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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列 專題09 直線和圓的方程（含解析） 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.兩直線平行與垂直 （1）兩條直線平行 對(duì)于兩條不重合的直線，其斜率分別為，則有，特別地，當(dāng)直線的斜率都不存在時(shí)，與的關(guān)系為平行. （2）兩條直線垂直 ①如果兩條直線的斜率存在，設(shè)為，則. ②如果中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，與的關(guān)系為垂直. 2.兩直線的交點(diǎn) 直線和的公共點(diǎn)的坐標(biāo)與方程組的解一一對(duì)應(yīng). 相交方程組有一個(gè)解，交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解； 平行方程組無解； 重合方程組有無數(shù)解. 3.距離公式 （1）兩點(diǎn)間的距離公式 平面上任意兩點(diǎn)間的距離公式為. 特別地，原點(diǎn)O（0,0）與任一點(diǎn)P（x,y）的距離. （2）點(diǎn)到直線的距離公式 平面上任意一點(diǎn)到直線（A,B不同時(shí)為0）的距離為. （3）兩條平行線間的距離公式 一般地，兩條平行直線，（其中A,B不同時(shí)為0，且）間的距離. 【講一講提高技能】 1. 必備技能： 1.解決兩直線的位置關(guān)系問題要根據(jù)已知直線方程的形式靈活選用相應(yīng)的條件，顯然該題中直接利用一般式方程對(duì)應(yīng)的條件更為簡(jiǎn)潔．另外利用直線的斜率和截距討論時(shí)，不要忘記斜率不存在時(shí)的討論． 2.可將方程化成斜截式，利用斜率和截距進(jìn)行分析；也可直接利用一般式套用兩直線垂直與平行的條件求解．一般式方程化成斜截式方程時(shí)，要注意直線的斜率是否存在（即的系數(shù)是否為0）. 3.求兩條平行線間的距離有兩種思路： （1）利用“化歸”法將兩條平行線的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離． （2）直接應(yīng)用兩平行直線之間的距離公式. 4.涉及兩直線的交點(diǎn)問題，往往需借助于圖形，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，探索解題思路，這也是解析幾何中分析問題、解決問題的重要特征. 例1若直線與直線互相垂直，那么的值等于 . 分析：兩直線垂直的充要條件，列出關(guān)系式，解出即可. 【答案】 例2已知點(diǎn)A（1，3），B（3，1），C（-1，0），則三角形ABC的面積為 ． 分析：由兩點(diǎn)間距離公式求出的長(zhǎng)，并寫出直線的方程，由點(diǎn)到直線距離求出高，從而可得三角形的面積. 【答案】 【解析】設(shè)邊上的高為，則..邊上的高就是點(diǎn)到的距離.邊所在直線方程為:即.設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，因此，． 【練一練提升能力】 1. 如果直線同時(shí)平行于直線，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 2. 設(shè)入射光線沿直線 y=2x+1 射向直線 y=x， 則被y=x 反射后，反射光線所在的直線方程是（ ） A．x+2y+3=0 B．x-2y+1=0 C．3x-2y+1=0 D．x-2y-1=0 【答案】D 【解析】 試題分析：入射光線和反射光線關(guān)于直線y=x對(duì)稱，所以設(shè)入射光線上的任意兩個(gè)點(diǎn)（0，1），（1，3）其關(guān)于直線y=x對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，1）且這兩個(gè)點(diǎn)在反射光線上，由兩點(diǎn)式可求出反射光線所在的直線方程為 x-2y-1=0． 直線與圓的位置關(guān)系 【背一背重點(diǎn)知識(shí)】 1.直線與圓的位置關(guān)系 位置關(guān)系有三種：相離、相切、相交. 判斷直線與圓的位置關(guān)系常見的有兩種方法： （1）代數(shù)法： 判別式. （2）幾何法：利用圓心到直線的距離和圓半徑的大小關(guān)系：相交弦長(zhǎng)=，相切，相離. 【講一講提高技能】 必備技能： 1.如下圖所示，涉及直線與圓相交及弦長(zhǎng)的題，都在中，利用勾股定理，得半徑弦長(zhǎng)及弦心距之間的關(guān)系式. 2.弦長(zhǎng)的計(jì)算：方法一、設(shè)圓的半徑為，圓心到直線的距離為，則弦長(zhǎng). 方法二、設(shè)直線的斜率為，直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則弦長(zhǎng). 例1 直線與圓的位置關(guān)系是（ ） A．相交 B．相切 C．相離 D．無法確定 【答案】B 【解析】 例2圓截直線所得弦長(zhǎng)為（　　) A、　 B、　 C、1　 D、5 分析：可利用圓的半徑，弦心距，弦的一半滿足勾股定理，利用點(diǎn)到直線距離求出弦心距，從而可解. 【答案】A 【解析】將配方得：，所以圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)為，選A． 【練一練提升能力】 1. 已知圓C：（），有直線：，當(dāng)直線被圓C截得弦長(zhǎng)為時(shí)，等于（ ） A. B.2- C. D. 【答案】A 2. 