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2019-2020年高考數(shù)學(xué)精英備考專(zhuān)題講座 第六講解析幾何 第二節(jié)圓錐曲線 文 圓錐曲線是高考命題的熱點(diǎn),也是難點(diǎn).縱觀近幾年的高考試題,對(duì)圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)等的考查多以選擇填空題的形式出現(xiàn),而圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圓錐曲線與平面向量、三角形、直線等結(jié)合時(shí),多以綜合解答題的形式考查,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度值一般控制在之間. 考試要求 ⑴了解圓錐曲線的實(shí)際背景；⑵掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；⑶了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；⑷了解拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程,知道其簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；⑸了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用；⑹掌握數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法. 題型一 圓錐曲線的定義及應(yīng)用 例 ⑴已知點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn),是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn),是一定點(diǎn),則的最大值和最小值分別為. ⑵已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為,離心率為,、分別是它的左、右焦點(diǎn),若過(guò)的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn),且是與的等差中項(xiàng),則. 點(diǎn)撥：題⑴可利用橢圓定義、三角形的三邊間關(guān)系及不等式性質(zhì)求最值；題⑵是圓錐曲線與數(shù)列性質(zhì)的綜合題,可根據(jù)條件先求出雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)的值,再應(yīng)用雙曲線的定義與等差中項(xiàng)的知識(shí)求的值. 解：⑴設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為,則,∴.又 (當(dāng)、、共線時(shí)等號(hào)成立).又,∴, .故的最大值為,最小值為. ⑵依題意有,解得.∵、在雙曲線的左支上,∴, ,∴.又,. ∴,即.∴. 易錯(cuò)點(diǎn)：在本例的兩個(gè)小題中,⑴正確應(yīng)用相應(yīng)曲線的定義至關(guān)重要,否則求解思路受阻；⑵忽視雙曲線定義中的兩焦半徑的大小關(guān)系容易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤；⑶由、、三點(diǎn)共線求出的最值也是值得注意的問(wèn)題. 變式與引申 1.已知為拋物線上任一動(dòng)點(diǎn),記點(diǎn)到軸的距離為,對(duì)于給定的點(diǎn),的最小值為( ). A. B. C. D. 2.設(shè)、分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn),過(guò)的直線與相交于、兩點(diǎn),且是與的等差中項(xiàng),則. 題型二 圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2 已知拋物線：經(jīng)過(guò)橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn). 圖 ⑴求橢圓的離心率； ⑵設(shè),又,為與不在軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若的 重心在拋物線上,求和的方程. 點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}⑴：將的焦點(diǎn)坐標(biāo)代入的方程,得出的關(guān)系式,進(jìn)而求出的離心率；問(wèn)題⑵：利用問(wèn)題⑴的答案,聯(lián)立、的方程先得出、坐標(biāo),再利用的重心在拋物線上,求、的方程. 解：⑴∵拋物線經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),,∴,即, ∴,∴橢圓的離心率. ⑵由⑴可知,橢圓的方程為,聯(lián)立拋物線的方程, 得,解得或(舍去),∴,即,, ∴的重心坐標(biāo)為.∵重心在上,∴,得.∴. ∴拋物線的方程為,橢圓的方程為. 易錯(cuò)點(diǎn)：忘記用第⑴小問(wèn)的答案；記錯(cuò)重心坐標(biāo)公式；聯(lián)立、的方程后,計(jì)算錯(cuò)、坐標(biāo). 變式與引申 3.求經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)和的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 4.已知橢圓與直線相交于、兩點(diǎn),是的中點(diǎn),若,的斜率為,求橢圓的方程. 題型三 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 圖 例 如圖,已知為橢圓的左焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作斜率為(為半焦距)的直線交橢圓于點(diǎn)、兩點(diǎn). ⑴若直線的傾斜角為,求證：(為橢圓的離心率)； ⑵若,且,求橢圓的離心率的取值范圍. 