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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題六 6.1 直線與圓能力訓(xùn)練 新人教A版 一、選擇題(本大題共7小題,每小題5分,共35分) 1.經(jīng)過(guò)圓x2-2x+y2=0的圓心且與直線x+2y=0平行的直線方程是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.x+2y-1=0 B.x-2y-2=0 C.x-2y+1=0 D.x+2y+2=0 2.(xx浙江寧波期末考試,文3)若過(guò)點(diǎn)A(3,0)的直線l與圓(x-1)2+y2=1有公共點(diǎn),則直線l斜率的取值范圍為(　　) A.[-] B.(-) C. D. 3.點(diǎn)M(a,b)在圓x2+y2=1上,則直線ax+by=1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是(　　) A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定 4.(xx浙江湖州期末測(cè)試)若直線y=kx-1(k∈R)被圓(x-1)2+y2=4所截得的弦為AB,則|AB|的最小值是(　　) A. B.2 C.2 D.4 5.已知圓C:x2+y2=1,點(diǎn)M(t,2),若C上存在兩點(diǎn)A,B滿足,則t的取值范圍是(　　) A.[-2,2] B.[-3,3] C.[-] D.[-5,5] 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的取值范圍是(　　) A.0≤k≤ B.k<0或k> C.≤k≤ D.k≤0或k> 7.已知AC,BD為圓O:x2+y2=4的兩條互相垂直的弦,且垂足為M(1,),則四邊形ABCD面積的最大值為(　　) A.5 B.10 C.15 D.20 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 8.(xx重慶,文12)若點(diǎn)P(1,2)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓上,則該圓在點(diǎn)P處的切線方程為　　　　　. 9.(xx浙江東陽(yáng)5月模擬考試,文9)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3,0)的直線與圓x2+y2+4x-2y+3=0相切,則圓心坐標(biāo)是　　　　　;半徑為　　　　　;切線在y軸上的截距是　　　　　. 10.(xx浙江寧波第二次模擬考試,文12)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b=2c,則直線l:ax-by+c=0恒過(guò)定點(diǎn)　　　　　,該直線被圓x2+y2=9所截得弦長(zhǎng)的取值范圍為　　　　　. 11.(xx浙江杭州地區(qū)七校第三次質(zhì)量檢測(cè),文14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),則k的最大值是　　　　　. 三、解答題(本大題共3小題,共45分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 12.(本小題滿分14分)已知點(diǎn)P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A,B兩點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為M,O為坐標(biāo)原點(diǎn). (1)求M的軌跡方程; (2)當(dāng)|OP|=|OM|時(shí),求l的方程及△POM的面積. 13.(本小題滿分15分)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圓為☉H. (1)若直線l過(guò)點(diǎn)C,且被☉H截得的弦長(zhǎng)為2,求直線l的方程; (2)對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P,若在以點(diǎn)C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),求☉C的半徑r的取值范圍. 14.(本小題滿分16分)已知以點(diǎn)C(t∈R,t≠0)為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O,A,與y軸交于點(diǎn)O,B,其中O為原點(diǎn). (1)求證:△OAB的面積為定值; (2)設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M,N,若OM=ON,求圓C的方程. 專題能力訓(xùn)練14　直線與圓 1.A　解析:設(shè)與直線x+2y=0平行的直線方程是x+2y+c=0(c≠0),將圓x2-2x+y2=0的圓心(1,0)代入得c=-1,故所求方程為x+2y-1=0,應(yīng)選A. 2.C　解析:設(shè)直線l的斜率為k,則直線l的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圓(x-1)2+y2=1的圓心C(1,0),半徑r=1,圓心C到直線l的距離d=,因?yàn)橹本€l與圓(x-1)2+y2=1有公共點(diǎn),所以d≤r,即≤1,解得-≤k≤,所以直線l斜率的取值范圍是.故選C. 3.B　解析:因?yàn)辄c(diǎn)M(a,b)在圓x2+y2=1上,所以a2+b2=1. 又圓x2+y2=1的圓心到直線ax+by=1的距離為=1,所以直線ax+by=1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是相切. 4.B　解析:結(jié)合圓的幾何性質(zhì)求解.因?yàn)橹本€y=kx-1恒過(guò)圓內(nèi)定點(diǎn)(0,-1),所以當(dāng)直線垂直于過(guò)點(diǎn)(0,-1)的直徑時(shí),弦長(zhǎng)|AB|最小,所以|AB|min=2=2.故選B. 5.C　解析: 如圖,設(shè)A(x,y), ∵,∴A為MB的中點(diǎn),∴B(2x-t,2y-2). 又∵A,B均在圓C:x2+y2=1上, ∴ 即 由題意得方程組有解,即等價(jià)于以為圓心,為半徑的圓與圓C有交點(diǎn), ∴1-≤1+?