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2019-2020年高中物理 第八章 氣體 第3講 理想氣體的狀態(tài)方程學(xué)案 新人教版選修3-3 [目標(biāo)定位]　1.了解理想氣體的概念，并知道實(shí)際氣體在什么情況下可以看成理想氣體.2.掌握理想氣體狀態(tài)方程的內(nèi)容和表達(dá)式，并能應(yīng)用方程解決實(shí)際問題. 一、理想氣體 1．定義：在任何溫度、任何壓強(qiáng)下都嚴(yán)格遵從氣體實(shí)驗(yàn)定律的氣體． 2．實(shí)際氣體在壓強(qiáng)不太大(相對(duì)大氣壓)、溫度不太低(相對(duì)室溫)時(shí)可當(dāng)成理想氣體處理． 3．理想氣體是一種理想化的模型，是對(duì)實(shí)際氣體的科學(xué)抽象． 二、理想氣體的狀態(tài)方程 1．內(nèi)容：一定質(zhì)量的某種理想氣體，在從一個(gè)狀態(tài)(p1、V1、 T1)變化到另一個(gè)狀態(tài)(p2、V2、T2)時(shí)，盡管p、V、T都可能改變，但是壓強(qiáng)跟體積的乘積與熱力學(xué)溫度的比值保持不變． 2．理想氣體狀態(tài)方程表達(dá)式：＝或＝C(常量)． 3．推導(dǎo)方法：(1)控制變量法．(2)選定狀態(tài)變化法． 4．成立條件：質(zhì)量一定的理想氣體． 一、理想氣體狀態(tài)方程 1．理想氣體 (1)理解：理想氣體是為了研究問題方便提出的一種理想化模型，是實(shí)際氣體的一種近似，就像力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)、電學(xué)中點(diǎn)電荷模型一樣，突出矛盾的主要方面，忽略次要方面，從而認(rèn)識(shí)物理現(xiàn)象的本質(zhì)，是物理學(xué)中常用的方法． (2)特點(diǎn)： ①嚴(yán)格遵守氣體實(shí)驗(yàn)定律及理想氣體狀態(tài)方程． ②理想氣體分子本身的大小與分子間的距離相比可以忽略不計(jì)，分子可視為質(zhì)點(diǎn)． ③理想氣體分子除碰撞外，無相互作用的引力和斥力，故無分子勢(shì)能，理想氣體的內(nèi)能等于所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能之和，一定質(zhì)量的理想氣體內(nèi)能只與溫度有關(guān)． 2．理想氣體狀態(tài)方程與氣體實(shí)驗(yàn)定律 ＝? 3．應(yīng)用狀態(tài)方程解題的一般步驟 (1)明確研究對(duì)象，即一定質(zhì)量的理想氣體； (2)確定氣體在初、末狀態(tài)的參量p1、V1、T1及p2、V2、T2； (3)由狀態(tài)方程列式求解； (4)討論結(jié)果的合理性． 例1　一水銀氣壓計(jì)中混進(jìn)了空氣，因而在27 ℃、外界大氣壓為758 mmHg時(shí)，這個(gè)水銀氣壓計(jì)的讀數(shù)為738 mmHg，此時(shí)管中水銀面距管頂80 mm，當(dāng)溫度降至－3 ℃時(shí)，這個(gè)氣壓計(jì)的讀數(shù)為743 mmHg，求此時(shí)的實(shí)際大氣壓值為多少mmHg? 答案　762.2 mmHg 解析　畫出該題初、末狀態(tài)的示意圖： 分別寫出初、末狀態(tài)的狀態(tài)參量： p1＝758 mmHg－738 mmHg＝20 mmHg V1＝(80 mm)S(S是管的橫截面積) T1＝(273＋27) K＝300 K p2＝p－743 mmHg V2＝(738＋80)mmS－743(mm)S＝75(mm)S T2＝(273－3)K＝270 K 將數(shù)據(jù)代入理想氣體狀態(tài)方程： ＝ 解得p＝762.2 mmHg. 