點(diǎn)撥：這是一道過(guò)橢圓焦點(diǎn)的直線與橢圓性質(zhì)的有關(guān)問(wèn)題,依據(jù)題給條件, 運(yùn)用三角公式、斜率與傾斜角的關(guān)系以及橢圓離心率知識(shí)可使問(wèn)題⑴獲證；對(duì)于⑵則運(yùn)用平幾性質(zhì)、焦半徑公式及題給條件建立含離心率的不等式,進(jìn)而求出的取值范圍. ⑴解法：∵,∴,即,又, ∴,故. 解法：依題意直線的分別為,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,故. ⑵解：∵,∴.將直線代入橢圓,整理得 ,∴,.∵,∴ ,解不等式,得,∴, 故橢圓的離心率的取值范圍為. 易錯(cuò)點(diǎn)：?jiǎn)栴}⑴中忽視斜率的正負(fù),會(huì)導(dǎo)致的符號(hào)出錯(cuò)；問(wèn)題⑵中不適時(shí)聯(lián)想平幾性質(zhì)，解題思路將受阻. 變式與引申 5.給定拋物線：,過(guò)點(diǎn)斜率為的直線與交于,兩點(diǎn). (Ⅰ)設(shè)線段的中點(diǎn)在直線上,求的值； (Ⅱ)設(shè),,求的取值范圍. 題型四 以圓錐曲線為載體的探索性問(wèn)題 例 已知橢圓：的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn).當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為. ⑴求、的值； ⑵上是否存在點(diǎn),使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立？若存在,求出所有的點(diǎn)的坐標(biāo)與的方程.若不存在,說(shuō)明理由. 點(diǎn)撥：?jiǎn)栴}⑴可先寫(xiě)出的方程,再利用點(diǎn)到的距離和橢圓的離心率求出、的值；問(wèn)題⑵是存在性探索問(wèn)題,可先探索命題成立的充要條件,將向量坐標(biāo)化,再綜合運(yùn)用題給條件,逐步推出滿足題意的是否存在.但需考慮轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)斜率不存在情形. 解：⑴設(shè),當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí),其方程為,點(diǎn)到的距離為, ∴.由,得,. ⑵上存在點(diǎn),使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立.由⑴知的方程為 .設(shè),. ①當(dāng)不垂直軸時(shí),設(shè)的方程為.上的點(diǎn)使成立的充要條件是 的坐標(biāo)為,且,即 .又、在上,∴,,∴ ① 將代入 ,整理得, 于是 ,,.代入①解得,, 此時(shí),于是,即.因此,當(dāng)時(shí),, 的方程為；當(dāng)時(shí),,的方程為. ②當(dāng)垂直于軸時(shí),由知,上不存在點(diǎn),使成立. 綜上,上存在點(diǎn)使成立,此時(shí)的方程為. 在、之間),為坐標(biāo)原點(diǎn). ⑴若,,求的面積； ⑵對(duì)于任意的動(dòng)直線,是否存在常數(shù)，總有？ 圖 若存在,求出的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 本節(jié)主要考查： ⑴知識(shí)點(diǎn)有圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(焦點(diǎn)、離心率、焦點(diǎn)三角形, 焦半徑等)以及這些知識(shí)的綜合應(yīng)用； ⑵以平面向量、三角形、導(dǎo)數(shù)為背景的圓錐曲線的方程問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題、最值問(wèn)題、定值問(wèn)題等相關(guān)的綜合問(wèn)題； ⑶圓錐曲線定義法、待定系數(shù)法、相關(guān)點(diǎn)法、點(diǎn)差法、設(shè)而不求的整體思想以及坐標(biāo)法和“幾何問(wèn)題代數(shù)化” 等解析幾何的基本方法； ⑷數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用以及邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等基本數(shù)學(xué)能力. 點(diǎn)評(píng)： ⑴圓錐曲線是解析幾何的重點(diǎn),也是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容,同時(shí)又是高考的熱點(diǎn)和壓軸點(diǎn)之一,主要考查圓錐曲線的定義(如例)與性質(zhì)(如例)、求圓錐曲線方程(如例)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、以圓錐曲線為載體的探索性問(wèn)題(如例)等. ⑵圓錐曲線的定義,揭示了圓錐曲線存在的條件性質(zhì)、幾何特征與焦點(diǎn)、離心率相關(guān)的問(wèn)題,恰當(dāng)利用圓錐曲線定義和數(shù)形結(jié)合思想解題,可避免繁瑣的推理與運(yùn)算. ⑶求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：①定型——確定是橢圓、拋物線、或雙曲線；②定位——判斷焦點(diǎn)的位置；③定量——建立基本量、、的關(guān)系式,并求其值；④定式——據(jù)、、的值寫(xiě)出圓錐曲線方程. ⑷圓錐曲線的性質(zhì)如范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、離心率、焦半徑、焦點(diǎn)三角形、通徑等都是高考的重點(diǎn)熱點(diǎn).此類(lèi)問(wèn)題,它源于課本,又有拓寬引申、高于課本,是高考試題的題源之一,應(yīng)引起重視,注意掌握好這一類(lèi)問(wèn)題的求解方法與策略.