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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習單元講座 第35講 曲線方程及圓錐曲線的綜合問題教案 新人教版 一．課標要求： 1．由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題?；癁榈仁浇鉀Q，要加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓練； 2．通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想； 3．了解圓錐曲線的簡單應用。 二．命題走向 近年來圓錐曲線在高考中比較穩(wěn)定，解答題往往以中檔題或以押軸題形式出現(xiàn)，主要考察學生邏輯推理能力、運算能力，考察學生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。但圓錐曲線在新課標中化歸到選學內(nèi)容，要求有所降低，估計xx年高考對本講的考察，仍將以以下三類題型為主。 1．求曲線（或軌跡）的方程，對于這類問題，高考常常不給出圖形或不給出坐標系，以考察學生理解解析幾何問題的基本思想方法和能力； 2．與圓錐曲線有關的最值問題、參數(shù)范圍問題，這類問題的綜合型較大，解題中需要根據(jù)具體問題、靈活運用解析幾何、平面幾何、函數(shù)、不等式、三角知識，正確的構(gòu)造不等式或方程，體現(xiàn)了解析幾何與其他數(shù)學知識的聯(lián)系。 預測07年高考： 1．出現(xiàn)1道復合其它知識的圓錐曲線綜合題； 2．可能出現(xiàn)1道考查求軌跡的選擇題或填空題，也可能出現(xiàn)在解答題中間的小問。 三．要點精講 1．曲線方程 （1）求曲線(圖形)方程的方法及其具體步驟如下： 步 驟 含 義 說 明 1、“建”：建立坐標系；“設”：設動點坐標。 建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担?x,y)表示曲線上任意一點M的坐標。 (1) 所研究的問題已給出坐標系，即可直接設點。 (2) 沒有給出坐標系，首先要選取適當?shù)淖鴺讼怠? 2、現(xiàn)(限)：由限制條件，列出幾何等式。 寫出適合條件P的點M的集合P={M|P(M)} 這是求曲線方程的重要一步，應仔細分析題意，使寫出的條件簡明正確。 3、“代”：代換 用坐標法表示條件P(M)，列出方程f(x,y)=0 常常用到一些公式。 4、“化”：化簡 化方程f(x,y)=0為最簡形式。 要注意同解變形。 5、證明 證明化簡以后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點。 化簡的過程若是方程的同解變形，可以不要證明，變形過程中產(chǎn)生不增根或失根，應在所得方程中刪去或補上(即要注意方程變量的取值范圍)。 這五個步驟(不包括證明)可濃縮為五字“口訣”：建設現(xiàn)(限)代化” （2）求曲線方程的常見方法： 直接法：也叫“五步法”，即按照求曲線方程的五個步驟來求解。這是求曲線方程的基本方法。 轉(zhuǎn)移代入法：這個方法又叫相關點法或坐標代換法。即利用動點是定曲線上的動點，另一動點依賴于它，那么可尋求它們坐標之間的關系，然后代入定曲線的方程進行求解。 幾何法：就是根據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法。 參數(shù)法：根據(jù)題中給定的軌跡條件，用一個參數(shù)來分別動點的坐標，間接地把坐標x,y聯(lián)系起來，得到用參數(shù)表示的方程。如果消去參數(shù)，就可以得到軌跡的普通方程。 2．圓錐曲線綜合問題 （1）圓錐曲線中的最值問題、范圍問題 通常有兩類：一類是有關長度和面積的最值問題；一類是圓錐曲線中有關的幾何元素的最值問題。這些問題往往通過定義，結(jié)合幾何知識，建立目標函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)或不等式知識，以及觀形、設參、轉(zhuǎn)化、替換等途徑來解決。解題時要注意函數(shù)思想的運用，要注意觀察、分析圖形的特征，將形和數(shù)結(jié)合起來。 圓錐曲線的弦長求法： 設圓錐曲線C∶f(x，y)=0與直線l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點，則弦長|AB|為： 若弦AB過圓錐曲線的焦點F，則可用焦半徑求弦長，|AB|=|AF|+|BF|． 在解析幾何中求最值，關鍵是建立所求量關于自變量的函數(shù)關系，再利用代數(shù)方法求出相應的最值．注意點是要考慮曲線上點坐標(x，y)的取值范圍。 （2）對稱、存在性問題，與圓錐曲線有關的證明問題 它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點、定值問題的判斷方法。 （3）實際應用題 數(shù)學應用題是高考中必考的題型，隨著高考改革的深入，同時課本上也出現(xiàn)了許多與圓錐曲線相關的實際應用問題，如橋梁的設計、探照燈反光鏡的設計、聲音探測，以及行星、人造衛(wèi)星、彗星運行軌道的計算等。 涉及與圓錐曲線有關的應用問題的解決關鍵是建立坐標系，合理選擇曲線模型，然后轉(zhuǎn)化為相應的數(shù)學問題作出定量或定性分析與判斷，解題的一般思想是： （4）知識交匯題 圓錐曲線經(jīng)常和數(shù)列、三角、平面向量、不等式、推理知識結(jié)合到一塊出現(xiàn)部分有較強區(qū)分度的綜合題。 四．典例解析 題型1：求軌跡方程 例1．