針對(duì)訓(xùn)練　內(nèi)徑均勻的L形直角細(xì)玻璃管，一端封閉，一端開口豎直向上，用水銀柱將一定質(zhì)量空氣封存在封閉端內(nèi)，空氣柱長(zhǎng)4 cm，水銀柱高58 cm，進(jìn)入封閉端長(zhǎng)2 cm，如圖1所示，溫度是87 ℃，大氣壓強(qiáng)為75 cmHg，求： 圖1(1)在圖示位置空氣柱的壓強(qiáng)p1； (2)在圖示位置，要使空氣柱的長(zhǎng)度變?yōu)? cm，溫度必須降低到多少度？ 答案　(1)133 cmHg　(2)－5 ℃ 解析　(1)p1＝p0＋ph＝(75＋58)cmHg＝133 cmHg. (2)對(duì)空氣柱：初狀態(tài)：p1＝133 cmHg，V1＝4S， T1＝(273＋87)K＝360 K. 末狀態(tài)：p2＝p0＋ph′＝(75＋57)cmHg＝132 cmHg，V2＝3S. 由＝代入數(shù)據(jù)，解得T2≈268 K＝－5 ℃. 二、理想氣體狀態(tài)方程與氣體圖象 1．一定質(zhì)量的理想氣體的各種圖象 類別 圖線 特　點(diǎn) 舉　例 p V pV＝CT(其中C為恒量)，即pV之乘積越大的等溫線溫度越高，線離原點(diǎn)越遠(yuǎn) p p＝CT，斜率k＝CT，即斜率越大，溫度越高 p T p＝T，斜率k＝，即斜率越大，體積越小 V T V＝T，斜率k＝，即斜率越大，壓強(qiáng)越小 2.理想氣體狀態(tài)方程與一般狀態(tài)變化圖象 基本方法：化“一般”為“特殊”，如圖2是一定質(zhì)量的某種理想氣體的狀態(tài)變化過程A→B→C→A. 圖2 在VT圖線上，等壓線是一簇延長(zhǎng)線過原點(diǎn)的直線，過A、B、C三點(diǎn)作三條等壓線分別表示三個(gè)等壓過程，因pA′TA.為確定它們之間的定量關(guān)系，可以從p-V圖上的標(biāo)度值代替壓強(qiáng)和體積的大小，代入理想氣體狀態(tài)方程＝，即＝，故TB＝6TA. 理想氣體狀態(tài)方程的理解 1．對(duì)于一定質(zhì)量的理想氣體，下列狀態(tài)變化中可能實(shí)現(xiàn)的是(　　) A．使氣體體積增加而同時(shí)溫度降低 B．使氣體溫度升高，體積不變、壓強(qiáng)減小 C．使氣體溫度不變，而壓強(qiáng)、體積同時(shí)增大 D．使氣體溫度升高，壓強(qiáng)減小，體積減小 答案　A 解析　由理想氣體狀態(tài)方程＝恒量得A項(xiàng)中只要壓強(qiáng)減小就有可能，故A項(xiàng)正確；而B項(xiàng)中體積不變，溫度與壓強(qiáng)應(yīng)同時(shí)變大或同時(shí)變小，故B項(xiàng)錯(cuò)；C項(xiàng)中溫度不變，壓強(qiáng)與體積成反比，故不能同時(shí)增大，故C項(xiàng)錯(cuò)；D項(xiàng)中溫度升高，壓強(qiáng)減小，體積減小，導(dǎo)致減小，故D項(xiàng)錯(cuò)誤． 2．一定質(zhì)量的理想氣體，初始狀態(tài)為p、V、T，經(jīng)過一系列狀態(tài)變化后，壓強(qiáng)仍為p，則下列過程中可以實(shí)現(xiàn)的是(　　) A．先等溫膨脹，再等容降溫 B．先等溫壓縮，再等容降溫 C．先等容升溫，再等溫壓縮 D．先等容降溫，再等溫壓縮 答案　BD 解析　根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程＝C，若經(jīng)過等溫膨脹，則T不變，V增加，p減小，再等容降溫，則V不變，T降低，p減小，最后壓強(qiáng)p肯定不是原來值，A錯(cuò)，同理可以確定C也錯(cuò)，正確選項(xiàng)為B、D. 