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2019-2020年高考數(shù)學一輪復習 矩陣與變換 第2講　參數(shù)方程教案 理 新人教版選修4-2 【xx年高考會這樣考】 考查直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程以及簡單的應用問題． 【復習指導】 復習本講時，應緊緊抓住直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程、圓錐曲線的參數(shù)方程的建立以及各參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，同時要熟練掌握參數(shù)方程與普通方程互化的一些方法. 基礎梳理 1．參數(shù)方程的意義 在平面直角坐標系中，如果曲線上的任意一點的坐標x，y都是某個變量的函數(shù)并且對于t的每個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，則該方程叫曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t是參變數(shù)，簡稱參數(shù)．相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標間關系的方程叫做普通方程． 2．常見曲線的參數(shù)方程的一般形式 (1)經(jīng)過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 設P是直線上的任一點，則t表示有向線段的數(shù)量． (2)圓的參數(shù)方程(θ為參數(shù))． (3)圓錐曲線的參數(shù)方程 橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 雙曲線－＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． 拋物線y2＝2px的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 雙基自測 1． 極坐標方程ρ＝cos θ和參數(shù)方程(t為參數(shù))所表示的圖形分別是(　　)． A．直線、直線 B．直線、圓 C．圓、圓 D．圓、直線 解析　∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝代入到ρ＝cos θ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圓． 又∵相加得x＋y＝1，表示直線． 答案　D 2．若直線(t為實數(shù))與直線4x＋ky＝1垂直，則常數(shù)k＝________. 解析　參數(shù)方程所表示的直線方程為3x＋2y＝7，由此直線與直線4x＋ky＝1垂直可得－＝－1，解得k＝－6. 答案　－6 3．二次曲線(θ是參數(shù))的左焦點的坐標是________． 解析　題中二次曲線的普通方程為＋＝1左焦點為(－4,0)． 答案　(－4,0) 4．(xx廣州調(diào)研)已知直線l的參數(shù)方程為：(t為參數(shù))，圓C的極坐標方程為ρ＝2sin θ，則直線l與圓C的位置關系為________． 解析　將直線l的參數(shù)方程：化為普通方程得，y＝1＋2x，圓ρ＝2sin θ的直角坐標方程為x2＋(y－)2＝2，圓心(0，)到直線y＝1＋2x的距離為，因為該距離小于圓的半徑，所以直線l與圓C相交． 答案　相交 5．(xx廣東)已知兩曲線參數(shù)方程分別為(0≤θ＜π)和(t∈R)，它們的交點坐標為________． 解析　由(0≤θ＜π)得，＋y2＝1(y≥0)由(t∈R)得，x＝y(tǒng)2，∴5y4＋16y2－16＝0. 解得：y2＝或y2＝－4(舍去)． 則x＝y(tǒng)2＝1又θ≥0，得交點坐標為. 答案　 考向一　參數(shù)方程與普通方程的互化 【例1】?把下列參數(shù)方程化為普通方程： (1)　(2) [審題視點] (1)利用平方關系消參數(shù)θ； (2)代入消元法消去t. 解　(1)由已知由三角恒等式cos2 θ＋sin2θ＝1, 可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，這就是它的普通方程． (2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋t中， 得y＝5＋(2x－2)，即x－y＋5－＝0就是它的普通方程． 參數(shù)方程化為普通方程：化參數(shù)方程為普通方程的基本思路是消去參數(shù)，常用的消參方法有代入消去法、加減消去法、恒等式(三角的或代數(shù)的)消去法，參數(shù)方程通過代入消元或加減消元消去參數(shù)化為普通方程，不要忘了參數(shù)的范圍． 【訓練1】 (xx陜西)參數(shù)方程(α為參數(shù))化成普通方程為________． 解析　由得 ①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1. 答案　x2＋(y－1)2＝1 考向二　直線與圓的參數(shù)方程的應用 【例2】?已知圓C：(θ為參數(shù))和直線l：(其中t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角)． (1)當α＝時，求圓上的點到直線l距離的最小值； (2)當直線l與圓C有公共點時，求α的取值范圍． [審題視點] (1)求圓心到直線l的距離，這個距離減去圓的半徑即為所求；(2)把圓的參數(shù)方程化為直角坐標方程，將直線的參數(shù)方程代入得關于參數(shù)t的一元二次方程，這個方程的Δ≥0. 