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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題52 反證法在證明題中的應(yīng)用黃金解題模板 【高考地位】 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法，在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到，在高考題中也經(jīng)常出現(xiàn)。它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法. 反證法證題的步驟大致分為三步：（1）反設(shè)：作出與求證的結(jié)論相反的假設(shè)；（2）歸謬：由反設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛盾結(jié)果；（3）作出結(jié)論：證明了反設(shè)不能成立，從而證明了所求證的結(jié)論成立.其中，導(dǎo)出矛盾是關(guān)鍵，通常有以下幾種途徑：與已知矛盾，與公理、定理矛盾，與假設(shè)矛盾，自相矛盾等. 【方法點(diǎn)評(píng)】 類型一 證明“至多”或“至少”問題 使用情景：證明“至多”或“至少”問題． 解題模板：第一步 首先假設(shè)命題不成立； 第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾； 第三步 最后得出結(jié)論. 例1. 若{正整數(shù)}，且。求證：或中至少有一個(gè)成立。 【答案】詳見解析. 【變式演練1】(1)已知中至少有一個(gè)小于2。 （2）已知，求證：. 類型二 證明“不可能”問題 使用情景：證明“不可能”問題． 解題模板：第一步 首先假設(shè)命題不成立； 第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾； 第三步 最后得出結(jié)論. 例2.給定實(shí)數(shù)，且，設(shè)函數(shù)，求證：經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于軸． 【答案】詳見解析. 【解析】 試題分析：要證明經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于軸，可以考慮假設(shè)函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)，使得直線平行于軸．然后得出矛盾。 證明：假設(shè)函數(shù)圖象上存在兩點(diǎn)，使得直線平行于軸．設(shè)且．由，得，解得．與已知矛盾．故經(jīng)過這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線不平行于x軸. 【點(diǎn)評(píng)】在證明不可能問題上，必須按“反設(shè)——?dú)w謬——結(jié)論”的步驟進(jìn)行，反證法的難點(diǎn)在于如何從假設(shè)中推出矛盾，從而說明假設(shè)不成立。本題從假設(shè)中推出的結(jié)論是與已知相矛盾。 【變式演練2】（Ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)， ； （Ⅱ）證明： 不可能是同一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng). 類型三 證明“存在性”或“唯一性”問題 使用情景：證明“存在性”或“唯一性”問題． 解題模板：第一步 首先假設(shè)命題不成立； 第二步 然后根據(jù)已知或者規(guī)律推導(dǎo)出矛盾； 第三步 最后得出結(jié)論. 例3.求證：方程的解是唯一的． 【答案】詳見解析. 【解析】 試題分析：可以假設(shè)方程的解有兩個(gè)，然后得出矛盾。 證明：由對(duì)數(shù)的定義易得，是這個(gè)方程的一個(gè)解．假設(shè)這個(gè)方程的解不是唯一的，它還有解，則．，則，即．①由假設(shè)，得，從而：當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，有．③ 顯然，②，③與①都矛盾，這說明假設(shè)不成立．所以原方程的解是唯一的. 【點(diǎn)評(píng)】有關(guān)存在性與唯一性命題的證明問題，可考慮用反證法．“存在”就是“至少有一個(gè)”，其反面是“一個(gè)沒有”，“惟一”就是“有且只有一個(gè)”，其反面是“至少有兩個(gè)”．有時(shí)問題的結(jié)論是以否定形式出現(xiàn)的否定性命題，也可考慮應(yīng)用反證法. 【變式演練3】用反證法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)，首先應(yīng)該做出與命題結(jié)論相反的假設(shè)．否定“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)正確的假設(shè)為（） A．自然數(shù)都是奇數(shù) B．自然數(shù)都是偶數(shù) C．自然數(shù)中至少有兩個(gè)偶數(shù) D．自然數(shù)中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù) 【答案】D 考點(diǎn)：反證法. 