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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題40 離心率的求值或取值范圍問題黃金解題模板 【高考地位】 圓錐曲線的離心率是近年高考的一個熱點,有關(guān)離心率的試題,究其原因,一是貫徹高考命題“以能力立意”的指導(dǎo)思想,離心率問題綜合性較強,靈活多變,能較好反映考生對知識的熟練掌握和靈活運用的能力,能有效地反映考生對數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度;二是圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,具有數(shù)學(xué)的實用性和美學(xué)價值,也是以后進一步學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 【方法點評】 方法1 定義法 解題模板：第一步 根據(jù)題目條件求出的值 第二步 代入公式，求出離心率. 例1. 在平面直角坐標(biāo)系中, 若雙曲線的離心率為,則的值為 ． 【答案】 【變式演練1】點P（-3，1）在橢圓（）的左準(zhǔn)線上，過點且方向為的光線，經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為（ ） A B C D 【答案】 方法2 方程法 解題模板：第一步 設(shè)出相關(guān)未知量； 第二步 根據(jù)題目條件列出關(guān)于的方程； 第三步 化簡，求解方程，得到離心率. 例2. 【xx黑龍江省牡丹江市第一高級中學(xué)模擬】已知橢圓的左焦點為，右焦點為.若橢圓上存在一點，且以橢圓的短軸為直徑的圓與線段相切于線段的中點，則該橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 如圖，設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線段相切于點，連接分別是的中點， ，且， ，根據(jù)橢圓的定義， ， ，兩邊平方得： ， 代入并化簡得， ， ，即橢圓的離心率為，故選D. 例3. 如圖，，是雙曲線的左、右兩個焦點，若直線與雙曲線交于、兩點，且四邊形為矩形，則雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】. 【變式演練2】焦點在軸上的橢圓方程為 ，短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形，該三角形內(nèi)切圓的半徑為，則橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：由短軸的一個端點和兩個焦點相連構(gòu)成一個三角形的面積相等得得，，即，故選C. 考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 【變式演練3】【xx四川省成都市第七中學(xué)模擬】已知分別是雙曲線的左、右焦點，點關(guān)于漸近線的對稱點恰好落在以為圓心、為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 方法3 借助平面幾何圖形中的不等關(guān)系 解題模板：第一步 根據(jù)平面圖形的關(guān)系，如三角形兩邊之和大于第三邊、折線段大于或等于直線段、對稱的性質(zhì)中的最值等得到不等關(guān)系， 第二步 將這些量結(jié)合曲線的幾何性質(zhì)用進行表示，進而得到不等式， 第三步 解不等式，確定離心率的范圍. 例4已知橢圓的中心在,右焦點為，右準(zhǔn)線為，若在上存在點，使線段的垂直平分線經(jīng)過點F，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】 【解析】如果注意到形助數(shù)的特點，借助平面幾何知識的最值構(gòu)建使問題簡單化. 【點評】離心率的范圍實質(zhì)為一個不等式關(guān)系，如何構(gòu)建這種不等關(guān)系？可以利用方程和垂直平分線性質(zhì)構(gòu)建.利用題設(shè)和平面幾何知識的最值構(gòu)建不等式往往使問題簡單化. 【變式演練4】已知橢圓與圓，若在橢圓上存在點P，使得由點P所作的圓的兩條切線互相垂直，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 方法4 借助題目中給出的不等信息 解題模板：第一步 找出試題本身給出的不等條件，如已知某些量的范圍，存在點或直線使方程成立，的范圍等； 第二步 列出不等式，化簡得到離心率的不等關(guān)系式，從而求解. 例5已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上的任意一點，若的最小值為8a，則雙曲線的離心率e的取值范圍是( ) A. (1，＋∞) B. (1,2] C. (1，] D. (1,3] 【答案】D 【解析】雙曲線的左右焦點分別為為雙曲線右支一的任意一點，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，，，，故選D. 【變式演練5】【xx廣西賀州市桂梧高中模擬】過雙曲線的右焦點作軸的垂線，與在第一象限的交點為，且直線的斜率大于2，其中為的左頂點，則的離心率的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， ，∴，∴.選B. 方法5 借助函數(shù)的值域求解范圍 解題模板：第一步 根據(jù)題設(shè)條件，如曲線的定義、等量關(guān)系等條件建立離心率和其他一個變量的函數(shù)關(guān)系式； 第二步 通過確定函數(shù)的定義域； 第三步 利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍. 例6. 【xx河南省鄭州市第一中學(xué)模擬】已知橢圓與雙曲線的焦點重合, 分別為的離心率,則的取值范圍為 A. B. C. D. 【答案】C 【變式演練6】是經(jīng)過雙曲線 焦點且與實軸垂直的直線,是雙曲線的兩個頂點, 若在上存在一點,使,則雙曲線離心率的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：由題設(shè)可知,即,解之得,即,故.應(yīng)選A. 考點：雙曲線的幾何性質(zhì)及運用. 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx課標(biāo)II，理9】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長為2，則的離心率為（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 雙曲線的離心率。故選A。 【考點】 雙曲線的離心率；直線與圓的位置關(guān)系，點到直線的距離公式 【名師點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)。 2. 【xx浙江，2】橢圓的離心率是 A． B． C． D． 【答案】B 3. 【xx課標(biāo)3，理10】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2 為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：以線段為直徑的圓的圓心為坐標(biāo)原點 ，半徑為 ，圓的方程為， 直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即：， 整理可得，即， 從而 ，橢圓的離心率， 故選A. 【考點】 橢圓的離心率的求解；直線與圓的位置關(guān)系 【名師點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法： ①求出a，c，代入公式e＝ ； ②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍). 