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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專題講座 第二講三角函數(shù)與平面向量 第四節(jié)平面向量與幾何的綜合應(yīng)用 文 平面向量與幾何的綜合應(yīng)用內(nèi)容為每年高考必考內(nèi)容，多以選擇題（填空題）形式考查平面向量相關(guān)概念的幾何意義及與平面幾何知識的綜合應(yīng)用，或作為題設(shè)條件與解析幾何知識綜合以解答題形式出現(xiàn)，分值在4-12分左右；難度系數(shù)在0.3～0.6之間. 考試要求 ⑴理解平面向量的概念、兩個向量平行或共線及相等的幾何意義；⑵掌握向量的加減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算幾何意義，了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義；⑶了解平面向量基本定理及其意義；⑷理解平面向量的數(shù)量積的含義，了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，能用數(shù)量積表示兩向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系；⑸會用向量方法解決簡單的平面幾何問題和簡單力學(xué)問題及其他一些實(shí)際問題. 題型一 平面向量加減法及數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義應(yīng)用 例1 ⑴已知為平面上四點(diǎn)，且，，則( 　) A．點(diǎn)M在線段AB上 B．點(diǎn)B在線段AM上 C．點(diǎn)A在線段BM上 D．O、A、M、B四點(diǎn)共線 ⑵在中，點(diǎn)在上，平分．若，，，，則( 　)　　　　A. B. C. D. 點(diǎn)撥：⑴考查了平面向量的加減法運(yùn)算，利用數(shù)乘運(yùn)算幾何意義根據(jù)來判斷點(diǎn)M的位置：⑵考查向量的基本運(yùn)算和三角形的角平分線定理，關(guān)鍵在于確定點(diǎn)D在AB上的位置，由角平分線定理得出D為AB的三等分點(diǎn)，結(jié)合向量的基本運(yùn)算求解； 解：⑴選B. 根據(jù)題意知,則，即.由判斷出點(diǎn)Ｍ在線段AB的延長線上，即點(diǎn)B在線段AM上； ⑵選B．因為平分，由角平分線定理得，所以Ｄ為AB的三等分點(diǎn)，且，故； 易錯點(diǎn)：⑴沒有根據(jù)來判斷點(diǎn)M的位置；⑵同學(xué)對角平分線定理不熟悉，導(dǎo)致求解出錯. 變式與引申1已知和點(diǎn)M滿足，若存在實(shí)數(shù)使得成立，則=（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.設(shè)分別是的三邊上的點(diǎn)，且則與( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 題型二 平面向量基本定理及數(shù)量積的幾何意義應(yīng)用 例2：⑴在正六邊形中，點(diǎn)是內(nèi)（包括邊界）的動點(diǎn)，若，則的取值范圍是　　　； ⑵已知， ，，，，設(shè)，如果，，，那么為何值時，三點(diǎn)在一條直線上？ 點(diǎn)撥：⑴利用平面向量基本定理和向量加法的平行四邊形法則，通過畫圖數(shù)形結(jié)合解出，或者用平面向量基本定理及線性規(guī)劃的知識來解出；⑵向量個數(shù)較多，應(yīng)選準(zhǔn)一對作為基底，利用平面向量共線充要條件列出方程求解； G 圖 A B C D E F 解：⑴方法一，的取值范圍是.從特例試一試，當(dāng)點(diǎn)與重合時(如圖)，確定，過點(diǎn)作和（即和）的平行線得，易知，, 所以；同理點(diǎn)與重合時，也可以得；點(diǎn)與重合 時，，所以. 方法二，如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)六邊形的邊長為2，各個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分 圖 x C y F E D A B o P 別是、、、、、， 令，那么,,. 由得 ①， ②，二者聯(lián)立 有，.因為點(diǎn)在內(nèi)（包括邊界），所以點(diǎn) 必在直線和的下方，同時在直線的上方，求出直線和的方程， 根據(jù)線性規(guī)劃知識得到點(diǎn)滿足的約束條件是：；把分別換成得；作圖驗證可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時，，即；點(diǎn)與重合時，，即.