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2019-2020年九年級數(shù)學下冊一輪復習 第24課時 圖形的變換⑴軸對稱與中心對稱 【基礎(chǔ)知識梳理】 1.軸對稱圖形、軸對稱 如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠 ，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫 . 對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能 ，那么，這兩個圖形成 ，這條直線就是對稱軸。 2.軸對稱的性質(zhì) 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應點所連的線段被對稱軸 。 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應線段 ，對應角 。 3.中心對稱、中心對稱圖形 中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn) ，如果它能與另一個圖形 ，那么這兩個圖形成中心對稱，該點叫做 。 中心對稱圖形：在平面內(nèi)，一個圖形繞某個點旋轉(zhuǎn)180 0，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形 ，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的 。 【基礎(chǔ)診斷】 1、（xx?山東煙臺，第2題3分）下列手機軟件圖標中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　D?。? A． B． C． D． 2、（xx?山東濰坊，第2題3分）下列標志中不是中心對稱圖形的是(C ) 3、（xx?海南）如圖，△ABC與△DEF關(guān)于y軸對稱，已知A（﹣4，6），B（﹣6，2），E（2，1），則點D的坐標為（　?。? 　 A． （﹣4，6） B． （4，6） C． （﹣2，1） D． （6，2） 4、(xx年湖北咸寧9．（3分）)點P（1，﹣2）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為?。ī?，﹣2）?。? 【精典例題】 例1、如圖，在平面直角坐標系中，有A(1，2)，B(3，3)兩點，現(xiàn)另取一點C(a，1) 當a＝ 時，AC＋BC的值最?。? 2) 當a＝ 時，B C﹣AC的值最大． y A 0 B 例3圖 例2如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，） ，△AOB的面積是. （1）求點B的坐標； （2）求過點A、O、B的拋物線的解析式； （3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最??？ 若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由； 【自測訓練】A—基礎(chǔ)訓練 1、 選擇題（每小題有四個選項，只有一個選項是正確的） 1、（xx?甘肅蘭州,第1題4分）在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　A?。? 　 A． B． C． D． 2、（xx山東濟南，第5題，3分）下列圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是 3、（xx濟寧）如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上，當△ABC的周長最小時，點C的坐標是（　?。? 　 A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（0，3） 4、（xx?南寧）如圖所示，把一張長方形紙片對折，折痕為AB，再以AB的中點O為頂點，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以O(shè)為頂點的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（　?。? 　 A． 正三角形 B． 正方形 C． 正五邊形 D． 正六邊形 5、（xx?湖州）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90，點D是BC邊的中點，分別以B、C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑圓弧，兩弧在直線BC上方的交點為P，直線PD交AC于點E，連接BE，則下列結(jié)論：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正確的是（　?。? 　 A．①②③ B． ①②④ C． ①③④ D． ②③④ 6、（xx?四川宜賓，第14題，3分）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，AB=3，BC=4，將△ABC折疊，使點B恰好落在邊AC上，與點B′重合，AE為折痕，則EB′= 1.5 ． 二、填空題 7、如圖，正方形的邊長為，是的中點，是對角線上一動點，則的最小值是　　　　　。 8、（7分）（xx?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90，分別以A、C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，連接MN，與AC、BC分別交于點D、E，連接AE，則： （1）∠ADE=　 ??； （2）AE　=　EC；（填“=”“＞”或“＜”） （3）當AB=3，AC=5時，△ABE的周長=　 ?。? 9、如圖，邊長為2的正方形ABCD的中心在直角坐標系的原點O，AD∥x軸，以O(shè)為頂點且過A、D兩點的拋物線與以O(shè)為頂點且經(jīng)過B、C兩點的拋物線將正方形分割成幾部分，則圖中陰影部份的面積是 第9題圖 10、（xx?無錫，第18題2分）如圖，菱形ABCD中，∠A=60，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE+PF的最小值是　3?。? 三、解答題 11、（xx?江西撫州，第15題，5分） 如圖，△與△關(guān)于直線對稱，請用無刻度的直尺，在下面兩個圖中分別作出直線. 12、（8分）（xx?