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2019-2020年高考數(shù)學(xué) 專題51 二項(xiàng)式定理常見的解題策略黃金解題模板 【高考地位】 二項(xiàng)式定理有關(guān)問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要知識點(diǎn)，在歷年的高考中幾乎每年都有涉及. 因此掌握二項(xiàng)式定理問題的常見題型及其解題策略是十分必要的. 其考試題型主要有：求展開式中指定的項(xiàng)、求展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)、求展開式中的系數(shù)和等，其難度不會太大，但題型可能較靈活．在高考中通常是以易題出現(xiàn)，主要以選擇題、填空題和解答題的形式考查，其試題難度屬中檔題. 【方法點(diǎn)評】 類型一 求展開式中指定的項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù) 使用情景：求展開式中指定的項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù) 解題模板：第一步 首先求出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)； 第二步 根據(jù)已知求出展開式中指定的項(xiàng)或某一項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)； 第三步 得出結(jié)論. 例1. 展開式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（ ） A．6 B．-6 C．24 D．-24 【答案】A 【變式演練1】二項(xiàng)式展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：，所以由得系數(shù)為 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理 【方法點(diǎn)睛】求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可. (2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù). 【變式演練2】的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為20，則實(shí)數(shù) ． 【答案】 【解析】 試題分析：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，解得，故展開式中項(xiàng)的系數(shù)為，解得. 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理． 【變式演練3】求的展開式中的系數(shù). 【答案】． 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理． 類型二 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)系數(shù)和 使用情景：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)系數(shù)和 解題模板：第一步 觀察題意特征，合理地使用賦值法； 第二步 區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與展開式中項(xiàng)的系數(shù)，靈活利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)； 第三步 得出結(jié)論. 例2 【xx河北衡水模擬】若的展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為， 的系數(shù)為，則為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 故選 【變式演練4】在的展開式中，各二項(xiàng)式系數(shù)的和為128，則常數(shù)項(xiàng)是__________． 【答案】14. 考點(diǎn)：1、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用. 類型三 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 使用情景：使用二項(xiàng)式定理處理整除問題 解題模板：第一步 通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與余數(shù)密切相關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式； 第二步 再用二項(xiàng)式定理展開，但要注意兩點(diǎn)：一是余數(shù)的范圍，a＝cr＋b，其中余數(shù)b∈[0， r)，r是除數(shù)，切記余數(shù)不能為負(fù)，二是二項(xiàng)式定理的逆用．； 第三步 得出結(jié)論. 例3 .設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝( ) A．0 B．1 C．11 D．12 【答案】D. 【解析】 點(diǎn)評：在使用二項(xiàng)式定理展開，但要注意兩點(diǎn)：一是余數(shù)的范圍，a＝cr＋b，其中余數(shù)b∈[0，r)，r是除數(shù)，切記余數(shù)不能為負(fù)，二是二項(xiàng)式定理的逆用． 【變式演練5】S＝C＋C＋…＋C除以9的余數(shù)為________． 【答案】7. 【解析】 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理． 【高考再現(xiàn)】 1. 【xx課標(biāo)1，理6】展開式中的系數(shù)為 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】C 【解析】 試題分析：因?yàn)椋瑒t展開式中含的項(xiàng)為，展開式中含的項(xiàng)為，故前系數(shù)為，選C. 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】對于兩個二項(xiàng)式乘積的問題，第一個二項(xiàng)式中的每項(xiàng)乘以第二個二項(xiàng)式的每項(xiàng)，分析好的項(xiàng)共有幾項(xiàng)，進(jìn)行加和.這類問題的易錯點(diǎn)主要是未能分析清楚構(gòu)成這一項(xiàng)的具體情況，尤其是兩個二項(xiàng)式展開式中的不同. 2．【xx課標(biāo)3，理4】的展開式中33的系數(shù)為 A． B． C．40 D．80 【答案】C 3.【xx浙江，13】已知多項(xiàng)式32=，則=________，=________． 【答案】16，4 【解析】 試題分析：由二項(xiàng)式展開式可得通項(xiàng)公式為：，分別取和可得，令可得 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)與系數(shù)，屬于簡單題． 二項(xiàng)展開式定理的問題也是高考命題熱點(diǎn)之一，關(guān)于二項(xiàng)式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式；（可以考查某一項(xiàng)，也可考查某一項(xiàng)的系數(shù)）（2）考查各項(xiàng)系數(shù)和和各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；（3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用． 4.【xx山東，理11】已知的展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)是，則 . 