理想氣體狀態(tài)變化的圖象 3．如圖5所示，在p-T坐標(biāo)系中的a、b兩點(diǎn)，表示一定質(zhì)量的理想氣體的兩個(gè)狀態(tài)，設(shè)氣體在狀態(tài)a時(shí)的體積為Va，密度為ρa(bǔ)，在狀態(tài)b時(shí)的體積為Vb，密度為ρb，則(　　) 圖5 A．Va>Vb，ρa(bǔ)>ρb B．VaVb，ρa(bǔ)<ρb D．Vaρb 答案　D 解析　過a、b兩點(diǎn)分別作它們的等容線，由于斜率ka>kb，所以Vaρb，故D正確． 4．在下列圖中，不能反映一定質(zhì)量的理想氣體經(jīng)歷了等溫變化→等容變化→等壓變化后，又可以回到初始狀態(tài)的圖是(　　) 答案　D 解析　根據(jù)p-V、p-T、V-T圖象的意義可以判斷，其中D項(xiàng)顯示的是理想氣體經(jīng)歷了等溫變化→等壓變化→等容變化，與題意相符． (時(shí)間：60分鐘) 題組一　理想氣體及其狀態(tài)方程 1．關(guān)于理想氣體，下列說法正確的是(　　) A．理想氣體能嚴(yán)格遵從氣體實(shí)驗(yàn)定律 B．實(shí)際氣體在溫度不太高、壓強(qiáng)不太小的情況下，可看成理想氣體 C．實(shí)際氣體在溫度不太低、壓強(qiáng)不太大的情況下，可看成理想氣體 D．所有的實(shí)際氣體在任何情況下，都可以看成理想氣體 答案　AC 解析　理想氣體是實(shí)際氣體的科學(xué)抽象，是理想化模型，實(shí)際氣體在溫度不太低、壓強(qiáng)不太大的情況下，可看成理想氣體． 2．關(guān)于理想氣體的狀態(tài)變化，下列說法中正確的是(　　) A．一定質(zhì)量的理想氣體，當(dāng)壓強(qiáng)不變而溫度由100 ℃上升到200 ℃時(shí)，其體積增大為原來的2倍 B．氣體由狀態(tài)1變化到狀態(tài)2時(shí)，一定滿足方程＝ C．一定質(zhì)量的理想氣體體積增大到原來的4倍，可能是壓強(qiáng)減半，熱力學(xué)溫度加倍 D．一定質(zhì)量的理想氣體壓強(qiáng)增大到原來的4倍，可能是體積加倍，熱力學(xué)溫度減半 答案　C 解析　一定質(zhì)量的理想氣體壓強(qiáng)不變，體積與熱力學(xué)溫度成正比，溫度由100 ℃上升到200 ℃時(shí)，體積增大為原來的1.27倍，故A錯(cuò)誤；理想氣體狀態(tài)方程成立的條件為質(zhì)量不變，B項(xiàng)缺條件，故錯(cuò)誤；由理想氣體狀態(tài)方程＝恒量可知，C正確，D錯(cuò)誤． 3．一定質(zhì)量的氣體，從初狀態(tài)(p0、V0、T0)先經(jīng)等壓變化使溫度上升到T0，再經(jīng)等容變化使壓強(qiáng)減小到p0，則氣體最后狀態(tài)為(　　) A.p0、V0、T0 B.p0、V0、T0 C.p0、V0、T0 D.p0、V0、T0 答案　B 解析　在等壓過程中，V∝T，有＝，V3＝V0，再經(jīng)過一個(gè)等容過程，有＝，T3＝T0，所以B正確． 4．分別以p、V、T表示氣體的壓強(qiáng)、體積、溫度．一定質(zhì)量的理想氣體，其初狀態(tài)表示為(p0、V0、T0)．若分別經(jīng)歷如下兩種變化過程：①從(p0、V0、T0)變?yōu)?p1、V1、T1)的過程中，溫度保持不變(T1＝T0)，②從(p0、V0、T0)變?yōu)?p2、V2、T2)的過程中，既不吸熱，也不放熱，在上述兩種變化過程中，如果V1＝V2>V0，則(　　) A．p1>p2，T1>T2 B．p1>p2，T1p2，T1T2 答案　A 解析　依據(jù)理想氣體狀態(tài)方程＝＝.由已知條件T1＝T0，V1>V0，則p1T2，p1>p2，故選項(xiàng)A正確． 5．