如對(duì)于求離心率的大小或范圍問(wèn)題,只需列出關(guān)于基本量、、的一個(gè)方程(求大小)或找到關(guān)于基本量、、間的不等關(guān)系(求范圍)即可. ⑸求參數(shù)取值范圍是圓錐曲線中的一種常見(jiàn)問(wèn)題,主要有兩種求解方法：一是根據(jù)題給條件建立含參數(shù)的等式后,再分離參數(shù)求其值域；另一是正確列出含參數(shù)的不等式,進(jìn)而求之.其列不等式的思路有：①運(yùn)用判別式或；②點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部(一側(cè))或外部(另一側(cè))；③利用圓錐曲線的幾何意義(如橢圓中等)；④根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊(注意三點(diǎn)共線的情況). ⑹解有關(guān)圓錐曲線與向量結(jié)合的問(wèn)題時(shí),通性通法是向量坐標(biāo)化,將一幾何問(wèn)題變成純代數(shù)問(wèn)題. ⑺探索性問(wèn)題是將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)結(jié)合并賦予新的情境創(chuàng)設(shè)而成的,它要求學(xué)生具有觀察分析問(wèn)題的能力、具有創(chuàng)造性地運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力以及探索精神.解題思路往往是先假設(shè)滿足題意,即從承認(rèn)結(jié)論、變結(jié)論為條件出發(fā),然后通過(guò)歸納,逐步探索待求結(jié)論. 習(xí)題6-2 .已知橢圓中心在原點(diǎn),左、右焦點(diǎn)、在軸上,、是橢圓的長(zhǎng)、短軸端點(diǎn),是橢圓上一點(diǎn),且軸,,則此橢圓的離心率是( ). A. B. C. D. 2.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，交其準(zhǔn)線于C點(diǎn)，若，則直線的斜率為_(kāi)__________． .已知定點(diǎn),,定直線：,不在軸上的動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它到直線的距離的倍.設(shè)點(diǎn)的軌跡為,過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，直線、分別交于點(diǎn)、. ⑴求的方程； ⑵試判斷以線段為直徑的圓是否過(guò)點(diǎn),并說(shuō)明理由. .如圖,已知直線：與拋物線：交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),. ⑴求直線和拋物線的方程； ⑵若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)從到運(yùn)動(dòng)時(shí),求面積的最大值. 【答案】 變式與引申 1. C 提示：如圖6-2-1,點(diǎn)到軸的距離比到準(zhǔn)線的距離(即)少,∴ .而點(diǎn)在拋物線外,∴的最小值為. 2. 提示：由橢圓定義知,又，∴,. 3. 解法一：①當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為, 依題意有,解得. ②當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),同理解得,,不合,舍去. 綜上所求橢圓的方程為. 解法二：設(shè)所求橢圓方程為.依題意有,解得. 故所求橢圓的方程為. 4. 解法一：設(shè),,代入橢圓方程得,,相減得 .∵,,∴.由, 得.∴,.又, ∴.將代入,解得,∴.故橢圓方程為. 解法二：由,得.設(shè),,則, .∴,∴. ① 設(shè),則,,∴,代入①,得,. 故橢圓方程為. 5. 解：(Ⅰ)過(guò)點(diǎn)斜率為的直線為, 將代入方程， 得. ① 設(shè),,則有,. ∵線段的中點(diǎn)在直線上,∴,即,得(此時(shí)①式的判別式大于零). (Ⅱ)由,得,即. 由②,得. ∵,,∴③ 由①、③得,易知,∴,. ∴,又,∴,即,得, 解得或,故的取值范圍是. 6. 解：⑴由題意,直線的方程為.設(shè)點(diǎn),,由,得 ,則,,∴. ⑵設(shè)點(diǎn),則.由、、三點(diǎn)共線得.由得點(diǎn)到軸距 離與到直線：距離相等,即,∴, .把,代入,得, 即,∴,解得.故存在常數(shù),總有. 習(xí)題6-2 . B. 提示：設(shè)橢圓的方程為,則,,,.由 軸,,得,∴,即,解得, ∴,故橢圓的離心率.選B. 2. 提示：過(guò)點(diǎn)B向準(zhǔn)線作垂線,垂足為M，可知，所以直線的斜率為 . 解：⑴設(shè),則,化簡(jiǎn)得. ⑵①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)的方程為,與雙曲線聯(lián)立消去 得 .由題意知且.設(shè),,則, ,. ∵,,∴的方程為,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為,, 同理可得,因此. ②當(dāng)直線與軸垂直時(shí),其方程為,則,,的方程為,∴點(diǎn)的 坐標(biāo)為,,同理可得,因此. 綜上,即,故以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn). .解：⑴由,得.設(shè),,則, .∵, ∴,解得,故直線的方程為,拋物線的方程. ⑵解法一：由,得,∴ .設(shè),∵為定值,∴當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí), 的面積最大.而,又,∴當(dāng)時(shí), .∴當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),面積的最大值為. 解法二：設(shè),依題意,拋物線在點(diǎn)處的切線與平行時(shí),的面積最大.∵, ∴,,.此時(shí)點(diǎn)到直線的距離. 由,得,∴, 故面積的最大值為.