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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 方法應(yīng)用篇 專(zhuān)題3.2 換元法（講）理 換元法又稱(chēng)輔助元素法、變量代換法．通過(guò)引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)；或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)；或者變?yōu)槭煜さ男问?，把?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化. 縱觀(guān)近幾年高考對(duì)于轉(zhuǎn)化與化歸思想的的考查，換元法是轉(zhuǎn)化與化歸思想中考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一.換元法是解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，變得容易處理.換元法的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是通過(guò)換元變換研究對(duì)象，將問(wèn)題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問(wèn)題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，可以把分散的條件聯(lián)系起來(lái)，隱含的條件顯露出來(lái)；或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來(lái)；或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計(jì)算和推證簡(jiǎn)化.主要考查運(yùn)用換元法處理以函數(shù)、三角、不等式、數(shù)列、解析幾何為背景的最值、值域或范圍問(wèn)題，通過(guò)換元法把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的典型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡(jiǎn)單的典型問(wèn)題，起到化隱形為顯性、化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用，以?xún)?yōu)化解題過(guò)程.要用好換元法要求學(xué)生有較強(qiáng)轉(zhuǎn)化與化歸意識(shí)、嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)態(tài)度和準(zhǔn)確的計(jì)算能力.從實(shí)際教學(xué)來(lái)看，換元法是學(xué)生掌握最為模糊，知道方法但不會(huì)靈活運(yùn)用的方法.分析原因，除了換元法比較靈活外，主要是學(xué)生沒(méi)有真正掌握換元法的類(lèi)型和運(yùn)用其解題的題型與解題規(guī)律，以至于遇到需要換元的題目便產(chǎn)生畏懼心理.本文就高中階段出現(xiàn)換元法的類(lèi)型與相關(guān)題型作以總結(jié)和方法的探討.學(xué)… 換元的常見(jiàn)方法有：局部換元、三角換元等，在高考中換元法常適用以下幾種類(lèi)型： 1、 局部換元 局部換元是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來(lái)代替它從而簡(jiǎn)化問(wèn)題，當(dāng)然有時(shí)候要通過(guò)變形才能發(fā)現(xiàn). 1.1對(duì)于形如的值域（最值）問(wèn)題，令，化為一元二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的值域（最值）問(wèn)題處理. 例1．【xx屆湖南省岳陽(yáng)縣第一中學(xué)高三上學(xué)期第一次月考】設(shè)函數(shù)，是定義域?yàn)镽上的奇函數(shù)． （1）求的值； （2）已知，函數(shù)，，求的值域； （3）若，試問(wèn)是否存在正整數(shù)，使得對(duì)恒成立？若存在，請(qǐng)求出所有的正整數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】試題分析： 試題解析：（1）先利用為上的奇函數(shù)得求出以及函數(shù)的表達(dá)式，（2）先由得，得出函數(shù)的單調(diào)性，再對(duì)進(jìn)行整理，整理為用表示的函數(shù)，最后利用函數(shù)的單調(diào)性以及值域，得到的值域． （3）利用換元法，將不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)勾函數(shù)問(wèn)題求解，注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用． （3）=，， 假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的正整數(shù)，則， ①當(dāng)時(shí)，． ②當(dāng)時(shí)，，則，令，則，易證在上是增函數(shù)，∴． ③當(dāng)時(shí)，，則，令，則，易證在上是減函數(shù)，∴． 綜上所述，，∵是正整數(shù)，∴=3或4． ∴存在正整數(shù)=3或4，使得對(duì)恒成立． 1.2、分式型函數(shù)利用均值不等式求最值問(wèn)題(局部換元)； 例2．【xx屆上海市長(zhǎng)寧、嘉定區(qū)高三一?！恳阎瘮?shù)． （1）求證：函數(shù)是偶函數(shù)； （2）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)在時(shí)的值域的表達(dá)式； （3）若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）． 【解析】試題分析：（1）判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，計(jì)算判斷其與的關(guān)系； （2）令，故，換元得，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，分類(lèi)討論求其最值即可；（3））由，得，即恒成立，求其最值即可. 試題解析： （1）函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意， ， 所以，函數(shù)是偶函數(shù)． （2）， 令，因?yàn)?，所以，故? 原函數(shù)可化為， ， 圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，值域?yàn)椋? 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，在時(shí)是增函數(shù)，值域?yàn)椋? 綜上， （3）由，得， 當(dāng)時(shí)， ，所以，所以， 所以， 恒成立． 令，則， ， 由，得，所以， ． 所以， ，即的取值范圍為． 1.3、常數(shù)換元 例3.【xx屆江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)、天一、海門(mén)、淮陰四校高三聯(lián)考】已知，則的值為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】由題意得，解得． ∴． 答案： . 1.4.復(fù)合函數(shù)中的換元 例4.已知函數(shù)，，其中且，． （I）若，且時(shí)，的最小值是－2,求實(shí)數(shù)的值； （II）若，且時(shí)，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（I）；（II）. 【解析】 （I）∵， ∴ ，………………2分 易證在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且， ∴，，………………3分 ∴當(dāng)時(shí)，，由，解得（舍去）………………4分 當(dāng)時(shí)，，由，解得.………………5分 綜上知實(shí)數(shù)的值是.………………6分 ∴.………………11分 故實(shí)數(shù)的取值范圍為.…………………12分 1.5.