所以的取值范圍是； ⑵由題設(shè)知，，三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使得，即，整理得，①若共線，則可為任意實(shí)數(shù)；②若不共線，則有，解之得，．所以綜上所述，當(dāng)共線時，則可為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)不共線時，； 易錯點(diǎn)：⑴對平面向量基本定理概念不清晰，利用向量加法進(jìn)行平行四邊形法則作圖不到位，判斷的取值出錯；⑵不能正確選準(zhǔn)一對向量來作為基底去表示，沒有對是否共線進(jìn)行分類討論； 變式與引申3：⑴已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，O為原點(diǎn)，且（其中均為實(shí)數(shù)），若N（1，0），則的最小值是 . 4.已知=1，=,,點(diǎn)在內(nèi)，且=30，設(shè) ，則等于（　 ） A. 　 B.3 　 C. D. 題型三 平面向量與平面幾何綜合的問題 例３：⑴已知中，過重心的直線交于，交邊于，設(shè)的面積為，的面積為，，，則① 　　 ，②的取值范圍是 ； ⑵已知圓的半徑為１，為該圓的兩條切線，、為兩切點(diǎn)，那么的最小值為（?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 點(diǎn)撥：⑴令通過引入中間變量根據(jù)三角形的重心和平面向量的基本定理演算出和之間的關(guān)系式；⑵用的三角函數(shù)形式表示出，再使用均值不等式得到答案；或者建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算形式求解. 解：⑴；設(shè)因為是△的重心，故，又，，因為與共線，所以，即，又與不共線， 所以及，消去，得； 能重合，故 B 圖 P A ⑵選D.方法一：如圖，令 ， 令，； 方法二：以圓心O的坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)P為軸，建立坐標(biāo)系：圓的方程為， 設(shè)，，，，由 ， 所以有． 易錯點(diǎn)：⑴沒有正確引入中間變量使得和之間的關(guān)系式運(yùn)算出錯：⑵對的三角形式化簡方向偏離正確結(jié)構(gòu)或建立坐標(biāo)系沒有利用得出，難以繼續(xù)演算． 題型四 平面向量與圓錐曲線綜合的問題 例4：如圖,已知雙曲線：，直線與一條漸近線交于點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn). 1 證：； ⑵若,且雙曲線的離心率，求雙曲線的方程； ⑶在⑵的條件下，直線過點(diǎn)與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn) ，且在之間，滿足，試判斷的范圍，并 用代數(shù)方法給出證明. 【注】考慮課程標(biāo)準(zhǔn)和教材關(guān)于雙曲線的準(zhǔn)線方程不作要求，所以題目里給出的直線實(shí)際上就是雙曲線的右準(zhǔn)線. 點(diǎn)撥： ⑴由題意寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷即可； ⑵由離心率和建立關(guān)于方程組求解出的值； ⑶由題意可初步猜想出，用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系來進(jìn)一步推證. 解：⑴因為，漸近線；所以又， ，得出，有，所以. ⑵因為，所以，即；又，故，，解得， 即所求的雙曲線的方程為： ． ⑶由題意可得．證明：設(shè)：，點(diǎn) 由和 聯(lián)立消去得出方程：，因為與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)得出不等式組：；化簡得；解得；又，有成立， ；故，，消得 ；因為，有成立，得出， 解得且，根據(jù)題意知在之間，所以的取值范圍是． 易錯點(diǎn)：在第⑶問中字母的代數(shù)式運(yùn)算出錯，解得且之后，不結(jié)合題意分析的取值范圍. 變式與引申7已知定點(diǎn)(-1,0)和B (1,0)，是圓上的一動點(diǎn)，則的最大值是 ；最小值是 . 本節(jié)主要考查 ⑴知識點(diǎn)有平面向量的加減法、向量共線定理、平面向量的基本定理、向量的數(shù)量積的幾何意義及運(yùn)算，平面向量平行和垂直位置關(guān)系；⑵演繹推理能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識；⑶數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)、不等式思想、分類討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想和應(yīng)用向量法分析解決問題． 