南寧）如圖，△ABC三個頂點的坐標分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）請畫出△ABC向左平移5個單位長度后得到的△A1B1C1； （2）請畫出△ABC關(guān)于原點對稱的△A2B2C2； （3）在x軸上求作一點P，使△PAB的周小最小，請畫出△PAB，并直接寫出P的坐標． 13、①如圖，∠AOB=45，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點， 求△PQR周長的最小值． ②變式:如圖，∠AOB=45，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，若∠ AOP=30. Q、R分別是OA、OB上的動點，PR+QR的最小值. （3）如圖，在銳角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45，∠BAC的平分線交BC于點D，M、N分別是AD和AB上的動點，則BM+MN的最小值是 ． 14、如圖（a），點A、B在直線的同側(cè)，要在直線上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關(guān)于的對稱點，連接AB′與直線交于點C，則點C即為所求． （1）實踐運用： 如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點A在⊙O上，∠ACD=30，B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為_______. （2）知識拓展： 如圖（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45，∠BAC的平分線交BC于點D，E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程． （3）如圖，已知平面直角坐標系，A，B兩點的坐標分別為A(2，－3），B(4，－1）若 C(a，0)，D(a+3，0)是x軸上的兩個動點，則當a ＝______時，四邊形ABDC的周長最短． B提升訓練 一、選擇題 1、有如下圖形：①函數(shù)的圖形；②函數(shù)的圖像；③一段?。虎芷叫兴? 邊形，其中一定是軸對稱圖形的有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 2、（xx?四川南充，第3題，3分）下列幾何體的主視圖既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（D ?。? 　 A． B． C． D． 3．(xx年湖北荊門) （xx?湖北荊門,第9題3分）如圖，在44的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點稱為格點，左上角陰影部分是一個以格點為頂點的正方形（簡稱格點正方形）．若再作一個格點正方形，并涂上陰影，使這兩個格點正方形無重疊面積，且組成的圖形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，則這個格點正方形的作法共有（　?。? 第8題圖 　 A．2種 B． 3種 C． 4種 D． 5種 4、把等腰沿底邊翻折，得到，那么四邊形( ) D C B A 第4題圖 A. 是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形 B. 是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形 C. 既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形 D. 以上都不正確 5、（xx?山東聊城，第7題，3分）如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關(guān)于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關(guān)于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長為（　A?。? 　 A． 4.5 B． 5.5 C． 6.5 D． 7 二、填空題 6、（xx?山東棗莊，第13題4分）如圖，在正方形方格中，陰影部分是涂黑7個小正方形所形成的圖案，再將方格內(nèi)空白的一個小正方形涂黑，使得到的新圖案成為一個軸對稱圖形的涂法有 3 種． 7、在平面直角坐標系中，先將拋物線關(guān)于軸作軸對稱變換，再將所得的拋物線關(guān)于軸作軸對稱變換，那么經(jīng)兩次變換后所得的新拋物線的解析式為 8、（xx?梅州）如圖，彈性小球從點P（0，3）出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到矩形OABC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到矩形的邊時的點為P1，第2次碰到矩形的邊時的點為P2，…，第n次碰到矩形的邊時的點為Pn，則點P3的坐標是?。?，3）??；點Pxx的坐標是 ． 答案為：（8，3），（5，0） 9、已知點A（1，5），B（3，－1），點M在x軸上，當AM－BM最大時，點M的坐標為　　　　　　. 10、（xx?無錫，第18題2分）如圖，菱形ABCD中，∠A=60，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B上的動點，則PE+PF的最小值是　3?。? 11、（xx?煙臺）如圖，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54，∠BAC的平分線與AB的垂直平分線交于點O，將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，則∠OEC為　108　度． 12、（xx?嘉興）如圖，正方形ABCD的邊長為3，點E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點E出發(fā)沿直線向點F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角．當小球P第一次碰到點E時，小球P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為　6　，小球P所經(jīng)過的路程為　6?。? 13、（xx?青島，第13題3分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60，對角線AC平分∠BCD，E，F(xiàn)分別是底邊AD，BC的中點，連接EF．點P是EF上的任意一點，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為　2?。? 