-≤t≤,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-]. 6.A　解析:將圓C的方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x-4)2+y2=1, ∴圓心C(4,0),半徑r=1. ∵直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn), ∴只需圓C:(x-4)2+y2=4與y=kx-2有公共點(diǎn), 即圓心(4,0)到直線y=kx-2的距離d=≤2, 解得0≤k≤.故選A. 7.A　解析: 如圖,作OP⊥AC于P,OQ⊥BD于Q, 則OP2+OQ2=OM2=3, ∴AC2+BD2=4(4-OP2)+4(4-OQ2)=20. 又AC2+BD2≥2ACBD, 則ACBD≤10, ∴S四邊形ABCD=ACBD≤10=5,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BD=時(shí)等號(hào)成立, ∴四邊形ABCD面積的最大值為5. 8.x+2y-5=0　解析:設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O,依題意,切線l與OP垂直,而kOP=2,所以kl=-,于是切線l的方程為y-2=-(x-1),即x+2y-5=0. 9.(-2,1)　　-3　解析:圓的方程可化為(x+2)2+(y-1)2=2,所以其圓心為(-2,1),半徑為,顯然過(guò)點(diǎn)P(-3,0)的直線與圓相切斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+3k,由,解得k=-1,所以切線在y軸上的截距為-3. 10.　[,6]　解析:∵a+b=2c,∴ax-by+c=0?ax-by+=0?a-b=0,直線l:ax-by+c=0恒過(guò)定點(diǎn);當(dāng)圓心與點(diǎn)的連線與直線l垂直時(shí),所截弦最短,此時(shí)弦長(zhǎng)為2,當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)圓心時(shí),所截弦最長(zhǎng),此時(shí)弦長(zhǎng)為6,所以所截得弦長(zhǎng)的取值范圍為[,6]. 11.　解析:圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,整理得(x-4)2+y2=1,即圓C是以(4,0)為圓心,1為半徑的圓.又直線y=kx-2上至少存在一點(diǎn),使得以該點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn),故只需圓C:(x-4)2+y2=1到直線y=kx-2的距離小于等于2即可.設(shè)圓心C(4,0)到直線y=kx-2的距離為d,d=≤2, ∴3k2-4k≤0,∴0≤k≤.∴k的最大值是. 12.解:(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4. 設(shè)M(x,y),則=(x,y-4),=(2-x,2-y). 由題設(shè)知=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部, 所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1,3)為圓心,為半徑的圓. 由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而ON⊥PM. 因?yàn)镺N的斜率為3,所以l的斜率為-,故l的方程為y=-x+. 又|OM|=|OP|=2,O到l的距離為,|PM|=,所以△POM的面積為. 13.解:(1)線段AB的垂直平分線方程為x=0,線段BC的垂直平分線方程為x+y-3=0,所以外接圓圓心為H(0,3),半徑為,☉H的方程為x2+(y-3)2=10. 設(shè)圓心H到直線l的距離為d,因?yàn)橹本€l被☉H截得的弦長(zhǎng)為2,所以d==3. 當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),顯然符合題意,即x=3為所求; 當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí),設(shè)直線方程為y-2=k(x-3),則=3,解得k=,直線方程為4x-3y-6=0. 綜上,直線l的方程為x=3或4x-3y-6=0. (2)直線BH的方程為3x+y-3=0, 設(shè)P(m,n)(0≤m≤1),N(x,y), 因?yàn)辄c(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn), 所以M,又M,N都在半徑為r的☉C上, 所以 即 因?yàn)樵撽P(guān)于x,y的方程組有解,即以(3,2)為圓心,r為半徑的圓與以(6-m,4-n)為圓心,2r為半徑的圓有公共點(diǎn),所以(2r-r)2≤(3-6+m)2+(2-4+n)2≤(r+2r)2, 又3m+n-3=0,所以r2≤10m2-12m+10≤9r2對(duì)?m∈[0,1]成立. 而f(m)=10m2-12m+10在[0,1]上的值域?yàn)?故r2≤且10≤9r2. 又線段BH與圓C無(wú)公共點(diǎn), 所以(m-3)2+(3-3m-2)2>r2對(duì)?m∈[0,1]成立, 即r2<.10m2-12m+10<9r2對(duì)?m∈[0,1]成立,則有r2>. 故☉C的半徑r的取值范圍為. 14.(1)證明:∵圓C過(guò)原點(diǎn)O,∴OC2=t2+.設(shè)圓C的方程是(x-t)2+=t2+,令x=0,得y1=0,y2=;令y=0,得x1=0,x2=2t, ∴S△OAB=OAOB=|2t|=4,即△OAB的面積為定值. (2)解:∵OM=ON,CM=CN,∴OC垂直平分線段MN. ∵kMN=-2,∴kOC=. ∴直線OC的方程是y=x.∴t, 解得t=2或t=-2. 當(dāng)t=2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(2,1),OC=,此時(shí)C到直線y=-2x+4的距離d=,圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn). 當(dāng)t=-2時(shí),圓心C的坐標(biāo)為(-2,-1),此時(shí)C到直線y=-2x+4的距離為. 又OC=,顯然不合題意. 綜上所述,滿足條件的圓C的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.