【答案】 【解析】試題分析：由二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，令得：，解得． 【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，確定二項(xiàng)式系數(shù)或確定二項(xiàng)展開式中的指定項(xiàng)，是二項(xiàng)式定理問題中的基本問題，往往要綜合運(yùn)用二項(xiàng)展開式的系數(shù)的性質(zhì)、二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)求解. 本題能較好地考查考生的思維能力、基本計算能力等. 5.【xx年高考四川理數(shù)】設(shè)i為虛數(shù)單位，則的展開式中含x4的項(xiàng)為 （A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4 【答案】A 6. 【xx年高考北京理數(shù)】在的展開式中，的系數(shù)為__________________.（用數(shù)字作答） 【答案】60. 【解析】 試題分析：根據(jù)二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式可知，的系數(shù)為，故填：. 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理. 【名師點(diǎn)睛】1.所謂二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)，是指展開式中的某一項(xiàng)，如第項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)、字母指數(shù)為某些特殊值的項(xiàng).求解時，先準(zhǔn)確寫出通項(xiàng)，再把系數(shù)與字母分離出來(注意符號)，根據(jù)題目中所指定的字母的指數(shù)所具有的特征，列出方程或不等式來求解即可；2、求有理項(xiàng)時要注意運(yùn)用整除的性質(zhì)，同時應(yīng)注意結(jié)合的范圍分析. 7. 【xx高考新課標(biāo)1卷】的展開式中,x3的系數(shù)是 .（用數(shù)字填寫答案） 【答案】 考點(diǎn):二項(xiàng)式定理 8 【xx高考天津理數(shù)】的展開式中x2的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答) 【答案】 【解析】 試題分析：展開式通項(xiàng)為，令，，所以的．故答案為． 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理 9. 【xx高考山東理數(shù)】若（ax2+）5的展開式中x5的系數(shù)是—80，則實(shí)數(shù)a=_______. 【答案】-2 【解析】 試題分析：因?yàn)?，所以由，因? 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理 【名師點(diǎn)睛】本題是二項(xiàng)式定理問題中的常見題型，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，往往是考試的重點(diǎn).本題難度不大，易于得分.能較好的考查考生的基本運(yùn)算能力等. 10.【xx高考天津，理12】在 的展開式中，的系數(shù)為 . 【答案】 【反饋練習(xí)】 1．【xx廣西桂梧高中聯(lián)考】的展開式的第4項(xiàng)的系數(shù)為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題意可得的展開式的第4項(xiàng)為，選A. 2. 【xx陜西西安長安區(qū)聯(lián)考】若，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 A. 8 B. 16 C. 24 D. 60 【答案】C 【解析】∵∴的通項(xiàng)公式為 令，即 ∴二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)是，故選C 3. 【xx東北名校聯(lián)考】若，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，可知都小于．則．在原二項(xiàng)展開式中令，可得．故本題答案選． 4．【xx陜西兩校聯(lián)考】的展開式中的系數(shù)是（ ） A. 56 B. 84 C. 112 D. 168 【答案】D 【解析】根據(jù)和的展開式的通項(xiàng)公式可得， 的系數(shù)為,故選D. 5．【xx廣西南寧摸底聯(lián)考】的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（ ） A. 80 B. C. D. 48 【答案】B 【解析】由題意可得，令r=1,所以的系數(shù)為-80.選B. 6．【xx云南昆明一中摸底】二項(xiàng)式展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 7．【xx廣西柳州摸底聯(lián)考】的展開式中， 的系數(shù)為（ ） A. 60 B. C. 240 D. 【答案】C 【解析】，選C. 8．【江西省新余市xx屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題】展開式中除常數(shù)項(xiàng)外的其余項(xiàng)的系數(shù)之和為 . 【答案】 考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理. 9．【xx廣西南寧八中摸底】在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ） A. 60 B. 160 C. 180 D. 240 【答案】D 【解析】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為 ，令，所以含的項(xiàng)的系數(shù)是，故選D 10．【xx陜西名校五校聯(lián)考】的展開式中常數(shù)項(xiàng)為( ) A. B. C. D. 25 【答案】C 【解析】 的通項(xiàng)為， ，根據(jù)式子可知當(dāng) 或 時有常數(shù)項(xiàng)，令 ; 令;故所求常數(shù)項(xiàng)為 ，故選C. 11．【xx江西新余一中二?！吭诙?xiàng)式的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為，且，則展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 12．【xx四川德陽三校聯(lián)考】已知,則___________. 【答案】 【解析】含的項(xiàng)的系數(shù)為，故填. 13. 【xx福建四校聯(lián)考】在的二項(xiàng)展開式中， 的項(xiàng)的系數(shù)是_______.（用數(shù)字作答） 【答案】70 【解析】根據(jù)二項(xiàng)式定理, 的通項(xiàng)為， 當(dāng)時,即r=4時,可得. 即項(xiàng)的系數(shù)為70. 14. 【xx黑龍江齊齊哈爾一?！吭诘恼归_式中，常數(shù)項(xiàng)是__________． 【答案】 【解析】第一個括號取，第二個括號為 ∴常數(shù)項(xiàng)是 故答案為： 15. 【xx江西宜春六校聯(lián)考】若，且，則的值為__________． 【答案】1 16. 【xx山西山大附中四調(diào)】 ，則__________． 【答案】28 【解析】令 ，則， 設(shè)的展開式含有項(xiàng)， ，令 ， ，所以. 17. 【xx遼寧凌源三校聯(lián)考】在的展開式中，含項(xiàng)的為， 的展開式中含項(xiàng)的為，則的最大值為__________. 【答案】 【解析】展開式的通項(xiàng)公式為： ， 令可得： ，則，