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2019-2020年八年級數(shù)學(xué)隨堂測試：18.2 勾股定理的逆定理 1.如圖所示,△ABC中,若∠A=75,∠C=45,AB=2,則AC的長等于( ) A.2 B.2 C. D. 知識點(diǎn)：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、勾股定理 知識點(diǎn)的描述：在解決有關(guān)求線段長度問題時(shí)，常通過添加輔助線，把一般三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，利用勾股定理解決問題。勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 答案：C 詳細(xì)解答：作BC邊上的高AD, △ ABC中,∠BAC=75,∠C=45，那么∠B=60，從而∠BAD=30 在Rt△ABD中，∠BAD=30，AB=2,所以BD=1，AD= 在Rt△ACD中，∠C=45，AD=,所以CD=AD=， 利用勾股定理可得AC=。 1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90，CD⊥AB于D，∠A=60，CD=，線段AB長為（ ）。 A.2 B.3 C.4 D.3 答案：C 分析：欲求AB，可由AB=BD+AD，分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD和AD?；蛴驛B，可由，分別在兩個(gè)三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC和BC。 詳細(xì)解答：在Rt△ACD中，∠A=60，那么∠ACD=30，又已知CD=,所以利用勾股定理或特殊三角形的三邊的比求出AD=1。 在Rt△ACB中，∠A=60，那么∠B=30。 在Rt△BCD中，∠B=30，又已知CD=,所以BC=2，利用勾股定理或特殊三角形的三邊的比求出BD=3。 因此AB=BD+CD=3+1=4， 小結(jié)：本題是“雙垂圖”的計(jì)算題，“雙垂圖”是中考重要的考點(diǎn)，所以要求對圖形及性質(zhì)掌握非常熟練，能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點(diǎn)有：3個(gè)直角三角形，三個(gè)勾股定理及推導(dǎo)式BC2-BD2=AC2-AD2，兩對相等銳角，四對互余角，及30或45特殊角的特殊性質(zhì)等。 2．已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足a2c2－b2c2=a4－b4，則它的形狀為 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 知識點(diǎn)：綜合代數(shù)變形和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀 知識點(diǎn)的描述：這類問題常常用到代數(shù)中的配方、因式分解，再結(jié)合幾何中的有關(guān)定理不難作出判斷。 答案：D 詳細(xì)解答：∵ a2c2－b2c2=a4－b4，∴左右兩邊因式分解得 ∴ ∴或， 即或，所以三角形的形狀為等腰三角形或直角三角形。 2．若△ABC的三邊a，b，c滿足(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，則△ABC是（ ） （A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形 答案：C 詳細(xì)解答：∵(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，∴c-b =0且a2-b2-c2=0 即且， 所以三角形的形狀為等腰直角三角形。 3．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中正確的是（ ） 知識點(diǎn)：勾股定理的逆定理 知識點(diǎn)的描述：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形，最大的邊就是斜邊。 滿足a2 +b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．勾股數(shù)擴(kuò)大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù)．最好能記住常見的幾組勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。 答案：C 詳細(xì)解答：A圖和B圖中右邊的三角形三邊不存在某兩邊的平方和等于第三邊的平方，不是直角三角形。D圖中兩個(gè)的三角形三邊都不存在某兩邊的平方和等于第三邊的平方，都不是直角三角形。只有C圖中的兩個(gè)三角形都是直角三角形。 3．在下列說法中是錯(cuò)誤的（ ） A．在△ABC中，（為正整數(shù)，且），則△ABC為直角三角形. B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則△ABC為直角三角形. C．在△ABC中，若，則△ABC為直角三角形. D．在△ABC中，若a：b：c＝5：12：13，則△ABC為直角三角形. 答案：B 詳細(xì)解答： 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么最大角∠C＝ 不是直角三角形。 △ABC三條邊的比為a:b:c＝5:12:13，則可設(shè)a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形． 4. 下列各命題的逆命題不成立的是( ) A.兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)； B.