點(diǎn)評 ⑴認(rèn)識向量的幾何特性．對于向量問題一定要結(jié)合圖形進(jìn)行研究，掌握平面向量相關(guān)概念的幾何意義，正確地運(yùn)用向量的各種運(yùn)算來處理向量與幾何的綜合應(yīng)用問題（如例1、例2），要善于利用向量“數(shù)”與“形”兩方面的特征；⑵理解向量數(shù)量積的定義、運(yùn)算律、性質(zhì)幾何意義，并能靈活應(yīng)用處理與向量的夾角、模長和垂直的相關(guān)問題；⑶平面向量能與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點(diǎn)，注意向量在知識的交匯點(diǎn)處命題，要關(guān)注平面向量與三角形等平面幾何知識相結(jié)合的綜合問題（如例３）及平面向量作為解析幾何問題的已知條件與之交織在一起的綜合問題（例４）；⑷平面向量重視考查綜合能力，體現(xiàn)了向量的工具性及學(xué)生分析問題、解決問題的能力，學(xué)生要善于運(yùn)用向量方法解題，樹立運(yùn)用向量知識解題的意識；⑸知曉三角形五“心”向量形式的充要條件，設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，角所對邊長分別為，則 ①為的外心； ②為的重心； ③為的垂心； ④為的內(nèi)心； ⑤為的的旁心； 習(xí)題２－４ 1．已知非零向量與滿足()=0，且= , 則△ABC為( ) A.三邊均不相等的三角形 　 B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形 　 D.等邊三角形 2. 設(shè)P為內(nèi)一點(diǎn)，且，則的面積與面積之比為 （ ） A. B. C. D. 3．已知，關(guān)于的函數(shù) 在上有極值，則與夾角的范圍 是_ _____ _ . ４．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長； (2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足()=0，求t的值. 5. 已知橢圓，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，，. （1）判斷與是否共線； （2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且（），證明：為定值. 【答案】 變式與引申3： ⑴解：的最小值是.　由及知，點(diǎn)Ｍ與點(diǎn)、共線，所以的最小值是點(diǎn)到直線的距離，在中求解得最小值是． A H C B 答圖 4解：選B．由已知判斷出點(diǎn)C在上，且，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)=(，)，，建立方程解出，，所以=3， 變式與引申5： ⑴解：選.如答圖，過作于點(diǎn)， 取中點(diǎn)，由題意知==，= A C B P O 答圖 =,即， 又因為=，得 所以的軌跡一定通過的重心. 6解：最小值為.如答圖, ≥，等號在，即為的中點(diǎn)時成立． 變式與引申7解：的最大值為，最小值為． （分析：因為Ｏ為B的中點(diǎn)，所以故可利用向量把 問題轉(zhuǎn)化為求向量的最值）如答圖2-6，設(shè)圓心為C，由已知可得： ，又由中點(diǎn)公式得 ，所以 == =；又因為 點(diǎn)在圓上,所以且，所以有，， 即， 所以的最大值為，最小值為． 習(xí)題2-4 A B P C M N D 1．選D．非零向量與滿足()=0，即角A的平分線垂直于BC，所以AB=AC，又= ，所以，即∠A=，故△ABC為等邊三角形； 2. 選C 【解析】如圖，過P作PM∥AC，PN∥AB，因為， 所以N為AC靠近A的五等分點(diǎn)，所以連接CP并延長，交AB于D， 則，故，則的面積與面積之比為. 答圖 3．夾角范圍為．對函數(shù)，根據(jù)題意有，即，解得，又夾角，所以與的夾角范圍為． ４. 解：（1）方法一：由題設(shè)知，則 所以 故所求的兩條對角線的長分別為、。 方法二：設(shè)該平行四邊形的第四個頂點(diǎn)為D，兩條對角線的交點(diǎn)為E，則: E為B、C的中點(diǎn)，E（0，1） 又E（0，1）為A、D的中點(diǎn)，所以D（1，4） 故所求的兩條對角線的長分別為BC=、AD=； （2）由題設(shè)知：=(－2,－1)，。 由()=0，得：，從而所以。 或者：， 5.解（1） 設(shè)過F的直線方程為 由 消y得 令 則 所以 所以。 所以共線 （2）橢圓可化為