解　(1)當α＝時，直線l的直角坐標方程為x＋y－3＝0，圓C的圓心坐標為(1,0)，圓心到直線的距離d＝＝，圓的半徑為1，故圓上的點到直線l距離的最小值為－1. (2)圓C的直角坐標方程為(x－1)2＋y2＝1，將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，得t2＋2(cos α＋sin α)t＋3＝0，這個關于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋sin α)2－12≥0，則sin2≥，即sin≥或sin ≤－.又0≤α＜π，故只能sin≥，即≤α＋≤，即≤α≤. 如果問題中的方程都是參數(shù)方程，那就要至少把其中的一個化為直角坐標方程． 【訓練2】 已知直線l的參數(shù)方程為(參數(shù)t∈R)，圓C的參數(shù)方程為(參數(shù)θ∈[0,2π])，求直線l被圓C所截得的弦長． 解　由消參數(shù)后得普通方程為2x＋y－6＝0， 由消參數(shù)后得普通方程為(x－2)2＋y2＝4，顯然圓心坐標為(2,0)，半徑為2.由于圓心到直線2x＋y－6＝0的距離為d＝＝， 所以所求弦長為2 ＝. 考向三　圓錐曲線的參數(shù)方程的應用 【例3】?求經(jīng)過點(1,1)，傾斜角為135的直線截橢圓＋y2＝1所得的弦長． [審題視點] 把直線方程用參數(shù)表示，直接與橢圓聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系及弦長公式可解決． 解　由條件可知直線的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，代入橢圓方程可得＋2＝1， 即t2＋3t＋1＝0.設方程的兩實根分別為t1、t2，則由二次方程的根與系數(shù)的關系可得則直線截橢圓的弦長是|t1－t2|＝＝ ＝ . 普通方程化為參數(shù)方程：化普通方程為參數(shù)方程的基本思路是引入?yún)?shù)，即選定合適的參數(shù)t，先確定一個關系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一關系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常選擇的參數(shù)有角、有向線段的數(shù)量、斜率，某一點的橫坐標(或縱坐標)．普通方程化為參數(shù)方程需要引入?yún)?shù)，選擇的參數(shù)不同，所得的參數(shù)方程也不一樣． 【訓練3】 (xx南京模擬)過點P(－3,0)且傾斜角為30的直線和曲線(t為參數(shù))相交于A、B兩點，求線段AB的長． 解　直線的參數(shù)方程為(s為參數(shù))， 又曲線(t為參數(shù))可以化為x2－y2＝4，將直線的參數(shù)方程代入上式，得s2－6s＋10＝0， 設A、B對應的參數(shù)分別為s1，s2.∴s1＋s2＝6，s1s2＝10.∴|AB|＝|s1－s2|＝＝2. 如何解決極坐標方程與參數(shù)方程的綜合問題 從近兩年的新課標高考試題可以看出，對參數(shù)方程的考查重點是直線的參數(shù)方程、圓的參數(shù)方程和圓錐曲線的參數(shù)方程的簡單應用，特別是利用參數(shù)方程解決弦長和最值等問題，題型為填空題和解答題． 【示例】? (本題滿分10分)(xx新課標全國)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))． M是C1上的動點，P點滿足＝2，P點的軌跡為曲線C2. (1)求C2的方程； (2)在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線θ＝與C1的異于極點的交點為A，與C2的異于極點的交點為B，求|AB|. 第(1)問：利用代入法；第(2)問把曲線C1、曲線C2均用極坐標表示，再求射線θ＝與曲線C1、C2的交點A、B的極徑即可． [解答示范] (1)設P(x，y)，則由條件知M. 由于M點在C1上，所以即 從而C2的參數(shù)方程為(α為參數(shù))．(5分) (2)曲線C1的極坐標方程為ρ＝4sin θ，曲線C2的極坐標方程為ρ＝8sin θ. 射線θ＝與C1的交點A的極徑為ρ1＝4sin ， 射線θ＝與C2的交點B的極徑為ρ2＝8sin . 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.(10分) 很多自主命題的省份在選考坐標系與參數(shù)方程中的命題多以綜合題的形式命題，而且通常將極坐標方程、參數(shù)方程相結(jié)合，以考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸的能力． 【試一試】 (xx江蘇)在平面直角坐標系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程． [嘗試解答]　由題設知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3，從 而c＝＝4，所以右焦點為(4,0)．將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x－2y＋2＝0.故所求直線的斜率為，因此其方程為y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.