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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第10章 概率學(xué)案 文 新人教版 一、隨機(jī)事件及其概率 1．事件的分類 2．頻率與概率 (1)在相同的條件下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來(lái)估計(jì)概率P(A)． 【拓展延伸】　頻率與概率的區(qū)別 頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別，不可混為一談．頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個(gè)常數(shù)，它是頻率的科學(xué)抽象．當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就可以近似地當(dāng)作隨機(jī)事件的概率． 二、事件的關(guān)系與運(yùn)算 名稱 定義 符號(hào)表示 包含關(guān)系 如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B) B?A (或A?B) 相等關(guān)系 若B?A，且A?B，那么稱事件A與事件B相等 A＝B 并事件 (和事件) 某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事件(積事件) 某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) A∩B(或AB) 互斥事件 若A∩B為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥 A∩B＝? 對(duì)立事件 若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件 【拓展延伸】　1.并(和)事件的三層含義 ①事件A發(fā)生，事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生，事件B發(fā)生；③事件A，B都發(fā)生．即事件A，B至少有一個(gè)發(fā)生． 2．互斥事件的三種情形 ①事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；③事件A與事件B都不發(fā)生． 三、概率的幾個(gè)基本性質(zhì) 1．概率的取值范圍：0≤P(A)≤1. 2．必然事件的概率：P(E)＝1. 3．不可能事件的概率：P(F)＝0. 4．概率的加法公式： 如果事件A與事件B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 5．對(duì)立事件的概率： 若事件A與事件B互為對(duì)立事件，則P(A)＝1－P(B)． 【拓展延伸】　概率加法公式的推廣 1．當(dāng)一個(gè)事件包含多個(gè)結(jié)果時(shí)要用到概率加法公式的推廣，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 2．P()＝1－P(A1∪A2∪…∪An)＝1－P(A1)－P(A2)－…－P(An)． 注意涉及的各事件要彼此互斥． [基礎(chǔ)能力提升] 1．下列說(shuō)法正確的是(　　) ①事件發(fā)生的頻率與概率是相同的； ②隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事； ③在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值； ④兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生． A．①②　　　B．③④　　　C．②③　　　D．①④ 【解析】　由概率與頻率的關(guān)系可知①錯(cuò)誤，③正確，因?yàn)殡S機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件不同，故②錯(cuò)誤，所以選B. 【答案】　B 2．一個(gè)人做擲骰子(均勻的正方體形狀的骰子)游戲，在他連續(xù)擲5次都擲出奇數(shù)點(diǎn)朝上的情況下，擲第6次，奇數(shù)點(diǎn)朝上的概率是(　　) A. B． C. D. 【解析】　由于每次試驗(yàn)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果是等可能的，故擲第6次，奇數(shù)點(diǎn)朝上的概率為. 【答案】　A 3．袋中裝有3個(gè)白球，4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，則①恰有1個(gè)白球和全是白球；②至少有1個(gè)白球和全是黑球；③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球．在上述事件中，是對(duì)立事件的為(　　) A．①　　　　 B．②　　　　 C．③　　　　 D．④ 【解析】　至少有1個(gè)白球和全是黑球不同時(shí)發(fā)生，且一定有一個(gè)發(fā)生． ∴②中兩事件是對(duì)立事件． 【答案】　B 4．從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為(　　) A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.5 【解析】　“抽到的不是一等品”與事件A是對(duì)立事件， ∴所求概率P＝1－P(A)＝0.35. 【答案】　C 1．一個(gè)技巧——從集合角度理解互斥和對(duì)立事件 從集合的角度看，幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的，集合彼此的交集為空集，事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集． 2．兩種方法——解決互斥事件的概率 (1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的求和公式計(jì)算． (2)間接法：先求此事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()求解，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)． (文)第二節(jié)　古典概型 [基礎(chǔ)知識(shí)深耕] 一、基本事件的特點(diǎn) 1．任何兩個(gè)基本事件是互斥的． 2．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 【方法技巧】　古典概型中基本事件的探求方法 (1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的． (2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本事件的探求，注意在確定基本事件時(shí)(x，y)可以看成是有序的，如(1,2)與(2,1)不同．有時(shí)也可以看成是無(wú)序的，如(1,2)(2,1)相同． 二、古典概型 1．定義 具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型． 2．古典概型的概率公式 P(A)＝. 【方法技巧】　巧用集合中的元素個(gè)數(shù)求古典概型的概率 從集合的角度去看待概率，在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)果組成一個(gè)集合I，基本事件的個(gè)數(shù)n就是集合I的元素個(gè)數(shù)，事件A是集合I的一個(gè)包含m個(gè)元素的子集．故P(A)＝＝. [基礎(chǔ)能力提升] 1．