shù)稱為勾股數(shù)，當(dāng)為正整數(shù)時，下列各組數(shù)都是常見勾股數(shù)：，，，，等。如當(dāng)時，是一組勾股數(shù)：當(dāng)時，也是一組勾股數(shù)。 點撥 求勾股數(shù)的方法：（1）如果是大于1的奇數(shù)，，是兩個連續(xù)自然數(shù)，且有，則，，是一組勾股數(shù)；（2）如果，，為一組勾股數(shù)，則，，也是一組勾股數(shù)，其中為自然數(shù)。 方法技巧歸納 方法技巧（一）利用勾股定理直接求直角三角形的第三邊的方法 利用勾股定理求直角三角形的第三邊時，應(yīng)先明確哪條是直角邊，哪條邊是斜邊。 點撥 本題考查勾股定理及平行線分線段成比例定理，由條件得出為的中點，進(jìn)而利用三角形中位線定理解題。 方法技巧（二）利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀的方法 如果一個三角形的三邊長，，滿足，那么這個三角形是直角三角形，且為斜邊長，所對的角為直角。 勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，通過計算，判定三角形的形狀。 點撥 已知三角形的三邊長，可以運用勾股定理的逆定理判定這個三角形是否為直角三角形，其方法是：先比較三邊的大小找出最長邊，只是較短兩邊的平方和等于最長邊的平方，這個三角形就是直角三角形。 方法技巧（三）勾股定理及其逆定理的應(yīng)用 勾股定理在現(xiàn)實中的應(yīng)用比較廣泛，但歸結(jié)起來主要有以下兩方面：一是根據(jù)勾股定理求某些線段的長度；二是利用其逆定理判斷三角形的形狀。 易混易錯辨析 易混易錯知識 把握不好勾股定理適用的范圍：只適用于直角三角形，而不適用于其他的三角形。 易混易錯（一）利用勾股定理直角三角形某條邊時，未分情況討論出現(xiàn)漏解 易混易錯（二）忽略勾股定理存在的條件致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 勾股定理及其逆定理是近年來中考的熱點之一，主要考查利用勾股定理解決簡單的實際問題及利用其逆定理判定三角形的形狀等，題型多樣，填空題、選擇題、解答題均有，常與解直角三角形、三角函數(shù)、四邊形、圓等知識綜合在一起進(jìn)行考查。 中考試題（一）利用勾股定理運算求解 中考試題（二）利用勾股定理的逆定理判斷直角三角形 中考試題（三）應(yīng)用勾股定理解決實際問題 中考試題（四）勾股定理的證明 點撥 證明勾股定理是用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積，列出含有的等式，利用整式的運算法則把等式整理后得到。 第45講 銳角三角函數(shù) 知識能力解讀 知能解讀（一）正弦、余弦、正切的概念 如圖所示，在中，。 （1）銳角的對邊與斜邊的比叫作的正弦， 記作， 即。 （2）銳角的鄰邊與斜邊的比叫作的余弦，記作，即。 （3）銳角的對邊與鄰邊的比叫作的正切，記作，即。 銳角的正弦、余弦、正切都是的三角函數(shù)。 注意 （1）正弦、余弦、正切的概念都是直角三角形中給出的，應(yīng)用時要避免對任意的三角形隨便套用。 （2）不是與的乘積，是三角函數(shù)記號，是一個整體?！啊北硎疽粋€比值，其他兩個三角形函數(shù)記號也是一樣的。 （3）銳角三角函數(shù)值與三角形三邊長短無關(guān)，只與銳角的大小有關(guān)。 （4）在范圍內(nèi)：，，。 知能解讀（二）特殊角的三角函數(shù)值 特殊角有角，它們的三角函數(shù)值如下表： 三角函數(shù)值 1 知能解讀（三）知識拓展 1 銳角三角函數(shù)值的變化情況 當(dāng)時，的正弦值、正切值隨角的度數(shù)的增大而增大，即若，且均為銳角，則； 的余弦值隨角的度數(shù)的增大而減小，即若，且均為銳角，則. 2 同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系 （1）平方關(guān)系：為銳角，即同一銳角的正弦和余弦的平方和等于1. （2）商的關(guān)系：為銳角，即同一銳角的正弦與余弦的商等于正切. 3 互為余角的角的三角函數(shù)之間的關(guān)系 若，則. 即任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值. 知能解讀（四）用計算器計算三角函數(shù)值 用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求對應(yīng)的銳角是必須掌握的. 注意 由三角函數(shù)值求角的度數(shù)時，要用到sin cos tan鍵的第二功能鍵，要注意按鍵的順序. 知能解讀（五）直角三角形的性質(zhì) 在直角三角形中，角所對的直角邊是斜邊的一半. 方法技巧歸納 方法技巧（一）三角函數(shù)值的求法 銳角三角函數(shù)值是直角三角形中各邊之間的比值，要求某一銳角的某三角函數(shù)值，應(yīng)明確是哪些邊之間的比值，一定要依據(jù)各自的定義進(jìn)行計算. 方法技巧（二）特殊角的三角函數(shù)值的有關(guān)計算 特殊角的三角函數(shù)值的有關(guān)計算，關(guān)鍵是熟記角的各種三角函數(shù)值，將對應(yīng)的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可. 點撥 本題需掌握“幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個非負(fù)數(shù)的值分別為0”的性質(zhì)，并需熟記特殊角的三角函數(shù)值。 方法技巧（三）銳角三角函數(shù)增減性的應(yīng)用 點撥 解答此題的關(guān)鍵首先是明確銳角的余弦函數(shù)值是隨角的度數(shù)的增大而減少的，其次是熟記特殊角（30，45，60角）的余弦值。 易混易錯辨析 易混易錯知識 1.