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx課標(biāo)II，理7】甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績(jī)。老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)?？春蠹讓?duì)大家說：我還是不知道我的成績(jī)。根據(jù)以上信息，則（ ） A.乙可以知道四人的成績(jī) B.丁可以知道四人的成績(jī) C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D.乙、丁可以知道自己的成績(jī) 【答案】D 【解析】 試題分析：由甲的說法可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲、丁兩人一人優(yōu)秀一人良好， 乙看到丙的結(jié)果則知道自己的結(jié)果與丙的結(jié)果相反， 丁看到甲的結(jié)果則知道自己的結(jié)果與甲的結(jié)果相反， 即乙、丁可以知道自己的成績(jī) 故選D。 【考點(diǎn)】合情推理 【名師點(diǎn)睛】合情推理主要包括歸納推理和類比推理。數(shù)學(xué)研究中，在得到一個(gè)新結(jié)論前，合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為證明提供思路與方向。合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定正確。而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下)。 2. 【xx高考山東文數(shù)】觀察下列等式： ； ； ； ； …… 照此規(guī)律，_________． 【答案】 3. 【xx高考廣東，理8】若空間中個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)的取值（ ） A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 【答案】． 4.【xx山東.理4】 用反證法證明命題“設(shè)為實(shí)數(shù)，則方程至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是（ ） A. 方程沒有實(shí)根 B.方程至多有一個(gè)實(shí)根 C.方程至多有兩個(gè)實(shí)根 D.方程恰好有兩個(gè)實(shí)根 【答案】 【名師點(diǎn)睛】本題考查反證法.解答本題關(guān)鍵是理解反證法的含義，明確至少有一個(gè)的反面是一個(gè)也沒有.本題屬于基礎(chǔ)題，難度較小. 5. 【xx高考北京，理20】已知數(shù)列滿足：，，且． 記集合． （Ⅰ）若，寫出集合的所有元素； （Ⅱ）若集合存在一個(gè)元素是3的倍數(shù)，證明：的所有元素都是3的倍數(shù)； （Ⅲ）求集合的元素個(gè)數(shù)的最大值． 【答案】（1），（2）證明見解析，（3）8 （Ⅲ）由于中的元素都不超過36，由，易得，類似可得，其次中的元素個(gè)數(shù)最多除了前面兩個(gè)數(shù)外，都是4的倍數(shù)，因?yàn)榈诙€(gè)數(shù)必定為偶數(shù)，由的定義可知，第三個(gè)數(shù)及后面的數(shù)必定是4的倍數(shù)，另外，M中的數(shù)除以9的余數(shù),由定義可知， 和除以9的余數(shù)一樣， ①若中有3的倍數(shù)，由（2）知：所有的都是3的倍數(shù)，所以都是3的倍數(shù)，所以除以9的余數(shù)為為3，6，3，6，...... ,或6，3，6，3......，或0，0，0，...... ,而除以9余3且是4的倍數(shù)只有12，除以9余6且是4的倍數(shù)只有24，除以9余0且是4的倍數(shù)只有36，則M中的數(shù)從第三項(xiàng)起最多2項(xiàng)，加上前面兩項(xiàng)，最多4項(xiàng). ②中沒有3的倍數(shù)，則都不是3的倍數(shù)，對(duì)于除以9的余數(shù)只能是1，4，7，2，5，8中的一個(gè)，從起，除以9的余數(shù)是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，...... ,不斷的6項(xiàng)循環(huán)（可能從2，4，8，7或5開始），而除以9的余數(shù)是1，2，4，8，5且是4的倍數(shù)(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M中的項(xiàng)加上前兩項(xiàng)最多8項(xiàng)，則時(shí)，，項(xiàng)數(shù)為8，所以集合的元素個(gè)數(shù)的最大值為8. 考點(diǎn)定位：1.分段函數(shù)形數(shù)列通項(xiàng)公式求值；2.歸納法證明；3.數(shù)列元素分析. 【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的有關(guān)知識(shí)及歸納法證明方法，即考查了數(shù)列（分段形函數(shù)）求值，又考查了歸納法證明和對(duì)數(shù)據(jù)的分析研究，考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推理能力，本題屬于拔高難題，特別是第二、三兩步難度較大，適合選拔優(yōu)秀學(xué)生. 