下面關(guān)于古典概型的說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①我們所說(shuō)的試驗(yàn)都是古典概型； ②“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”； ③擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件； ④從市場(chǎng)上出售的標(biāo)準(zhǔn)為5005 g的袋裝食鹽中任取一袋，測(cè)其重量，屬于古典概型． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 【解析】　依據(jù)“有限性和等可能性”可知①②③④均錯(cuò)誤． 【答案】　A 2．一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩，則所有可能的基本事件有 (　　) A．(男，女)，(男，男)，(女，女) B．(男，女)，(女，男) C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女) D．(男，男)，(女，女) 【解析】　由基本事件的特點(diǎn)可知，該問(wèn)題的所有可能基本事件為(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)． 【答案】　C 3．甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是(　　) A. B． C. D. 【解析】　甲、乙、丙三名同學(xué)站成一排，有6個(gè)基本事件，其中甲站在中間的基本事件有2個(gè)，故所求概率為P＝＝. 【答案】　C 4．從1,2,3,4這四個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的兩倍的概率是________． 【解析】　從1,2,3,4中隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，不同的結(jié)果為{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共有6個(gè)基本事件．滿足一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)兩倍的取法有{1,2}，{2,4}共兩種，∴所求事件的概率P＝＝. 【答案】　 1．一個(gè)判斷標(biāo)準(zhǔn)——古典概型的判斷 試驗(yàn)結(jié)果有限且等可能． 2．兩種常用方法——古典概型計(jì)數(shù)法 (1)列舉法；(2)樹(shù)狀圖法． 第三節(jié)　幾何概型 [基礎(chǔ)知識(shí)深耕] 一、幾何概型 1．定義 如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型． 2．特點(diǎn) (1)無(wú)限性：試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無(wú)限多個(gè)； (2)等可能性：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果發(fā)生的可能性是均等的 【拓展延伸】　古典概型與幾何概型的異同點(diǎn) 幾何概型是與古典概型最為接近的一種概率模型，兩者的共同點(diǎn)是基本事件是等可能的，不同點(diǎn)是基本事件數(shù)一個(gè)是有限的，一個(gè)是無(wú)限的，基本事件可以抽象為點(diǎn)．對(duì)于幾何概型，這些點(diǎn)盡管是無(wú)限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域是有限的，根據(jù)等可能性，這個(gè)點(diǎn)落在區(qū)域的概率與該區(qū)域的幾何度量成正比，而與該區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān)． 二、幾何概型的概率公式 　P(A)＝. 【拓展延伸】　在幾何概型中，如果A是隨機(jī)事件， (1)若A是不可能事件，則P(A)＝0肯定成立；如果隨機(jī)事件所在的區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn)，由于單點(diǎn)的長(zhǎng)度、面積和體積都是0，則它出現(xiàn)的概率為0，顯然它不是不可能事件，因此由P(A)＝0不能推出A是不可能事件． (2)若A是必然事件，則P(A)＝1肯定成立；如果一個(gè)隨機(jī)事件所在的區(qū)域是從全部區(qū)域中扣除一個(gè)單點(diǎn)，則它出現(xiàn)的概率是1，但它不是必然事件，因此由P(A)＝1不能推出A是必然事件． [基礎(chǔ)能力提升] 1．下列說(shuō)法正確的是(　　) ①在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零． ②幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等． ③在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形． ④隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率． A．①② B．②③ C．③④ D．①②③④ 【解析】　由幾何概型的特征可知①②③④均正確． 【答案】　D 2．某路公共汽車每5分鐘發(fā)車一次，某乘客到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他候車時(shí)間不超過(guò)2分鐘的概率是(　　) A.　　　 　B.　　　 　C.　　 　　D. 【解析】　試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為5，所求事件的區(qū)域長(zhǎng)度為2，故所求概率為P＝. 【答案】　C 圖1031 3．如圖1031，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)．若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　) A. B． C. D. 【解析】　“點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部”記為事件M，由幾何概型得P(M)＝＝＝. 【答案】　C 4．如圖1032所示，矩形長(zhǎng)為6，寬為4，在矩形內(nèi)隨機(jī)地撤300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計(jì)橢圓的面積為_(kāi)_______． 圖1032 【解析】　由幾何概型得＝， 即S橢圓＝16.32. 【答案】　16.32 1．一個(gè)區(qū)別——古典概型同幾何概型的區(qū)別 區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個(gè)數(shù)是有限個(gè)還是無(wú)限多個(gè)． 2．三種轉(zhuǎn)化——長(zhǎng)度型、面積型及體積型幾何概型 (1)一般地，一個(gè)連續(xù)變量可建立與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型，只需把這個(gè)變量放在坐標(biāo)軸上即可； (2)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用兩個(gè)變量來(lái)描述，則可用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來(lái)表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型； (3)若一個(gè)隨機(jī)事件需要用三個(gè)連續(xù)變量來(lái)描述，則可用這三個(gè)變量組成的有序數(shù)組來(lái)表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型．