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2019-2020年八年級數學下冊專題講解+課后訓練：菱形 課后練習及詳解 題一： 如圖，AC是菱形ABCD的對角線，E、F分別是AB、AC的中點，如果EF=3，那么菱形ABCD的周長是 ． 題二： 如圖，菱形花壇ABCD的邊長為6m，∠A=120，其中由兩個正六邊形組成的圖形部分種花，則種花部分圖形的周長為(　　) A．12m B．20m C．22m D．24m 題三： 能判定一個四邊形是菱形的條件是(　　) A．對角線互相平分且相等 B．對角線互相垂直且相等 C．對角線互相垂直且對角相等 D．對角線互相垂直，且一條對角線平分一組對角 題四： 下列給出的條件中，能識別一個四邊形是菱形的是(　　) A．有一組對邊平行且相等，有一個角是直角 B．兩組對邊分別相等，且有一組鄰角相等 C．有一組對邊平行，另一組對邊相等，且對角線互相垂直 D．有一組對邊平行且相等，且有一條對角線平分一個內角 題五： 如圖，菱形ABCD中，DF⊥AB交AC于點E，垂足為F，DE= 4，求BE的長度． 題六： 如圖為正三角形ABC與正方形DEFG的重疊情形，其中D、E兩點分別在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，求點F到AC的距離． 題七： 如圖，順次連接四邊形ABCD各中點得四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為菱形，應添加的條件是(　　) A．AB∥DC B．AB=DC C．AC⊥BD D．AC=BD 題八： 如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點，要使四邊形EFGH是菱形，則四邊形ABCD只需要滿足一個條件，是(　　) A．四邊形ABCD是梯形 B．四邊形ABCD是菱形 C．對角線AC=BD D．AD=BC 題九： 紅絲帶是關注艾滋病防治問題的國際性標志．將寬為1cm的紅絲帶交叉成60角重疊在一起(如圖)，判斷重疊四邊形是什么特殊四邊形？證明你的結論． 題十： 將平行四邊形紙片ABCD按如圖方式折疊，使點C與A重合，點D落到D′處，折痕為EF，連接CF，判斷四邊形AECF是什么特殊四邊形？證明你的結論． 題十一： 如圖所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90．將Rt△ABC繞點C順時針方向旋轉60得到△DEC，點E在AC上，再將Rt△ABC沿著AB所在直線翻轉180得到△ABF，連接AD． 求證：四邊形AFCD是菱形． 題十二： Rt△ABC中，∠ACB=90，過點C的直線m∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線m于E，垂足為F，連接CD、BE． 題十三： (1)求證：CE=AD； 題十四： (2)當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由． 題十五： 我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫做中點四邊形．在學習《中點四邊形》時，小明和小亮產生了很大的意見分歧： 題十六： 小明說：如果一個四邊形的中點四邊形是菱形，則原四邊形一定是矩形； 題十七： 小亮說：如果一個四邊形的中點四邊形是菱形，則原四邊形一定是對角線相等的四邊形，而不一定是矩形． 題十八： (1)你認為誰的觀點錯誤的，請畫圖舉一個反例，并作簡單說明； 題十九： (2)如果該四邊形的對角線互相垂直，則中點四邊形為______； 題二十： (3)如果該四邊形的對角線相等，則中點四邊形為_______； 題二十一： (4)如果該四邊形的對角線互相垂直且相等，則中點四邊形為________． 題二十二： 題二十三： 閱讀材料： 題二十四： 我們經常通過認識一個事物的局部或其特殊類型，來逐步認識這個事物； 題二十五： 比如我們通過學習兩類特殊的四邊形，即平行四邊形和梯形(繼續(xù)學習它們的特殊類型如矩形、等腰梯形等)來逐步認識四邊形； 題二十六： 我們對課本里特殊四邊形的學習，一般先學習圖形的定義，再探索發(fā)現其性質和判定方法，然后通過解決簡單的問題鞏固所學知識； 題二十七： 請解決以下問題： 題二十八： 如圖，我們把滿足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“箏形”； 題二十九： (1)寫出箏形的兩個性質(定義除外)； 題三十： (2)寫出箏形的兩個判定方法(定義除外)，并選出一個進行證明． 菱形 課后練習參考答案 題一： 24． 詳解：∵AC是菱形ABCD的對角線，E、F分別是AB、AC的中點， ∴EF是△ABC的中位線，∴EF=BC=3，∴BC=6， ∴菱形ABCD的周長是46=24． 題二： B． 詳解：連接AC，已知∠A=120，ABCD為菱形，則∠B=60，從而得出△ABC為正三角形，以△ABC的頂點所組成的小三角形也是正三角形，所以正六邊形的邊長是△ABC邊長的，則種花部分圖形共有10條邊，所以它的周長為610=20m，故選B． 題三： C． 詳解：∵對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，∴A、B、D都不正確； ∵對角相等的四邊形是平行四邊形，而對角線互相垂直的四邊形是菱形，∴C正確． 故選C． 題四： D． 