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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題8 選修專(zhuān)題 第一講 幾何證明選講 文 幾何證明選講在高考全國(guó)卷中有一道選做題，難度中等，訓(xùn)練到位10分全拿，主要可能涉及相似形、圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是重要的得分點(diǎn)，需充分重視． 1．平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理． 如果一組平行線(xiàn)在一條直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段相等，那么在其他直線(xiàn)上截得的線(xiàn)段也相等，即若l1∥l2∥l3，l分別交直線(xiàn)l1，l2，l3于A1，A2，A3，l′分別交直線(xiàn)l1，l2，l3于B1，B2，B3，A1A2＝A2A3，則B1B2＝B2B3. 推論1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線(xiàn)必平分第三邊，即在△ABC中，若AD＝DB，DE∥BC，則AE＝EC. 推論2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)且與底邊平行的直線(xiàn)平分另一腰，即在梯形ABCD中，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，則DF＝FC. 2．平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理． 三條平行線(xiàn)截任意兩條直線(xiàn)，所截出的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，即若l1∥l2∥l3，l分別交直線(xiàn)l1，l2，l3于A，B，C，l′分別交直線(xiàn)l1，l2，l3于D，E，F(xiàn)，則＝. 推論：平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例，即在△ABC，DE∥BC，則＝. 3．相似三角形的定義． 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，解題時(shí)常常把對(duì)應(yīng)點(diǎn)寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上． 4．相似三角形的判定方法． (1)兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似；(2)三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似；(3)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似． 5．相似三角形的性質(zhì)． (1)相似三角形對(duì)應(yīng)邊上的高的比、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比和它們周長(zhǎng)的比都等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比)；(2)相似三角形的面積比等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比)的平方． 6．射影定理． 直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項(xiàng)． 在Rt△ABC中，∠ABC＝90，BD⊥AC于D，則BD2＝ADCD，AB2＝ADAC，BC2＝CDCA. 7．與圓有關(guān)的角的概念． (1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心，兩邊和圓相交的角叫做圓心角．如圖1中的∠AOB. (2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊和圓相交的角叫做圓周角．如圖2中的∠DEF. (3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖3中的∠MPN. 8．與圓有關(guān)的角的性質(zhì)． (1)圓周角定理：圓上的一條弧所對(duì)的圓周角大小等于它所對(duì)的圓心角的一半．如圖4，∠ACB＝∠AOB. (2)圓心角定理：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)． 推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧也相等． 推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，圓周角為90時(shí)所對(duì)的弦是直徑．如圖5，∠DEF＝90. (3)弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角． 如圖6，∠MPN＝∠PQM. 9．圓的切線(xiàn)的判定和性質(zhì)． (1)圓的切線(xiàn)的定義：與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)． (2)圓的切線(xiàn)的判定：①若圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，則該直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)；②經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)． (3)圓的切線(xiàn)的性質(zhì)：①圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；②經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；③經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心． 10．與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段． (1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段的積相等．如圖7，PAPB＝PCPD． (2)割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等．如圖8，PAPB＝PCPD． (3)切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)，切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)．如圖9，PA2＝PCPD． (4)切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角．如圖10，PA＝PC，∠APO＝∠CPO. 11．圓內(nèi)接四邊形． (1)圓內(nèi)接四邊形的判定：①如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上；②如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上． (2)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：①圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；②圓內(nèi)接四邊形的外角等于與它相鄰的內(nèi)角的對(duì)角． 12．直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系． (1)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離． ①相交——直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)； ②相切——直線(xiàn)與圓有一個(gè)公共點(diǎn)； ③相離——直線(xiàn)與圓沒(méi)有公共點(diǎn)． (2)判定直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的方法：直線(xiàn)與圓的位置決定于圓心到直線(xiàn)的距離d和圓的半徑r之間的大小關(guān)系． ①直線(xiàn)與圓相交?dr． 判定直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，先看：看看題目中有沒(méi)有告訴我們直線(xiàn)和圓有幾個(gè)公共點(diǎn)；再算：算算圓心到直線(xiàn)的距離d和圓的半徑為r之間的大小關(guān)系；后斷：然后根據(jù)上述關(guān)系作出判斷． 13．圓與圓的位置關(guān)系． (1)平面內(nèi)兩圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含． (2)判定兩個(gè)圓的位置關(guān)系的方法：設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為R和r，則 ①兩圓外離?d>R＋r，有4條公切線(xiàn)； ②兩圓外切?d＝R＋r，有3條公切線(xiàn)； ③兩圓相交?R－rr)，有2條公切線(xiàn)； ④兩圓內(nèi)切?d＝R－r(R>r)，有1條公切線(xiàn)； ⑤兩圓內(nèi)含?dr)，沒(méi)有公切線(xiàn)． 14．常用的輔助線(xiàn)的作法． 出現(xiàn)切線(xiàn)就連接切點(diǎn)和圓心的半徑為輔助線(xiàn)，求弦長(zhǎng)就作弦心距解直角三角形．　　　 　　　　　 　　 　　　　 1．如下圖所示，DE是△ABC的中位線(xiàn)，F(xiàn)G為梯形BCED的中位線(xiàn)，若DE＝4，則FG等于(A) A．6 B．8 C．10 D．12 2．如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90，D是BC的中點(diǎn)，AE⊥AD交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，則下列結(jié)論正確的是(C) A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC 3．直線(xiàn)MN切⊙O于點(diǎn)C，AB是⊙O的直徑且∠CAB＝53，則∠BOC＝106，∠ACB＝90，∠ACM＝37，∠BCN＝53． 4．如圖，△ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦且BD∥AC，過(guò)點(diǎn)A做圓的切線(xiàn)與DB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E，AD與BC交于點(diǎn)F.若AB＝AC，AE＝6，BD＝5，則線(xiàn)段CF的長(zhǎng)為_(kāi)_______． 解析：由切割線(xiàn)定理，可知AE2＝EBED＝EB(EB＋BD)，即62＝EB(EB＋5)，所以EB＝4，由AE為圓的切線(xiàn)，AB＝AC，可得∠EAB＝∠ACB＝∠ABC.所以AE∥BC.又AC∥BD，則AC∥BE，可得四邊形AEBC是平行四邊形．所以AC＝AB＝EB＝4，BC＝AE＝6.由BD∥AC，可得△AFC∽△DFB，則＝，即＝，所以CF＝. 答案：