（1）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么樣的曲線。 （2）雙曲線有動點，是曲線的兩個焦點，求的重心的軌跡方程。 解析：（1）（法一）設動圓圓心為，半徑為，設已知圓的圓心分別為、， 將圓方程分別配方得：，， 當與相切時，有 ① 當與相切時，有 ② 將①②兩式的兩邊分別相加，得， 即 ③ 移項再兩邊分別平方得： ④ 兩邊再平方得：， 整理得， 所以，動圓圓心的軌跡方程是，軌跡是橢圓。 （法二）由解法一可得方程， 由以上方程知，動圓圓心到點和的距離和是常數(shù)，所以點的軌跡是焦點為、，長軸長等于的橢圓，并且橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上， ∴，，∴，， ∴， ∴圓心軌跡方程為。 （2）如圖，設點坐標各為，∴在已知雙曲線方程中，∴ ∴已知雙曲線兩焦點為， ∵存在，∴ 由三角形重心坐標公式有，即 。 ∵，∴。 已知點在雙曲線上，將上面結(jié)果代入已知曲線方程，有 即所求重心的軌跡方程為：。 點評：定義法求軌跡方程的一般方法、步驟；“轉(zhuǎn)移法”求軌跡方程的方法。 例2．（xx上海，3）設P為雙曲線y2＝1上一動點，O為坐標原點，M為線段OP的中點，則點M的軌跡方程是 。 解析：（1）答案：x2－4y2＝1 設P（x0，y0） ∴M（x，y） ∴ ∴2x＝x0，2y＝y(tǒng)0 ∴－4y2＝1x2－4y2＝1 點評：利用中間變量法（轉(zhuǎn)移法）是求軌跡問題的重要方法之一。 題型2：圓錐曲線中最值和范圍問題 例3．（1）設AB是過橢圓中心的弦，橢圓的左焦點為，則△F1AB的面積最大為（ ） A. B. C. D. （2）已知雙曲線的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且，則此雙曲線的離心率的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. （3）已知A（3，2）、B（－4，0），P是橢圓上一點，則|PA|＋|PB|的最大值為（ ） A. 10 B. C. D. 解析：（1）如圖，由橢圓對稱性知道O為AB的中點，則△F1OB的面積為△F1AB面積的一半。又，△F1OB邊OF1上的高為，而的最大值是b，所以△F1OB的面積最大值為。所以△F1AB的面積最大值為cb。 點評：抓住△F1AB中為定值，以及橢圓是中心對稱圖形。 （2）解析：由雙曲線的定義， 得：， 又，所以，從而 由雙曲線的第二定義可得， 所以。又，從而。故選B。 點評：“點P在雙曲線的右支上”是銜接兩個定義的關鍵，也是不等關系成立的條件。利用這個結(jié)論得出關于a、c的不等式，從而得出e的取值范圍。 （3）解析：易知A（3，2）在橢圓內(nèi)，B（－4，0）是橢圓的左焦點（如圖），則右焦點為F（4，0）。連PB，PF。由橢圓的定義知： ， 所以。 由平面幾何知識， ，即， 而， 所以。 點評：由△PAF成立的條件，再延伸到特殊情形P、A、F共線，從而得出這一關鍵結(jié)論。 例4．（1）（06全國1文，21）設P是橢圓短軸的一個端點，為橢圓上的一個動點，求的最大值。 （2）（06上海文，21）已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點. ①求該橢圓的標準方程； ②若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程； ③過原點的直線交橢圓于點，求面積的最大值。 （3）（06山東文，21）已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在x軸上，橢圓的短軸端點和焦點所組成的四邊形為正方形，兩準線間的距離為l。 (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)直線過點P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點，當ΔAOB面積取得最大值時，求直線l的方程。 解析：（1）依題意可設P(0,1)，Q(x,y),則 |PQ|=，又因為Q在橢圓上， 所以，x2=a2(1－y2)， |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2， =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 。 因為|y|≤1,a>1, 若a≥, 則||≤1, 當y=時, |PQ|取最大值， 若10，∴>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角， 故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。 解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設M（x1，y1），N（x2，y2）， 則－2b>0),其半焦距c=6,∴,b2=a2-c2=9。 所以所求橢圓的標準方程為 ②點P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)關于直線y=x的對稱點分別為點P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6)。 設所求雙曲線的標準方程為。 由題意知，半焦距c1=6，。 ,b12=c12-a12=36-20=16. 所以所求雙曲線的標準方程為。 點評：本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質(zhì)等基礎知識和基本運算能力。 題型4：知識交匯題 例7．