一定質(zhì)量的理想氣體，在某一平衡狀態(tài)下的壓強(qiáng)、體積和溫度分別為p1、V1、T1，在另一平衡狀態(tài)下的壓強(qiáng)、體積和溫度分別為p2、V2、T2，下列關(guān)系中正確的是(　　) A．p1＝p2，V1＝2V2，T1＝T2 B．p1＝p2，V1＝V2，T1＝2T2 C．p1＝2p2，V1＝2V2，T1＝2T2 D．p1＝2p2，V1＝V2，T1＝2T2 答案　D 題組二　理想氣體狀態(tài)變化的圖象 6．如圖1所示為一定質(zhì)量的理想氣體沿著如圖所示的方向發(fā)生狀態(tài)變化的過程，則該氣體壓強(qiáng)的變化是(　　) 圖1 A．從狀態(tài)c到狀態(tài)d，壓強(qiáng)減小 B．從狀態(tài)d到狀態(tài)a，壓強(qiáng)不變 C．從狀態(tài)a到狀態(tài)b，壓強(qiáng)增大 D．從狀態(tài)b到狀態(tài)c，壓強(qiáng)增大 答案　AC 解析　在V-T圖上，等壓線是延長(zhǎng)線過原點(diǎn)的傾斜直線，對(duì)一定質(zhì)量的理想氣體，圖線的斜率表示壓強(qiáng)的倒數(shù)，斜率大的壓強(qiáng)小，因此A、C正確，B、D錯(cuò)誤． 7．一定質(zhì)量的理想氣體經(jīng)歷如圖2所示的一系列過程，ab、bc、cd和da這四段過程在pT圖上都是直線段，ab和cd的延長(zhǎng)線通過坐標(biāo)原點(diǎn)O，bc垂直于ab，由圖可以判斷(　　) 圖2 A．a(chǎn)b過程中氣體體積不斷減小 B．bc過程中氣體體積不斷減小 C．cd過程中氣體體積不斷增大 D．da過程中氣體體積不斷增大 答案　BD 解析　由p T圖線的特點(diǎn)可知a、b在同一條等容線上，過程中體積不變，故A錯(cuò)；c、d在同一條等容線上，過程中體積不變，故C錯(cuò)；在p T圖線中，圖線的斜率越大與之對(duì)應(yīng)的體積越小，因此b→c的過程體積減小，同理d→a的過程體積增大，故B、D均正確． 8．如圖3所示，一定質(zhì)量的理想氣體，從狀態(tài)1出發(fā)經(jīng)過狀態(tài)2和3，最終又回到狀態(tài)1.那么，在下列的p T圖象中，反映了上述循環(huán)過程的是(　　) 圖3 答案　B 解析　從狀態(tài)1出發(fā)經(jīng)過狀態(tài)2和3，最終又回到狀態(tài)1，先后經(jīng)歷了等壓膨脹、等容降溫、等溫壓縮三個(gè)變化過程，由此判斷B項(xiàng)正確． 題組三　綜合應(yīng)用 9．我國(guó)“蛟龍”號(hào)深海探測(cè)船載人下潛超過七千米，再創(chuàng)載人深潛新記錄．在某次深潛試驗(yàn)中，“蛟龍”號(hào)探測(cè)到990 m深處的海水溫度為280 K．某同學(xué)利用該數(shù)據(jù)來研究氣體狀態(tài)隨海水深度的變化，如圖4所示，導(dǎo)熱良好的汽缸內(nèi)封閉一定質(zhì)量的氣體，不計(jì)活塞的質(zhì)量和摩擦，汽缸所處海平面的溫度T0＝300 K，壓強(qiáng)p0＝1 atm，封閉氣體的體積V0＝3 m2.如果將該汽缸下潛至990 m深處，此過程中封閉氣體可視為理想氣體．求990 m深處封閉氣體的體積(1 atm相當(dāng)于10 m深的海水產(chǎn)生的壓強(qiáng))． 圖4 答案　2.810－2 m3 解析　當(dāng)汽缸下潛至990 m時(shí)，設(shè)封閉氣體的壓強(qiáng)為p，溫度為T，體積為V，由題意知p＝100 atm. 理想氣體狀態(tài)方程為＝，代入數(shù)據(jù)得V＝2.810－2 m3. 10．一輕活塞將一定質(zhì)量的理想氣體封閉在水平放置的固定汽缸內(nèi)，開始時(shí)氣體體積為V0，溫度為27 ℃.