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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí) 增分策略 第四篇 第3講 三角函數(shù)、解三角形、平面向量 1．α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等． 任意角的三角函數(shù)的定義：設(shè)α是任意一個(gè)角，P(x，y)是α的終邊上的任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，它與原點(diǎn)的距離是r＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)． [問題1]　已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，－4)，則sin α＋cos α的值為________． 2．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式 (1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關(guān)系：tan α＝. (3)誘導(dǎo)公式記憶口訣：奇變偶不變、符號(hào)看象限 角 －α π－α π＋α 2π－α －α 正弦 －sin α sin α －sin α －sin α cos α 余弦 cos α －cos α －cos α cos α sin α 3．三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) (1)五點(diǎn)法作圖； (2)對(duì)稱軸：y＝sin x，x＝kπ＋，k∈Z；y＝cos x，x＝kπ，k∈Z； 對(duì)稱中心：y＝sin x，(kπ，0)，k∈Z；y＝cos x，，k∈Z；y＝tan x，，k∈Z. (3)單調(diào)區(qū)間： y＝sin x的增區(qū)間： (k∈Z)， 減區(qū)間： (k∈Z)； y＝cos x的增區(qū)間： (k∈Z)， 減區(qū)間：[2kπ，π＋2kπ] (k∈Z)； y＝tan x的增區(qū)間： (k∈Z)． (4)周期性與奇偶性： y＝sin x的最小正周期為2π，為奇函數(shù)；y＝cos x的最小正周期為2π，為偶函數(shù)；y＝tan x的最小正周期為π，為奇函數(shù)． 易錯(cuò)警示：求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，容易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤： (1)不注意ω的符號(hào)，把單調(diào)性弄反，或把區(qū)間左右的值弄反； (2)忘掉寫＋2kπ，或＋kπ等，忘掉寫k∈Z； (3)書寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，錯(cuò)把弧度和角度混在一起．如[0,90]應(yīng)寫為. [問題3]　函數(shù)y＝sin的遞減區(qū)間是________________． 4．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 sin(αβ)＝sin αcos βcos αsin βsin 2α＝2sin αcos α. cos(αβ)＝cos αcos β?sin αsin βcos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. tan(αβ)＝. cos2α＝，sin2α＝，tan 2α＝. 在三角的恒等變形中，注意常見的拆角、拼角技巧，如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝[(α＋β)＋(α－β)]． α＋＝(α＋β)－，α＝－. [問題4]　已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，則cos＝________. 5．解三角形 (1)正弦定理：＝＝＝2R(R為三角形外接圓的半徑)．注意：①正弦定理的一些變式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(ⅲ)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②已知三角形兩邊及一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進(jìn)行取舍．在△ABC中A>B?sin A>sin B. (2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝等，常選用余弦定理判定三角形的形狀． [問題5]　在△ABC中，a＝，b＝，A＝60，則B＝________. 6．向量的平行與垂直 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且b≠0，則a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0. a⊥b (a≠0)?ab＝0?x1x2＋y1y2＝0. 0看成與任意向量平行，特別在書寫時(shí)要注意，否則有質(zhì)的不同． [問題6]　下列四個(gè)命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|；④若a＝0，則－a＝0.其中正確命題是________． 7．向量的數(shù)量積 |a|2＝a2＝aa， ab＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2， cos θ＝＝， a在b上的投影＝|a|cos〈a，b〉＝＝. 