沒有明確三角形的形狀直接求銳角三角函數(shù)，導(dǎo)致出錯. 銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的，因此在解答問題之前，必須看銳角是否在直角三角形中. 2.特殊角的三角函數(shù)值. 進(jìn)行計算時，記錯角的各種三角函數(shù)值. 易混易錯（一）未判斷三角形形狀，亂用條件致錯 易混易錯（二）忽視銳角三角函數(shù)的取值范圍致錯 中考試題研究 中考命題規(guī)律 直角三角形的邊角關(guān)系——三角函數(shù)是數(shù)形結(jié)合思想的最直觀的體現(xiàn)，是中考的必考內(nèi)容之一，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，主要考查三角函數(shù)值的求法及特殊角的三角函數(shù)值的有關(guān)運算，多為中、低檔題. 中考試題（一）對銳角三角函數(shù)概念的理解 中考試題（二）構(gòu)造直角三角形求銳角三角函數(shù)值 中考試題（三）特殊角的三角函數(shù)值的綜合計算 第46講 解直角三角形 知識能力解讀 知能解讀（一）直角三角形的邊角關(guān)系 如圖所示，直角三角形ABC的邊角關(guān)系可以從以下三個方面加以歸納： （1）三邊之間的關(guān)系：（勾股定理）. （2）兩銳角之間的關(guān)系：. （3）邊角之間的關(guān)系：. 知能解讀（二）解直角三角形的概念及基本類型 （1）概念：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個銳角.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程.叫作解直角三角形.利用“知能解讀（一）”中直角三角形的邊角關(guān)系，知道其中的兩個元素（至少有一個是邊），就可以求出其余三個未知元素. （2）解直角三角形的四種基本類型：①已知兩直角邊；②已知一直角邊和斜邊；③已知一銳角和一直角邊；④已知一銳角和斜邊. 拓展 在非直角三角形的問題中，往往是通過作三角形的高，構(gòu)造直角三角形來解決，而作高時，常從非特殊角的頂點作高.對于較復(fù)雜的圖形，往往通過“補(bǔ)形”或“分割”的方法構(gòu)造出直角三角形，利用解直角三角形的方法實現(xiàn)問題的有機(jī)轉(zhuǎn)化. 點撥 解直角三角形的方法：“有斜（斜邊）用弦（正弦、余弦），無斜用切（正切），寧乘毋除，取原避中”.這幾句話的意思是當(dāng)已知或求解中有斜邊時，就用正弦或余弦，無斜邊時，就用正切；當(dāng)所求的元素既可用乘法又可用除法求解時，則用乘法，不用除法，既可由已知數(shù)據(jù)又可由中間數(shù)據(jù)求解時，則用已知數(shù)據(jù)，盡量避免用中間數(shù)據(jù). 知能解讀（三）實際問題中常用的概念 1　仰角、俯角 在測量時，視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的叫仰角，在水平線下方的叫俯角，如圖所示. 2　坡度、坡角 如圖所示，坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫坡度，，坡面與水平面的夾角叫坡角.實際上，坡度就是坡角的正切值. 點撥 坡度經(jīng)常寫成的形式，坡度越大，坡角越大，坡面越陡；反之坡度越小，坡角越小，坡面越緩. 3　方位角 從正北方向線或正南方向線到目標(biāo)方向線所成的小于的角，叫作方位角，如圖所示，OA是表示北偏東方向的一條射線. 知能解讀（四）應(yīng)用直角三角形解實際問題的一般過程 （1）將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題（畫出平面圖形，轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題）； （2）根據(jù)問題中的條件，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解直角三角形； （3）得到數(shù)學(xué)問題的答案； （4）得到實際問題的答案. 方法技巧歸納 方法技巧（一）已知兩邊解直角三角形的方法 已知兩邊解直角三角形，一般是先由勾股定理求出第三邊，再由三角函數(shù)求出其中的一個銳角，最后利用兩銳角互余求出另一個銳角. 方法技巧（二）已知一銳角、一邊解直角三角形的方法 已知一銳角和一邊解直角三角形時，先由兩銳角互余求出另一個銳角，然后利用恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)求出另外兩條邊；或利用三角函數(shù)求出一條邊后，再利用勾股定理求出第三邊. 點撥 本題也可求出一條邊后，利用勾股定理求出第三條邊。 方法技巧（三）非直角三角形的解法 非直角三角形的解法，通常是根據(jù)題目的特點，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，將非直角三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題.作輔助線時常用非特殊角的頂點作高. 方法技巧（四）利用解直角三角形解決實際問題 1　仰角、俯角問題 點撥 解非直角三角形問題一般通過作高構(gòu)造直角三角形求解。 2　方位角問題 3　坡度、坡角問題 點撥 與坡度、坡角有關(guān)的問題，通常與勾股定理、銳角三角函數(shù)綜合考查。 易混易錯辨析 易混易錯知識 審題不清，對名詞術(shù)語理解不透，如仰角、俯角等在圖中找不準(zhǔn)致錯。 易混易錯對名詞術(shù)語不理解導(dǎo)致錯誤 中考試題研究 中考命題規(guī)律 解直角三角形知識是中考中不可缺少的考查內(nèi)容，從題型上看，有選擇題、填空題、解答題、選擇題、填空題主要考查解直角三角形的概念等簡單的基礎(chǔ)性題目，多為低檔題；解答題主要考查靈活運用解直角三角形的知識解決實際問題，多以中檔題為主，也有中檔以上有一定難度的題目。 中考試題（一）利用解直角三角形求解 中考試題（二）利用解直角三角形解決實際問題