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2019-2020年高考數(shù)學重點難點講解 運用向量法解題教案 舊人教版 平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題. ●難點磁場 (★★★★★)三角形ABC中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)，求：(1)BC邊上的中線 AM的長；(2)∠CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值. ●案例探究 ［例1］如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD. (1)求證：C1C⊥BD. (2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明. 命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力. 知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單. 錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系. 技巧與方法：利用a⊥bab=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可. (1)證明：設(shè)=a, =b,=c,依題意，|a|=|b|，、、中兩兩所成夾角為θ，于是=a－b，=c(a－b)=ca－cb=|c||a|cosθ－|c||b|cosθ=0,∴C1C⊥BD. (2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥DC1， 由 =(a+b+c)(a－c)=|a|2+ab－bc－|c|2=|a|2－|c|2+|b||a|cosθ－|b||c|cosθ=0,得 當|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當|a|=|c|時，A1C⊥BD， ∴=1時，A1C⊥平面C1BD. ［例2］如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點. (1)求的長； (2)求cos<>的值； (3)求證：A1B⊥C1M. 命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐標運算的方法來解決立體幾何問題.屬 ★★★★級題目. 知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系O－xyz,進而找到點的坐標和求出向量的坐標. 錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標. 技巧與方法：可以先找到底面坐標面xOy內(nèi)的A、B、C點坐標，然后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標. (1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O－xyz. 依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1) ∴||=. (2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2). ∴==(0，1，2) =10+(－1)1+22=3 ||= (3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M() ∴ ∴A1B⊥C1M. ●錦囊妙計 1.解決關(guān)于向量問題時，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質(zhì)的認識.二是向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想. 2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題. 3.用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考： (1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？ (4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結(jié)論？ ●殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)設(shè)A、B、C、D四點坐標依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為( ) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四邊形 2.(★★★★)已知△ABC中，=a，=b，ab<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是( ) A.30 B.－150 C.150 D.30或150 二、填空題 3.(★★★★★)將二次函數(shù)y=x2的圖象按向量a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x－5的圖象只有一個公共點(3，1)，則向量a=_________. 4.(★★★★)等腰△ABC和等腰Rt△ABD有公共的底邊AB，它們所在的平面成60角，若AB=16 cm,AC=17 cm,則CD=_________. 三、解答題 5.(★★★★★)如圖，在△ABC中，設(shè)=a， =b， =c, =λa,(0<λ<1), =μb(0<μ<1),試用向量a，b表示c. 6.(★★★★)正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為a,側(cè)棱長為a. (1)建立適當?shù)淖鴺讼?，并寫出A、B、A1、C1的坐標； (2)求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角. 7.(★★★★★)已知兩點M(－1，0)，N(1，0)，且點P使成公差小于零的等差數(shù)列. (1)點P的軌跡是什么曲線？ (2)若點P坐標為(x0,y0),Q為與的夾角，求tanθ. 8.(★★★★★)已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點. (1)用向量法證明E、F、G、H四點共面； (2)用向量法證明：BD∥平面EFGH； (3)設(shè)M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有. 參考答案 難點磁場 解：(1)點M的坐標為xM= D點分的比為2. ∴xD= (3)∠ABC是與的夾角，而=(6，8），=(2，－5）. 殲滅難點訓(xùn)練 一、1.解析： =(1，2）， =(1，2），∴=，∴∥，又線段AB與線段DC無公共點，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又||=， =(5，3），||=，∴||≠|(zhì)},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1）， ∴14+21=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD也不是矩形，故選D. 答案：D 2.解析：∵35sinα得sinα=,則α=30或α=150. 又∵ab＜0,∴α=150. 答案：C 二、3.(2,0) 4.13 cm 三、5.解：∵與共線，∴=m=m(－)=m(μb－a), ∴=+=a+m(μb－a)=(1－m)a+mμb ① 又與共線，∴=n=n(－)=n(λa－b), ∴=+=b+n(λa－b)=nλa+(1－n)b ② 由①②，得(1－m）a+μmb=λna+(1－n)b. ∵a與b不共線，∴ ③ 解方程組③得：m=代入①式得c=(1－m)a+mμb=［λ(1－μ)a+μ(1－λ)b］. 6.解：(1)以點A為坐標原點O，以AB所在直線為Oy軸，以AA1所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABB1A1垂直的直線為Ox軸，建立空間直角坐標系. 由已知，得A(0，0，0），B(0，a,0）,A1(0,0,a),C1(－a). (2)取A1B1的中點M，于是有M(0，a），連AM，MC1，有=(－a,0,0）, 且=(0，a,0）,=(0,0a) 由于=0，=0，所以MC1⊥面ABB1A1，∴AC1與AM所成的角就是AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角. ∵= 所以所成的角，即AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30. 7.解：(1)設(shè)P(x,y）,由M(－1，0），N(1，0）得， =－=(－1－x,－y）, =(1－x,－y), =－=(2,0),∴=2(1+x), =x2+y2－1, =2(1－x).于是，是公差小于零的等差數(shù)列，等價于 所以，點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓. (2)點P的坐標為(x0,y0) 8.證明：(1）連結(jié)BG，則 由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中=） (2）因為. 所以EH∥BD，又EH面EFGH，BD面EFGH 所以BD∥平面EFGH. (3）連OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG 由(2）知，同理，所以，EHFG,所以EG、FH交于一點M且被M平分，所以 .