若兩個(gè)數(shù)的絕對值相等,則這兩個(gè)數(shù)也相等 C.對頂角相等 D.如果a2=b2,那么a=b 知識點(diǎn)：互逆命題 知識點(diǎn)的描述：如果一個(gè)命題的題設(shè)是另一個(gè)命題的結(jié)論，而結(jié)論又是另一個(gè)命題的題設(shè)，那么這樣的兩個(gè)命題是互逆命題。一個(gè)命題和它的逆命題的真假沒有什么聯(lián)系。 答案：C 詳細(xì)解答：“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”，顯然這是一個(gè)假命題。 4．下列命題的逆命題成立的是（ ） （A）若a=b，則 （B）全等三角形的周長相等 （C）同角（或等角）的余角相等 （D）若a=0，則ab=0 答案：C 詳細(xì)解答：（A）的逆命題是：若，則a=b。不一定成立，也可能a=-b （B）的逆命題是：周長相等的三角形全等。不一定成立，兩個(gè)三角形周長相等，形狀不一定就相同。 （D）的逆命題是：若ab=0，則a=0。不一定成立，也可能是b=0，而a≠0。 5．如圖，一輪船以16海里/時(shí)的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時(shí)的速度同時(shí)從港口A出發(fā)向東南方向航行， 離開港口2小時(shí)后，兩船相距（　　） A.25海里 B.30海里 C.35海里 D.40海里 知識點(diǎn)：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用題 知識點(diǎn)的描述：求距離或某個(gè)長度是很常見的實(shí)際應(yīng)用題，這種問題一般轉(zhuǎn)化為幾何中的求線段長度問題，通常是在現(xiàn)有的直角三角形或構(gòu)建的直角三角形中，利用勾股定理求出線段的長度，從而解決實(shí)際問題。 答案：D 詳細(xì)解答：畫出答題圖，由題意知，三角形ABC是直角三角形， AC=32海里，AB=24海里， 根據(jù)勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600， 所以BC=40（海里） 5．有一長、寬、高分別為5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根細(xì)木條（木條的粗細(xì)、形變忽略不計(jì)）要求木條不能露出木箱．請你算一算，能放入的細(xì)木條的最大長度是（ ） A． B． C． D． 答案：C 詳細(xì)解答：畫出如圖所示的木箱圖，圖中AD的長度就是能放入的細(xì)木條的最大長度，由題意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm 在Rt△ACB中，AC和BC 是直角邊，AB是斜邊，AB2=AC2+CB2=41, 在Rt△ADB中，AB和BD 是直角邊，AD是斜邊，AD2=AB2+BD2 =41+9=50,所以AD= 6．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC是（ ） A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上答案都不對 知識點(diǎn)：網(wǎng)格問題，勾股定理和逆定理 知識點(diǎn)的描述：網(wǎng)格問題是常見的問題，解決這種問題要充分的利用正方形網(wǎng)格。 勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形 答案：A 詳細(xì)解答：把△ABC的各邊分別放在不同的直角三角形中，給出必須的點(diǎn)的名稱，畫出圖形。 在Rt△BCD中， CD=1，DB=8，那么CB2=CD2+BD2=65， 在Rt△ACE中， AE=2，CE=3，那么AC2=AE2+CE2=13， 在Rt△ABF中， AF=6，BF=4，那么AB2=AF2+BF2=52， 所以，在△ABC中， AC2+AB2=13+52=65， 又CB2=65，所以，AC2+AB2= CB2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形 6．如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形網(wǎng)格，則圖中四邊形的面積是 ( ) A.25 B.12.5 C. 9 D.8.5 答案：B 詳細(xì)解答：S四邊形EFGH =SABCD -S△DEF -S△CFG -S△BGH -S△AEH =55-12-33-23-24=12.5 7.如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四邊形ABCD的面積.（ ） A. 36 B. 25 C. 24 D. 30 知識點(diǎn)：勾股定理和逆定理在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用 知識點(diǎn)的描述：勾股定理的內(nèi)容：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 答案：A 分析：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)特征，聯(lián)想勾股數(shù)，連接AC，可實(shí)現(xiàn)四邊形向三角形轉(zhuǎn)化，并運(yùn)用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形. 詳細(xì)解答：連接AC，在Rt△ABC中， AC2=AB2＋BC2=32＋42=25， ∴ AC=5. 在△ACD中，∵ AC2＋CD2=25＋122=169， 又∵ AD2=132=169， ∴ AC2＋CD2=AD2，∴ ∠ACD=90． 