【反饋練習(xí)】 1．【xx陜西名校五校聯(lián)考】某次夏令營(yíng)中途休息期間，3位同學(xué)根據(jù)胡老師的口音對(duì)她是哪個(gè)地方的人進(jìn)行了判斷： 甲說胡老師不是上海人，是福州人； 乙說胡老師不是福州人，是南昌人； 丙說胡老師不是福州人，也不是廣州人. 聽完以上3人的判斷后，胡老師笑著說，你們3人中有1人說的全對(duì)，有1人說對(duì)了一半，另1人說的全不對(duì)，由此可推測(cè)胡老師( ) A. 一定是南昌人 B. 一定是廣州人 C. 一定是福州人 D. 可能是上海人 【答案】D 【解析】若胡老師是南昌人，則甲對(duì)一半，乙全對(duì)，丙全對(duì)；若胡老師是廣州人，則甲全不對(duì)，乙全不對(duì)； 若胡老師是福州人，則甲全對(duì)，乙全錯(cuò)，丙全錯(cuò)；若胡老師是上海人，則甲全錯(cuò)，乙對(duì)一半，丙全對(duì)；故選擇D. 2．【xx廣西南寧摸底聯(lián)考】甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是農(nóng)民，一人是知識(shí)分子.已知：丙的年齡比知識(shí)分子大；甲的年齡和農(nóng)民不同；農(nóng)民的年齡比乙小.根據(jù)以上情況，下列判斷正確的是（ ） A. 甲是工人，乙是知識(shí)分子，丙是農(nóng)民 B. 甲是知識(shí)分子，乙是農(nóng)民，丙是工人 C. 甲是知識(shí)分子，乙是工人，丙是農(nóng)民 D. 甲是農(nóng)民，乙是知識(shí)分子，丙是工人 【答案】C 3．用反證法證明命題：“，若可被整除，那么中至少有一個(gè)能被整除．”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)該是 A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除 C. 不都能被5整除 D. 能被5整除 【答案】B 【解析】由于反證法是命題的否定的一個(gè)運(yùn)用，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證． 命題“，如果可被整除，那么至少有1個(gè)能被5整除．”的否定是“都不能被5整除”，故選B. 4．【xx河北邢臺(tái)市模擬】①已知，求證，用反證法證明時(shí)，可假設(shè)；②設(shè)為實(shí)數(shù)， ，求證與中至少有一個(gè)不小于，用反證法證明時(shí)可假設(shè)，且，以下說法正確的是（ ） A. ①與②的假設(shè)都錯(cuò)誤 B. ①與②的假設(shè)都正確 C. ①的假設(shè)正確，②的假設(shè)錯(cuò)誤 D. ①的假設(shè)錯(cuò)誤，②的假設(shè)正確 【答案】C 【解析】根據(jù)反證法的格式知，①正確；②錯(cuò)誤，②應(yīng)該是與都小于，故選C. 5．設(shè)大于0，則3個(gè)數(shù)的值 A. 至多有一個(gè)不大于 1 B. 都大于1 C. 至少有一個(gè)不大于1 D. 都小于1 【答案】C 6． 已知二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，若，且時(shí)，． （1）證明：是的一個(gè)根； （2）試比較與的大小； （3）證明：． 【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析． 【解析】 試題分析：（1）由的圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴有兩個(gè)不等實(shí)根，得出是的根，在根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，即可證明是的一個(gè)根；（2）利用反證法，假設(shè)假設(shè)，又，得出，得出矛盾，即可得出；（3）由，得， （3）證明：由，得，∴， 又，∴． 二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為， 即，又，∴，∴． 考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式關(guān)系的判定． 7．【xx吉林乾安第七中學(xué)模擬】（1）用分析法證明：當(dāng)， 時(shí)， ； （2）證明：對(duì)任意， ， ， 這個(gè)值至少有一個(gè)不小于. 【解析】（1）要證不等式成立，只需證成立， 即證： 成立， 即證： 成立， 即證： 成立， 因?yàn)樗?，所以原不等式成? （2）假設(shè)這3個(gè)值沒有一個(gè)不小于0， 即 則，（*） 而. 這與（*）矛盾，所以假設(shè)不成立，即原命題成立. 8．設(shè)， ，且.證明： 與不可能同時(shí)成立. 9. 已知是互不相等的實(shí)數(shù)，求證： 由確定的三條拋物線至少有一條與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn). 【解析】假設(shè)三條拋物線都與軸有一個(gè)交點(diǎn)或無交點(diǎn) 則，將上述三個(gè)式子相加得 配方得， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又不全相等 ，這與矛盾 假設(shè)不成立，三條拋物線至少有一條與有兩個(gè)不同的交點(diǎn) .