在活塞上施加壓力，將氣體體積壓縮到V0，溫度升高到47 ℃.設(shè)大氣壓強(qiáng)p0＝1.0105 Pa，活塞與汽缸壁的摩擦不計(jì)． (1)求此時(shí)氣體的壓強(qiáng)； (2)保持溫度不變，緩慢減小施加在活塞上的壓力使氣體體積恢復(fù)到V0，求此時(shí)氣體的壓強(qiáng)．(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字) 答案　(1)1.6105 Pa　(2)1.1105 Pa 解析　(1)由理想氣體狀態(tài)方程得：＝， 所以此時(shí)氣體的壓強(qiáng)為： p1＝＝ Pa＝1.6105 Pa. (2)由玻意耳定律得：p2V2＝p3V3， 所以p3＝＝ Pa＝1.1105 Pa. 11．如圖5所示，一根兩端開口、橫截面積為S＝2 cm2、足夠長(zhǎng)的玻璃管豎直插入水銀槽中并固定(插入水銀槽中的部分足夠深)．管中有一個(gè)質(zhì)量不計(jì)的光滑活塞，活塞下封閉著長(zhǎng)L＝21 cm的氣柱，氣體的溫度為t1＝7 ℃，外界大氣壓取p0＝1.0105 Pa(相當(dāng)于75 cm高的汞柱的壓強(qiáng))． 圖5 (1)若在活塞上放一個(gè)質(zhì)量為m＝0.1 kg的砝碼，保持氣體的溫度t1不變，則平衡后氣柱為多長(zhǎng)？(g＝10 m/s2) (2)若保持砝碼的質(zhì)量不變，對(duì)氣體加熱，使其溫度升高到t2＝77 ℃，此時(shí)氣柱為多長(zhǎng)？ 答案　(1)20 cm　(2)25 cm 解析　(1)被封閉氣體的初狀態(tài)為p1＝p0＝1.0105 Pa V1＝LS＝42 cm3，T1＝280 K 末狀態(tài)為p2＝p0＋＝1.05105 Pa V2＝L2S，T2＝T1＝280 K 根據(jù)玻意耳定律，有p1V1＝p2V2，即p1LS＝p2L2S 解得L2＝20 cm. (2)對(duì)氣體加熱后，氣體的壓強(qiáng)不變，p3＝p2，V3＝L3S，T3＝350 K 根據(jù)蓋—呂薩克定律，有＝，即＝ 解得L3＝25 cm. 12．如圖6所示，水平放置的汽缸內(nèi)壁光滑，活塞厚度不計(jì)，在A、B兩處設(shè)有限制裝置，使活塞只能在A、B之間運(yùn)動(dòng)，B左面汽缸的容積為V0，A、B之間的容積為0.1V0.開始時(shí)活塞在B處，缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為0.9p0(p0為大氣壓強(qiáng))，溫度為297 K，現(xiàn)緩慢加熱汽缸內(nèi)氣體，直至399.3 K．求： 圖6 (1)活塞剛離開B處時(shí)的溫度TB； (2)缸內(nèi)氣體最后的壓強(qiáng)p； (3)在圖7中畫出整個(gè)過程的p V圖線． 圖7 答案　(1)330 K　(2)1.1p0　(2)見解析圖 解析　(1)汽缸內(nèi)的氣體初狀態(tài)為p1＝0.9p0，V1＝V0，T1＝297 K．當(dāng)活塞剛離開B處時(shí)，氣體的狀態(tài)參量p2＝p0，V2＝V0，T2＝TB，根據(jù)＝，得＝，所以TB＝330 K. (2)隨著溫度不斷升高，活塞最后停在A處時(shí)，氣體的狀態(tài)參量p4＝p，V4＝1.1V0，T4＝399.3 K．根據(jù)＝，得＝，解得p＝1.1p0. (3)隨著溫度的升高，當(dāng)活塞恰好停在A處時(shí)，氣體的狀態(tài)參量p3＝p0，V3＝1.1V0，T3＝TA，由＝得＝，解得TA＝363 K．綜上可知，氣體在溫度由297 K升高到330 K過程中，氣體做等容變化；由330 K升高到363 K過程中，氣體做等壓變化；由363 K升高到399.3 K過程中，氣體做等容變化．故整個(gè)過程的p V圖象如圖所示．