局部換元法與不等式 局部換元法在解關(guān)于某個(gè)函數(shù)的不等式和復(fù)雜的不等式證明中，經(jīng)常用到，通過(guò)換元將復(fù)雜的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式、超越不等式化為一般不等式，將不熟悉的不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式問(wèn)題,如在解可化為形式為不等式時(shí)，常令，將復(fù)雜不等式化為一元二次不等式，解出t的范圍，再解不等式關(guān)于的簡(jiǎn)單不等式. 例5.【xx屆甘肅省西北師范大學(xué)附屬中學(xué)】在等腰梯形中，，其中，以為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)的離心率為，以為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)的橢圓的離心率為，若對(duì)任意都有不等式恒成立，則的最大值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C 例6.【xx屆福建省南平市高三上學(xué)期第一次綜合質(zhì)量檢查（2月）】已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，求的取值范圍__________． 【答案】 【解析】作出可行域如圖所示： 令表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率，由圖聯(lián)立直線(xiàn)可得. . 易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 時(shí)， ， 時(shí)， ， 時(shí)， ， 所以. 故答案為： . 1.6 局部換元法與數(shù)列 在已知數(shù)列遞推公式求出通項(xiàng)公式中，常用到構(gòu)造等比或等差數(shù)列法，其實(shí)質(zhì)就是換元法，證明與數(shù)列有關(guān)的不等式，其實(shí)質(zhì)就是求數(shù)列的最值，也常用到換元法. 例7.已知在數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足。 (Ⅰ) 求的表達(dá)式；(Ⅱ) 設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和．證明 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 見(jiàn)解析. 【解析】 (1)當(dāng)時(shí)，代入，得， 由于，所以，令=，則=2， 所以{}是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以=，所以 (2) ∴所以 1.7局部換元法與圓錐曲線(xiàn)聯(lián)系 對(duì)圓錐曲線(xiàn)的最值問(wèn)題或取值范圍問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，當(dāng)函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)，常用換元法進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 例8.等腰直角△內(nèi)接于拋物線(xiàn)，為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，，△的面積是16，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，若是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因?yàn)榈妊苯恰鲀?nèi)接于拋物線(xiàn)，為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)， 所以，可設(shè)，得，將代入，得，拋物線(xiàn)的方程為，所以，設(shè)，則，設(shè)，則 ，時(shí)，“” 成立.故選C. 例9.平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與兩定點(diǎn)A(-2, 0), B(2,0)連線(xiàn)的斜率之積等于，若點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)E，過(guò)點(diǎn) 直線(xiàn) 交曲線(xiàn)E于M，N兩點(diǎn)． （Ⅰ）求曲線(xiàn)E的方程，并證明：MAN是一定值；（Ⅱ）若四邊形AMBN的面積為S，求S的最大值 【答案】（Ⅰ）,證明見(jiàn)解析 (Ⅱ)16. 【解析】（Ⅰ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，由條件得：， 化簡(jiǎn)得，曲線(xiàn)E的方程為，, 由題可設(shè)直線(xiàn)的方程為,聯(lián)立方程組可得 ,化簡(jiǎn)得： 設(shè),則， 又,則 , 所以,所以的大小為定值 (Ⅱ) ，令 設(shè) 在上單調(diào)遞減． 由，得K=0，此時(shí)有最大值16. 2.三角換元 在求函數(shù)值域（最值）或不等式證明中，若變量范圍為（0,1）或[-1,1] ，利用與三角函數(shù)值域相似性，可設(shè)或；若二元函數(shù)二元滿(mǎn)足的條件可化為平方和為1的形式,利用與正余弦的平方和為1的相似性，可以用三角代換，化二元函數(shù)為三角函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解，把二元函數(shù)化為一元函數(shù)，把不熟悉的二元函數(shù)函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的三角函數(shù)問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上圓的參數(shù)方程，橢圓的參數(shù)方程就是三角代換，利用三角換元，可以去根號(hào)，也可以把二元函數(shù)化為一元函數(shù)求解.如求函數(shù)y＝＋的值域時(shí)，易發(fā)現(xiàn)x∈[0,1]，設(shè)，α∈[0,]，問(wèn)題變成了熟悉的求三角函數(shù)值域. 例10.設(shè)實(shí)數(shù)x，y，m，n滿(mǎn)足x2＋y2＝1，m2＋n2＝3，那么mx＋ny的最大值是( ) A. B．2 C. D. 【答案】A. 【解析】設(shè)x＝sinα，y＝cosα，m＝sinβ，n＝cosβ，其中α，β∈(0，180)． ∴mx＋ny＝sinβsinα＋cosβcosα＝cos(α－β)．故選A項(xiàng)． 例11.已知實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求y－x的最大值和最小值；(2)求x2＋y2的最大值和最小值； 【答案】（1）最小值－，最大值.（2）最大值，最小值. （2）由(1)知x2＋y2＝(2＋cosθ)2＋(sinθ)2＝7＋4cosθ. ∴當(dāng)θ＝2kπ(k∈Z)時(shí)，x2＋y2有最大值，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z)時(shí)，x2＋y2有最小值. 【反思提升】（1）在用換元法處理不等式時(shí)，先將不等式化簡(jiǎn)看是否是某個(gè)函數(shù)的不等式問(wèn)題，若是，常將這個(gè)函數(shù)換元.（2）在利用構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，常用換元法.（3）對(duì)復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題或關(guān)于某個(gè)函數(shù)的方程解得個(gè)數(shù)問(wèn)題，常用換元法，令內(nèi)函數(shù)為t或方程中的函數(shù)為t,把復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為外函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題和內(nèi)函數(shù)已知函數(shù)值求值問(wèn)題；將復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)簡(jiǎn)單方程問(wèn)題.