（06遼寧,20）已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設圓的方程為 (I) 證明線段是圓的直徑; (II)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求p的值。 解析：(I)證明1: 整理得: 設M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則 即 整理得: 故線段是圓的直徑 證明2: 整理得: ……..(1) 設(x,y)是以線段AB為直徑的圓上則 即 去分母得: 點滿足上方程,展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 證明3: 整理得: ……(1) 以線段AB為直徑的圓的方程為 展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 (II)解法1:設圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 當y=p時,d有最小值,由題設得 . 解法2: 設圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則 因為x-2y+2=0與無公共點, 所以當x-2y-2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x-2y=0的距離最小值為 將(2)代入(3)得 解法3: 設圓C的圓心為C(x,y),則 圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 又因 當時,d有最小值,由題設得 . 點評：本小題考查了平面向量的基本運算,圓與拋物線的方程.點到直線的距離公式等基礎知識,以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力。 例8．（06重慶文，22）如圖，對每個正整數(shù)，是拋物線上的點，過焦點的直線角拋物線于另一點。 （Ⅰ）試證：； （Ⅱ）取，并記為拋物線上分別以與為切點的兩條切線的交點。 試證：； 證明：（Ⅰ）對任意固定的因為焦點F（0,1）， 所以可設直線的方程為 將它與拋物線方程聯(lián)立得: , 由一元二次方程根與系數(shù)的關系得． （Ⅱ）對任意固定的利用導數(shù)知識易得拋物線在處的切線的斜率故在處的切線的方程為：，……① 類似地，可求得在處的切線的方程為：，……② 由②－①得：， ……③ 將③代入①并注意得交點的坐標為． 由兩點間的距離公式得： ． 現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得： 點評：該題是圓錐曲線與數(shù)列知識交匯的題目。 五．思維總結(jié) 1．注意圓錐曲線的定義在解題中的應用，注意解析幾何所研究的問題背景平面幾何的一些性質(zhì)； 2．復習時要突出“曲線與方程”這一重點內(nèi)容 曲線與方程有兩個方面：一是求曲線方程，二是由方程研究曲線的性質(zhì).這兩方面的問題在歷年高考中年年出現(xiàn)，且常為壓軸題.因此復習時要掌握求曲線方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐標系后，根據(jù)曲線上點適合的共同條件找出動點P（x，y）的縱坐標y和橫坐標x之間的關系式，即f（x，y）=0為曲線方程，同時還要注意曲線上點具有條件，確定x，y的范圍，這就是通常說的函數(shù)法，它是解析幾何的核心，應培養(yǎng)善于運用坐標法解題的能力，求曲線的常用方法有兩類：一類是曲線形狀明確且便于用標準形式，這時用待定系數(shù)法求其方程；另一類是曲線形狀不明確或不便于用標準形式表示，一般可用直接法、間接代點法、參數(shù)法等求方程。二要引導如何將解析幾何的位置關系轉(zhuǎn)化的代數(shù)數(shù)量關系進而轉(zhuǎn)化為坐標關系，由方程研究曲線，特別是圓錐曲線的幾何性質(zhì)問題?；癁榈仁浇鉀Q，要加強等價轉(zhuǎn)化思想的訓練。 3．重視對數(shù)學思想、方法進行歸納提煉，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程 ①方程思想，解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達定理進行整體處理，就簡化解題運算量。 ②用好函數(shù)思想方法 對于圓錐曲線上一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長度及a，b，c，e之間構(gòu)成函數(shù)關系，函數(shù)思想在處理這類問題時就很有效。 ③掌握坐標法 坐標法是解析幾何的基本方法，因此要加強坐標法的訓練。 ④對稱思想 由于圓錐曲線和圓都具有對稱性質(zhì)，可使分散的條件相對集中，減少一些變量和未知量，簡化計算，提高解題速度，促成問題的解決。 ⑤參數(shù)思想 參數(shù)思想是辯證思維在數(shù)學中的反映，一旦引入?yún)?shù)，用參數(shù)來劃分運動變化狀態(tài)，利用圓、橢圓、雙曲線上點用參數(shù)方程形式設立或（x0、y0）即可將參量視為常量，以相對靜止來控制變化，變與不變的轉(zhuǎn)化，可在解題過程中將其消去，起到“設而不求”的效果。 ⑥轉(zhuǎn)化思想 解決圓錐曲線時充分注意直角坐標與極坐標之間有聯(lián)系，直角坐標方程與參數(shù)方程，極坐標之間聯(lián)系及轉(zhuǎn)化，利用平移得出新系坐標與原坐標之間轉(zhuǎn)化，可達到優(yōu)化解題的目的。 除上述常用數(shù)學思想外，數(shù)形結(jié)合、分類討論、整體思想、構(gòu)造思想也是不可缺少的思想方法，復習也應給予足夠的重視。