注意：〈a，b〉為銳角?ab>0且a、b不同向； 〈a，b〉為直角?ab＝0且a、b≠0； 〈a，b〉為鈍角?ab<0且a、b不反向． 易錯(cuò)警示：投影不是“影”，投影是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零． [問題7]　已知|a|＝3，|b|＝5，且ab＝12，則向量a在向量b上的投影為________． 8．當(dāng)ab＝0時(shí)，不一定得到a⊥b，當(dāng)a⊥b時(shí)，ab＝0；ab＝cb，不能得到a＝c，消去律不成立；(ab)c與a(bc)不一定相等，(ab)c與c平行，而a(bc)與a平行． [問題8]　下列各命題：①若ab＝0，則a、b中至少有一個(gè)為0；②若a≠0，ab＝ac，則b＝c；③對(duì)任意向量a、b、c，有(ab)c≠a(bc)；④對(duì)任一向量a，有a2＝|a|2.其中正確命題是________． 9．幾個(gè)向量常用結(jié)論 (1)＋＋＝0?P為△ABC的重心； (2)＝＝?P為△ABC的垂心； (3)向量λ(＋) (λ≠0)所在直線過(guò)△ABC的內(nèi)心； (4)||＝||＝||?P為△ABC的外心． 易錯(cuò)點(diǎn)1　忽視角的范圍 例1　已知sin α＝，sin β＝，且α，β為銳角，則α＋β＝________. 錯(cuò)因分析　只考慮α，β為銳角． 沒有注意到 sin α＝，sin β＝本身對(duì)角的范圍的限制，造成錯(cuò)解． 解析　因?yàn)棣?，β為銳角，所以cos α＝＝， cos β＝＝. 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝－＝. 又因?yàn)?＜α＋β＜π，所以α＋β＝. 答案　 易錯(cuò)點(diǎn)2　圖象平移把握不準(zhǔn) 例2　已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)，為了得到函數(shù)g(x)＝cos 2x的圖象，只要將y＝f(x)的圖象(　　) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 錯(cuò)因分析?、?zèng)]有將f(x)，g(x)化為同名函數(shù)；②平移時(shí)看2x變成了什么，而沒有認(rèn)識(shí)到平移過(guò)程只是對(duì)“x”而言． 解析　g(x)＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)＋]， ∴y＝f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)＝g(x)的圖象． 答案　A 易錯(cuò)點(diǎn)3　三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯(cuò)誤 例3　求函數(shù)y＝sin(－)的單調(diào)區(qū)間． 錯(cuò)因分析　由于受思維定勢(shì)的影響，本題容易出現(xiàn)仍然按照函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0)的單調(diào)區(qū)間的判斷方法進(jìn)行，如認(rèn)為當(dāng)x滿足2kπ－≤－x≤2kπ＋(k∈Z)時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，就會(huì)求錯(cuò)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 解　原函數(shù)變形為y＝－sin(－)，令u＝－，則只需求y＝sin u 的單調(diào)區(qū)間即可，所以y＝sin u在2kπ－≤－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ－≤x≤3kπ＋(k∈Z)上單調(diào)遞增；y＝sin u在2kπ＋≤u＝－≤2kπ＋(k∈Z)，即3kπ＋≤x≤3kπ＋π(k∈Z)上單調(diào)遞減． 故y＝sin(－)＝－sin u的單調(diào)遞減區(qū)間為[3kπ－，3kπ＋](k∈Z)，單調(diào)遞增區(qū)間為[3kπ＋，3kπ＋](k∈Z)． 易錯(cuò)點(diǎn)4　解三角形忽視檢驗(yàn) 例4　在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a＝1，c＝. (1)若角C＝，則角A＝________； (2)若角A＝，則b＝________. 錯(cuò)因分析　在用正弦定理解三角形時(shí)，易出現(xiàn)漏解或多解的錯(cuò)誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sin A＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問中沒有考慮角C有兩解，由sin C＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，這樣就出現(xiàn)漏解的錯(cuò)誤． 解析　(1)由正弦定理＝， 得sin A＝＝， 又a＜c，所以A＜C.所以A＝. (2)由＝， 得sin C＝＝，得C＝或， 當(dāng)C＝時(shí)，B＝，可得b＝2； 當(dāng)C＝時(shí)，B＝，此時(shí)得b＝1. 答案　(1)　(2)2或1 易錯(cuò)點(diǎn)5　忽視向量共線致誤 例5　已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是________________________________________________________________________． 