故S四邊形ABCD=S△ABC＋S△ACD=ABBC＋ACCD =34＋512=6＋30=36. 7．在四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝，CD＝5，DA＝4，∠B＝90，那么四邊形ABCD的面積是( )。 A. 10 B. C. D. 答案：B 詳細(xì)解答：連接AC，在Rt△ABC中，AB＝2，，BC＝ 所以＝＋＝9 所以AC＝3 又因?yàn)椋? 所以 所以∠CAD＝90 所以＝2＋34＝ 8.已知：如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 那么四邊形ABCD的面積是( )。 A. 24 B. 36 C. 18 D. 20 知識點(diǎn)：勾股定理和逆定理在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用 知識點(diǎn)的描述：勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 答案：C 詳細(xì)解答：如圖，作DE∥AB，連結(jié)BD，可以證明△ABD≌△EDB（ASA）； 所以DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3； 在△DEC中，EC=3；DE=4，CD=5， 3、4、5勾股數(shù)，所以△DEC為直角三角形，DE⊥BC； 利用梯形面積公式可得：四邊形ABCD的面積是（3+6）4=18 8．已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC邊上的中線AD＝15cm，求AC得( )。 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 答案：C 詳細(xì)解答：如圖，∵AD是BC邊上的中線，BC＝16cm ∴BD＝8cm ∴在△ABD中：AB＝17cm，AD＝15cm，BD＝8cm 則有： ∴∠ADB＝90 ∴AD⊥BC，即∠ADC＝90 在Rt△ADC中，∠ADC＝90，AD＝15cm，CD＝8cm 根據(jù)勾股定理得：AC＝＝17 （cm） 9.已知：如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=ADBD，△ABC是( )。 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 不等邊三角形 D. 等邊三角形 知識點(diǎn)：勾股定理和逆定理在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用 知識點(diǎn)的描述：勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 答案：A 詳細(xì)解答：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 ∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2 又∵CD2=ADBD ∴AC2+BC2=AD2+2ADBD+BD2 =（AD+BD）2=AB2 所以△ABC是直角三角形。 9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC，P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1，PC=2，PA=3，求得∠BPC的度數(shù)（ ）． A A C 東 南 B A C C P B A. 115 B. 125 C. 135 D. 120 答案：C 詳細(xì)解答：如答圖， 將△APC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，使CA與CB重合，即△APC≌△BEC, ∴△PCE為等腰Rt△，∴∠CPE=45，PE2=PC2+CE2=8. 又∵PB2=1，BE2=9， ∴PE2+ PB2= BE2,則∠BPE=90， ∴∠BPC=135. 10．已知：如圖正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DC上且DF＝DC，判斷△BEF為（ ）。 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 不等邊三角形 D. 等邊三角形 知識點(diǎn)：勾股定理和逆定理在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用 知識點(diǎn)的描述：勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 答案：A 詳細(xì)解答： 設(shè)DF＝a，則DE＝AE＝2a，CF＝3a，AB＝BC＝4a。 在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝（4a）2＋(2a)2＝20a2 在Rt△DEF中，EF2＝DE2＋DF2＝（2a）2＋a2＝5a2 在Rt△BCF中，BF2＝BC2＋CF2＝（4a）2＋(3a)2＝25a2 所以BE2＋EF2＝BF2 所以∠BEF＝90 所以△BEF為直角三角形。 10．如圖，△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，AC＝12，BC＝5，CD＝。△ABC為（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 銳角三角形 D. 鈍角三角形 答案：A 詳細(xì)解答： 延長CD到點(diǎn)E，使得DE＝CD，連接AE ∵CD＝，DE＝CD ∴CE＝13 ∵在△ADE和△BDC中 ∴△ADE≌△BDC ∴AE＝BC＝5 在△AEC中：AE＝5，AC＝12，CE＝13 即，∴∠EAC＝90 ∵∠EAB＝∠CBA ∴∠CAB＋∠CBA＝∠CAB＋∠EAB＝90 ∴∠ACB＝90 ∴△ACB為直角三角形