三、解答題 14、（14分）（xx?海南）如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B．已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），點P是第一象限內(nèi)的拋物線上的動點． （1）求此拋物線的解析式； （2）當a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標； （3）若△PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最??？請說明理由． 15、（12分）（xx?呼和浩特）如圖，已知直線l的解析式為y=x﹣1，拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點A（m，0），B（2，0），D（1，）三點． （1）求拋物線的解析式及A點的坐標，并在圖示坐標系中畫出拋物線的大致圖象； （2）已知點 P（x，y）為拋物線在第二象限部分上的一個動點，過點P作PE垂直x軸于點E，延長PE與直線l交于點F，請你將四邊形PAFB的面積S表示為點P的橫坐標x的函數(shù)，并求出S的最大值及S最大時點P的坐標； （3）將（2）中S最大時的點P與點B相連，求證：直線l上的任意一點關(guān)于x軸的對稱點一定在PB所在直線上． 答案： B提升訓練 14、 考點： 二次函數(shù)綜合題． 分析： （1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； （2）首先求出四邊形MEFP面積的表達式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值及點P坐標； （3）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值．如答圖3所示，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）；作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）；連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最小． 解答： 解：（1）∵對稱軸為直線x=2， ∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+k． 將A（﹣1，0），C（0，5）代入得： ，解得， ∴y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5． （2）當a=1時，E（1，0），F(xiàn)（2，0），OE=1，OF=2． 設(shè)P（x，﹣x2+4x+5）， 如答圖2，過點P作PN⊥y軸于點N，則PN=x，ON=﹣x2+4x+5， ∴MN=ON﹣OM=﹣x2+4x+4． S四邊形MEFP=S梯形OFPN﹣S△PMN﹣S△OME =（PN+OF）?ON﹣PN?MN﹣OM?OE =（x+2）（﹣x2+4x+5）﹣x?（﹣x2+4x+4）﹣11 =﹣x2+x+ =﹣（x﹣）2+ ∴當x=時，四邊形MEFP的面積有最大值為，此時點P坐標為（，）． （3）∵M（0，1），C（0，5），△PCM是以點P為頂點的等腰三角形， ∴點P的縱坐標為3． 令y=﹣x2+4x+5=3，解得x=2． ∵點P在第一象限，∴P（2+，3）． 四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，因此只要ME+PF最小，則PMEF的周長將取得最小值． 如答圖3，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），得M1（1，1）； 作點M1關(guān)于x軸的對稱點M2，則M2（1，﹣1）； 連接PM2，與x軸交于F點，此時ME+PF=PM2最?。? 設(shè)直線PM2的解析式為y=mx+n，將P（2+，3），M2（1，﹣1）代入得： ，解得：m=，n=﹣， ∴y=x﹣． 當y=0時，解得x=．∴F（，0）． ∵a+1=，∴a=． ∴a=時，四邊形PMEF周長最?。? 點評： 本題是二次函數(shù)綜合題，第（1）問考查了待定系數(shù)法；第（2）問考查了圖形面積計算以及二次函數(shù)的最值；第（3）問主要考查了軸對稱﹣最短路線的性質(zhì)．試題計算量偏大，注意認真計算． 15、 考點： 二次函數(shù)綜合題． 分析： （1）根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式，再根據(jù)A（m，0）在拋物線上，得到0=﹣m2﹣m+2，解方程即可得到m的值，從而得到A點的坐標； （2）根據(jù)四邊形PAFB的面積S=AB?PF，可得S=﹣（x+2）2+12，根據(jù)函數(shù)的最值可得S的最大值是12，進一步得到點P的坐標為； （3）根據(jù)待定系數(shù)法得到PB所在直線的解析式為y=﹣x+1，設(shè)Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一點，則Q點關(guān)于x軸的對稱點為（a，1﹣a），將（a，1﹣a）代入y=﹣x+1顯然成立，依此即可求解． 解答： 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+2經(jīng)過點B（2，0），D（1，）， ∴， 解得a=﹣，b=﹣， ∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+2， ∵A（m，0）在拋物線上， ∴0=﹣m2﹣m+2， 解得m=﹣4， ∴A點的坐標為（﹣4，0）． 如圖所示： （2）∵直線l的解析式為y=x﹣1， ∴S=AB?PF =6?PF =3（﹣x2﹣x+2+1﹣x） =﹣x2﹣3x+9 =﹣（x+2）2+12， 其中﹣4＜x＜0， ∴S的最大值是12，此時點P的坐標為（﹣2，2）； （3）∵直線PB經(jīng)過點P（﹣2，2），B（2，0）， ∴PB所在直線的解析式為y=﹣x+1， 設(shè)Q（a，a﹣1）是y=x﹣1上的一點， 則Q點關(guān)于x軸的對稱點為（a，1﹣a）， 將（a，1﹣a）代入y=﹣x+1顯然成立， ∴直線l上的任意一點關(guān)于x軸的對稱點一定在PB所在直線上． 點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求拋物線的解析式，待定系數(shù)法求直線的解析式，函數(shù)的最值問題，四邊形的面積求法，以及關(guān)于x軸的對稱點的坐標特征．