錯(cuò)因分析　誤認(rèn)為θ為銳角?cos θ>0，沒有排除θ＝0即兩向量同向的情況． 解析　由θ為銳角，有0b>c B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 3．(xx東北三校聯(lián)考)已知sin αcos α＝，則cos2(α＋)的值為(　　) A. B. C. D. 4．函數(shù)y＝2sin(－2x)(x∈[－π，0])的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．[－π，－] B．[－，0] C．[－，－] D．[－，－] 5.函數(shù)f(x)＝Asin(2x＋φ)(A，φ∈R)的部分圖象如圖所示，那么f(0)等于(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ 6．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c，若a2＋b2＝2c2，則cos C的最小值為(　　) A. B. C. D．－ 7．(xx陜西省五校第一次聯(lián)考)如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60，點(diǎn)M在AB邊上，且AM＝AB，則等于(　　) A．－ B. C．－1 D．1 8．在△ABC中，B＝60，AC＝，則AB＋2BC的最大值為________． 9．如圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)圖象的一部分，A，B是圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)和一個(gè)最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為________． 10．(xx天津)已知函數(shù)f(x)＝cos xsin(x＋)－cos2x＋，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在閉區(qū)間[－，]上的最大值和最小值． 學(xué)生用書答案精析 3．三角函數(shù)、解三角形、平面向量 要點(diǎn)回扣 [問題1]?。? [問題2]　－ [問題3]　(k∈Z) [問題4]?。? [問題5]　45 [問題6]　④ [問題7]　 [問題8]?、? 查缺補(bǔ)漏 1．D　[因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(－4,3)，所以x＝－4，y＝3，r＝5， 所以cos α＝＝－.] 2．C　[∵a＝sin 33，b＝cos 55＝sin 35， c＝tan 35＝， 又0b>a.] 3．C　[∵sin αcos α＝， ∴sin 2α＝2sin αcos α＝， ∴cos2(α＋)＝＝＝＝.] 4．C　[因?yàn)閥＝2sin(－2x)＝－2sin(2x－)， 所以函數(shù)y＝2sin(－2x)的單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù)y＝sin(2x－)的單調(diào)遞減區(qū)間． 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， 即函數(shù)y＝2sin(－2x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 [＋kπ，＋kπ](k∈Z) 又x∈[－π，0]，所以k＝－1， 故函數(shù)y＝2sin(－2x)(x∈[－π，0])的單調(diào)遞增區(qū)間為[－，－]．] 5．B　[由題圖可知，函數(shù)的最大值為2，因此A＝2. 又因?yàn)楹瘮?shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)， 則2sin＝2， 即2＋φ＝＋2kπ，k∈Z， 得φ＝－＋2kπ，k∈Z. f(0)＝2sin φ＝2sin＝－1.] 6．C　[∵cos C＝＝， 又∵a2＋b2≥2ab，∴2ab≤2c2. ∴cos C≥.∴cos C的最小值為.] 7．D　[＝＋＝＋， 又＝＋， 所以＝(＋)(＋)＝2 ＋2＋＝1＋－ ＝－||||cos 60＝－12＝1.] 8．2 解析　由正弦定理知＝＝， ∴AB＝2sin C，BC＝2sin A. 又A＋C＝120，∴AB＋2BC ＝2sin C＋4sin(120－C) ＝2(sin C＋2sin 120cos C－2cos 120sin C) ＝2(sin C＋cos C＋sin C) ＝2(2sin C＋cos C)＝2sin(C＋α)， 其中tan α＝，α是第一象限角， 由于0＜C＜120， 且α是第一象限角， 因此AB＋2BC有最大值2. 9.π2－1 解析　由題意可知A(，1)，B(，－1)，＝＋1(－1)＝π2－1. 10．解　(1)由已知， 有f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－cos2x＋ ＝sin xcos x－cos2x＋ ＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ ＝sin 2x－cos 2x＝sin(2x－)． 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)因?yàn)閒(x)在區(qū)間[－，－]上是減函數(shù)，在區(qū)間[－，]上是增函數(shù)， f(－)＝－，f(－)＝－， f()＝， 所以，函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[－，]上的最大值為，最小值為－.