4. 【xx北京，理9】若雙曲線的離心率為，則實數(shù)m=_________. 【答案】2 5. 【xx課標(biāo)1，理】已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點.若∠MAN=60，則C的離心率為________. 【答案】 【解析】試題分析： 如圖所示，作，因為圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點，則為雙曲線的漸近線上的點，且， 而，所以， 點到直線的距離 在中， 代入計算得，即 由得 所以. 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì). 6. 【xx課標(biāo)II，文5】若，則雙曲線的離心率的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意，因為，所以，則，故選C. 【考點】雙曲線離心率 【名師點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等. 7. 【xx高考新課標(biāo)2，理11】已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，?ABM為等腰三角形，且頂角為120，則E的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【考點定位】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)． 【名師點睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)、解直角三角形知識，正確表示點的坐標(biāo)，利用“點在雙曲線上”列方程是解題關(guān)鍵，屬于中檔題． 【反饋練習(xí)】 1. 【xx福建四校聯(lián)考】已知橢圓的上下左右頂點分別為，且左右焦點為，且以 為直徑的圓內(nèi)切于菱形，則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2．【xx廣西賀州桂梧高中聯(lián)考】過雙曲線的右焦點作軸的垂線，與在第一象限的交點為，且直線的斜率大于2，其中為的左頂點，則的離心率的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】， ，∴，∴.選B. 3. 【xx湖南株洲兩校聯(lián)考】已知雙曲線E： ﹣=1（a＞0，b＞0），點F為E的左焦點，點P為E上位于第一象限內(nèi)的點，P關(guān)于原點的對稱點為Q，且滿足|PF|=3|FQ|，若|OP|=b，則E的離心率為（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 4. 【xx山西名校聯(lián)考】已知橢圓的左、右焦點分別為，且，點在橢圓上， ， ，則橢圓的離心率（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于，則， ， ， ， ， ， ， ， ， ，則 ，選C. 5. 【xx江西南昌摸底】已知雙曲線的左右焦點分別為, 為雙曲線上第二象限內(nèi)一點，若直線恰為線段的垂直平分線，則雙曲線的離心率為 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 6. 【xx河南鄭州一中聯(lián)考】已知點是雙曲線（， ）右支上一點， 是右焦點，若（是坐標(biāo)原點）是等邊三角形，則該雙曲線離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依題意及三角函數(shù)定義,點A(ccos,csin),即A(c, c)， 代入雙曲線方程， 可得 b2c2?3a2c2=4a2b2,又c2=a2+b2,得e2=4+2,e=+1， 故選：D. 7. 【xx山西五校聯(lián)考】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為， ， ，過作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點為，已知， ，點是雙曲線右支上的動點，且恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】B 8. 【xx四川德陽聯(lián)考】已知點是橢圓上的一點， 分別為橢圓的左、右焦點，已知=120，且，則橢圓的離心率為___________. 【答案】 【解析】設(shè)，由余弦定理知，所以，故填. 9. 【xx重慶市第一中學(xué)模擬】已知橢圓和雙曲線有共同焦點， 是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 10. 【xx重慶市第一中學(xué)模擬】已知橢圓的左、右焦點分別為， ， 是橢圓上一點， 是以為底邊的等腰三角形，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 10. 【xx湖南省五市十校教研教改共同體聯(lián)考】設(shè)雙曲線的右焦點為，點在雙曲線上， 是坐標(biāo)原點，若四邊行為平行四邊形，且四邊形的面積為，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】設(shè)，因為OFMN為平行四邊形，所以，因為OFMN的面積為bc，所以，選C. 11. 【xx湖南長沙市長郡中學(xué)模擬】已知斜率為3的直線與雙曲線交于兩點，若點是的中點，則雙曲線的離心率等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】設(shè)， 則， 所以， ， 所以，得，所以， 所以。故選A。 12. 【xx湖南省五市十校教研教改共同體聯(lián)考】設(shè)點是雙曲線與圓在第一象限的交點， 分別是雙曲線的左、右焦點，且，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 13. 【xx河北衡水第一中學(xué)模擬】已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線的右支上，且， ，雙曲線的離心率為，則 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，可知，由雙曲線的定義可得，即，由雙曲線的離心率可得雙曲線的焦距為，在中，由勾股定理可得，解之得，故選B. 14. 【xx河北邢臺市育才中學(xué)模擬】設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，過作軸的垂線與雙曲線在第一象限的交點為，已知，點是雙曲線右支上的動點，且恒成立，則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 15. 【xx河北邢臺市育才中學(xué)模擬】已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在雙曲線上，且軸，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由點A在雙曲線上，且AF2⊥x軸，可得A在雙曲線的右支上， 由雙曲線的定義知 又直角的內(nèi)切圓半徑為，由 故選D 16. 【xx黑龍江省齊齊哈爾市模擬】已知雙曲線的右頂點為，以為圓心，半徑為的圓與雙曲線的某條漸近線交于兩點，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 17. 【xx廣西河池市高級中學(xué)模擬】雙曲線的左、右焦點分別為，過作傾斜角為的直線與軸和雙曲線右支分別交于兩點，若點平分，則該雙曲線的離心率是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A