詳解：A．錯誤，可判定為矩形，而不一定是菱形； B．錯誤，可判定為矩形，而不一定是菱形； C．錯誤，可判定為等腰梯形，而不是菱形； D．正確，有一組對邊平行且相等可判定為平行四邊形，有一條對角線平分一個內角，則可判定有一組鄰邊相等，而一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形． 故選D． 題五： 4． 詳解：∵ABCD是菱形， ∴AD=AB，∠DAE=∠BAE， 在△ADE和△ABE中， ∵AD=AB，∠DAE=∠BAE，AE=AE， ∴△ADE≌ABE， ∴DE=BE= 4，即BE的長度為4． 題六： 6-6． 詳解：如圖，過點B作BH⊥AC于H，交GF于K， ∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠ABC=60， ∵BD=BE，∴△BDE是等邊三角形， ∴∠BDE=60，∴∠A=∠BDE，∴AC∥DE， ∵四邊形DEFG是正方形，GF=6， ∴DE∥GF，∴AC∥DE∥GF， ∴KH=18-6-6=9-3-6=6-6， ∴F點到AC的距離為6-6． 題七： D． 詳解：連AC，BD，如圖，∵E、F、G、H為四邊形ABCD各中點， ∴EF∥AC，EF=AC，HG∥AC，HG=AC，∴四邊形EFGH為平行四邊形， 要使四邊形EFGH為菱形，則EF=EH，而EH=AC，∴AC=BD． 當AB∥DC和AB=DC，只能判斷四邊形EFGH為平行四邊形，所以A、B選項錯誤； 當AC⊥BD，只能判斷四邊形EFGH為矩形，所以C選項錯誤； 當AC=BD，可判斷四邊形EFGH為菱形，所以D選項正確． 故選D． 題八： D． 詳解：∵在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點， ∴EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，同理，HE∥GF， ∴四邊形EFGH是平行四邊形； A．若四邊形ABCD是梯形時，AD≠CD，則GH≠FE，這與平行四邊形EFGH的對邊GH=FE相矛盾，故本選項錯誤； B．若四邊形ABCD是菱形時，點EFGH四點共線，故本選項錯誤； C．若對角線AC=BD時，四邊形ABCD可能是等腰梯形，證明同A選項，故本選項錯誤； D．當AD=BC時，GH=GF；所以平行四邊形EFGH是菱形，故本選項正確； 故選D． 題九： 菱形． 詳解：如圖，過點A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，因為紅絲帶寬度相同， ∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，∴四邊形ABCD是平行四邊形． ∵S□ABCD=BC ?AE=CD ?AF，又AE=AF，∴BC=CD，∴四邊形ABCD是菱形． 題十： 菱形． 詳解：四邊形AECF是菱形． 證明：由折疊可知：AE=EC，∠AEF=∠CEF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CEF =∠AFE， ∴∠AEF =∠AFE，∴AF=AE， ∵AE=EC，∴AF=EC， 又∵AF∥EC，∴四邊形AECF是平行四邊形， ∵AF=AE，∴平行四邊形AECF是菱形． 題十一： 見詳解． 詳解：Rt△DEC是由Rt△ABC繞C點旋轉60得到， ∴AC=DC，∠ACB=∠ACD=60， ∴△ACD是等邊三角形，∴AD=DC=AC， 又∵Rt△ABF是由Rt△ABC沿AB所在直線翻轉180得到， ∴AC=AF，∠ABF=∠ABC=90， ∵∠ACB=∠ACD=60，∴△AFC是等邊三角形， ∴AF=FC=AC，∴AD=DC=FC=AF， ∴四邊形AFCD是菱形． 題十二： 見詳解． 詳解：(1)證明：∵直線m∥AB，∴∠ECD=∠ADC， 又∵∠ACB=90，DE⊥BC，∴DE∥AC， ∴∠EDC=∠ACD，CD為公共邊，∴△EDC≌△ACD，∴CE=AD； (2)當D在AB中點時，四邊形BECD是菱形． 證明：D是AB中點，由(1)知DE∥AC，∴F為BC中點，即BF=CF， ∵直線m∥AB，∴∠ECF=∠DBF，∠BFD=∠CFE，∴△BFD≌△CFE， ∴DF=EF，已知DE⊥BC，∴BC和DE垂直且互相平分， 故四邊形BECD是菱形． 題十三： 見詳解． 詳解：(1)我認為小明的觀點是錯誤的，反例如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AC=BD， ∵M、Q是AB、AD的中點，∴MQ∥BD，MQ=BD，同理NP∥BD，NP=BD， 可得四邊形MNPQ是平行四邊形，再由MN=PN可得四邊形MNPQ是菱形； (2)∵四邊形的對角線互相垂直，∴它的中點四邊形為矩形； (3)∵四邊形的對角線相等，∴它的中點四邊形為菱形； (4)∵四邊形的對角線互相垂直且相等，∴它的中點四邊形為正方形． 題十四： 見詳解． 詳解：(1)性質1：只有一組對角相等， 性質2：只有一條對角線平分對角； (2)判定方法1：只有一條對角線平分對角的四邊形是箏形， 判定方法2：兩條對角線互相垂直且只有一條被平分的四邊形是箏形， 證明方法1：連接AC，BD， 在△ABC和△ADC中，∠BAC=∠DAC，AC=AC，∠BCA=∠DCA， ∴△ABC≌△ADC，∴AB=AD，CB=CD，易知AC⊥BD， 又∵∠ABD≠∠CBD，∴∠BAC≠∠BCA，AB≠BC， 所以四邊形ABCD是箏形．