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2019-2020年高考數學精英備考專題講座 第三講數列與不等式 第三節(jié) 不等式選講 文 不等式選講是一個選考內容,縱觀近年關于課程標準的高考試題,含絕對值不等式的試題常以選做題的形式出現,屬于中檔偏易題.最值與恒成立問題是高考的?？键c,不等式的證明常與數列相結合,考查數學歸納法、放縮法等技能方法,屬于中高檔題,甚至是壓軸題,難度一般控制在之間. 考試要求： ⑴理解絕對值及其幾何意義. ①絕對值不等式的變式：. ②利用絕對值的幾何意義求解幾類不等式：①；②；③. ⑵了解不等式證明的方法：如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法. 題型一 含絕對值不等式 例（xx全國課標卷理科第24題）設函數,其中. （Ⅰ）當時，求不等式的解集 （Ⅱ）若不等式的解集為 ，求a的值。 點撥：⑴解含絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值符號. ⑵可考慮采用零點分段法. 解： （Ⅰ）當時，可化為, 由此可得 或, 故不等式的解集為或. (Ⅱ) 由的 此不等式化為不等式組 或 即 或 因為，所以不等式組的解集為 由題設可得= ，故. 易錯點：⑴含絕對值的不等式的轉化易出錯；⑵不會運用分類討論的數學思想,去掉絕對值符號. 變式與引申：若，求證： . 題型二 不等式的性質 例.⑴設,則的最小值是( ). A. B. C. D. ⑵設且,求的最大值. 點撥：⑴觀察分母能發(fā)現其和為,則添加可配湊成 ,再利用基本不等式求解； ⑵觀察已知條件,可將所求式子轉化為,再利用基本不等式求解. (1)【答案】D 解：, 當且僅當 ,時等號成立.如取,滿足條件.選D. （2）∵,∴. 又,∴,即 易錯點：忽視基本不等式求最值時的“一正、二定、三相等”條件. 變式與引申2：已知,且,求證:. 題型三 不等式的證明 例3 已知,且,求證：. 點撥：由,得,,.可使問題得證. 解：∵ ,∴,,, ∴. 易錯點：⑴易出現的錯誤；⑵忽視基本不等式中等號成立的條件. 變式與引申3： 是和的等比中項，則的最大值為( ). A. B. C. D. 題型四 不等式與函數的綜合應用 例4已知函數.當時.求證：. 點撥：本題中所給條件并不足以確定參數,的值，但應該注意到：所要求的結論不是的確定值,而是與條件相對應的“取值范圍”,因此,我們可以用 、來表示,,因為由已知條件有,,可使問題獲證. 證明：由，從而有 ,∵,∴. 易錯點：⑴不會用、來表示、、及其它們的和差關系式,從而解題思路受阻；⑵不能靈活運用絕對值,對問題進行轉化. 變式與引申4：設二次函數，函數的兩個零點為. （1）若求不等式的解集； （2）若且，比較與的大?。? 本節(jié)主要考查：⑴不等式的性質(基本不等式與柯西不等式)應用；⑵含絕對值不等式的解法； ⑶逆求參數取值范圍；⑷函數方程思想、分類討論思想、轉化化歸思想以及比較法、分析法、綜合法等數學思想方法. 點評：⑴運用不等式性質解有關問題時,要隨時對性質成立的條件保持高度警惕,避免錯誤發(fā)生； ⑵應用絕對值不等式解題時,要注意絕對值不等式中等號成立的條件；解含絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值符號,主要思路有：①利用絕對值的幾何意義；②零點分段討論；③平方轉化；④借助圖象直觀獲解. ⑶利用基本不等式和柯西不等式求最值是不等式選講的重點考查內容之一,解題中常用技巧是注意創(chuàng)設應用基本不等式的條件,合理地拆分項或配湊因式,即把已知式子轉化成基本不等式和柯西不等式的模型.在應用求最值時,“一正、二定、三相等”三個條件不可缺一. ⑷證明不等式的常用方法： ①比較法,即作差比較法與作商比較法；②綜合法—-由因導果；③分析法---執(zhí)果索因；④放縮法,常出現在與數列和式有關的不等式證明中,運用時應注意觀察“放與縮”的方向和“放與縮”的量的大小,把握好放縮的“度”,熟記一些常用放縮技巧和放縮的結構形式. ⑸不等式作為工具,常與函數、導數、數列、解析幾何結合在一起,有著廣泛的應用,應給予關注. 習題3-3 1.(xx陜西文科第3題)設，則下列不等式中正確的是 （ ） （A） （B） （c） (D) 2．不等式的解集是( ). A. B. C. D. 3．不等式對任意實數恒成立,則實數的取值范圍為( ). A. B. C. D. 4.(xx年山東卷文科第16題）.已知當2＜a＜3＜b＜4時，函數的零點 . 5.設,是大于的常數,若的最小值是,則的值等于______. 【答案】 當且僅當時,等號成立. 變式與引申3：選B 解：由條件可知,用三角代換設,, 則 ∴選B. 變式與引申4：（1）由題意知，　　　 當時，不等式 即為. 當時，不等式的解集為或； 當時，不等式的解集為. （2） 且，∴ ∴， 即． 習題3-3 對任意實數恒成立,則,解得或.故. 4.【答案】2 【解析】因為函數在（0，上是增函數， ， 即. 5.【答案】 解：.∴.