由直線上的點(diǎn)向圓引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為__________. 【答案】 【解析】 試題分析：圓心，半徑，圓心到直線的距離為，由直線上的點(diǎn)向圓作的切中，切線長(zhǎng)的表達(dá)式為，因此，要使切線長(zhǎng)最短，應(yīng)有最小，即直線上的點(diǎn)到圓心的距離最小，即垂直于直線時(shí)，，所以切線長(zhǎng)的最小值為. （一） 選擇題（12*5=60分） 1. 已知直線，則“”是“”的（　　） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 2. 如圖所示，已知A(4,0)，B(0,4)，從點(diǎn)P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過的路程是(　　) A．2 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【解析】由題意知點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為D(4,2)，關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C(－2,0)，則光線所經(jīng)過的路程為|CD|＝2．故選A． 3. 已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線的方程為，若直線和圓有公共點(diǎn)， 則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 4. 直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)數(shù)形結(jié)合，直線過點(diǎn)，如圖， 當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，所有的直線夾在兩條切線之間，軸上方的切線設(shè)為，下方的設(shè)為，設(shè)的傾斜角為，那么，，所有，顯然，所有實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A． 5. 已知點(diǎn)，，，若線段和有相同的垂直平分線，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 6. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：，所以，中點(diǎn)坐標(biāo)是，直線方程是，整理為，故選C． 7. 圓上的點(diǎn)到直線的距離最大為（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 8. 已知直線過圓的圓心，且與直線垂直，則的方程是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由已知得，圓心為，所求直線的斜率為，由直線方程的斜截式得，，即，故選D. 9. 已知直線恒過定點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線上，其中均為正數(shù)，則的最小值為（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】 試題分析：變形為，所以過定點(diǎn)，代入直線得 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，取得最小值8 10. 已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意知，點(diǎn)P在以原點(diǎn)（0，0）為圓心，以m為半徑的圓上，又因?yàn)辄c(diǎn)P在已知圓上，所以只要兩圓有交點(diǎn)即可，所以，故選B. 11. 設(shè)點(diǎn)，若在圓上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 12. 過點(diǎn)A（11，2）作圓的弦，其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有（ ） A．16條 B．17條 C．32條 D．34條 【答案】C 【解析】 試題分析：將化為，即該圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，且，且經(jīng)過點(diǎn)的弦的最大長(zhǎng)度為（當(dāng)弦過圓心時(shí)），最小弦長(zhǎng)為（當(dāng)弦與直線垂直時(shí)），所以其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的可能是10（一條），（各兩條，共30條），26（一條），一共32條；故選C． （二） 選擇題（4*5=20分） 13. 若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】 14. 已知直線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為_________. 【答案】0或6 【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓的圓心在，半徑 又直線與圓交于兩點(diǎn)，且，所以圓心到直線的距離，所以，，整理得：解得：或 所以答案應(yīng)填：0或6. 15. 已知是曲線的兩條互相平行的切線，則與的距離的最大值為_____. 【答案】 【解析】因?yàn)?，故，即，從而得，故切線方程為，與，即與，由平行線間距離公式可得，，故． 16. 已知圓，直線．圓C上任意一點(diǎn)A到直線的距離小于2的概率為_____． 【答案】 【解析】