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2019-2020年高三數(shù)學(xué) 第25課時(shí) 第三章 數(shù)列 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用專題復(fù)習(xí)教案 一．課題：數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 二．教學(xué)目標(biāo)：1．理解“復(fù)利”的概念，能解決分期付款的有關(guān)計(jì)算方法； 2．能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)列問題． 三．教學(xué)重點(diǎn)：建立數(shù)列模型解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題． 四．教學(xué)過程： （一）主要知識(shí)： 1．解應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型； 2．一般步驟：審題、抓住數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型； 3．注意問題是求什么（）． （二）主要方法： 1．解答數(shù)列應(yīng)用題要注意步驟的規(guī)范性：設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列，解題完畢要作答； 2．在歸納或求通項(xiàng)公式時(shí)，一定要將項(xiàng)數(shù)計(jì)算準(zhǔn)確； 3．在數(shù)列類型不易分辨時(shí)，要注意歸納遞推關(guān)系； 4．在近似計(jì)算時(shí)，要注意應(yīng)用對(duì)數(shù)方法和二項(xiàng)式定理，且要看清題中對(duì)近似程度的要求． （三）例題分析： 例1．某地區(qū)森林原有木材存量為，且每年增長率為25％，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為，設(shè)為年后該地區(qū)森林木材的存量， （1）求的表達(dá)式； （2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不少于，如果，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過幾年？（參考數(shù)據(jù)：） 解：（1）設(shè)第一年的森林的木材存量為，第年后的森林的木材存量為，則 ， ， ， ……… ． （2）當(dāng)時(shí)，有得即， 所以，． 答：經(jīng)過8年后該地區(qū)就開始水土流失． 例2．輕紡城的一家私營企業(yè)主，一月初向銀行貸款一萬元作開店資金，每月月底獲得的利潤是該月月初投入資金的，每月月底需要交納房租和所得稅為該月所得金額（包括利潤）的，每月的生活費(fèi)開支300元，余款作為資金全部投入再經(jīng)營，如此繼續(xù)，問該年年底，該私營企業(yè)主有現(xiàn)款多少元？如果銀行貸款的年利率為，問私營企業(yè)主還清銀行貸款后純收入還有多少元？ 解：第一個(gè)月月底余 元， 設(shè)第個(gè)月月底余，第個(gè)月月底余， 則， 從而有， 設(shè)，∴是等比數(shù)列， ∴，， 還貸后純收入為元． 例3．銀行按規(guī)定每經(jīng)過一定的時(shí)間結(jié)算存（貸）款的利息一次，結(jié)算后即將利息并入本金，這種計(jì)算利息的方法叫做復(fù)利．現(xiàn)在有某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案： 甲方案：一次性貸款10萬元，第一年便可獲得利潤1萬元，以后每年比上年增加30％的利潤； 乙方案：每年貸款1萬元，第一年可獲得利潤1萬元，以后每年比前一年多獲利5000元． 兩種方案的期限都是10年，到期一次行歸還本息．若銀行貸款利息均以年息10％的復(fù)利計(jì)算，試比較兩個(gè)方案哪個(gè)獲得存利潤更多？（計(jì)算精確到千元，參考數(shù)據(jù)：） 解：甲方案10年獲利潤是每年利潤數(shù)組成的數(shù)列的前10項(xiàng)的和： （萬元） 到期時(shí)銀行的本息和為（萬元） ∴甲方案扣除本息后的凈獲利為：（萬元） 乙方案：逐年獲利成等差數(shù)列，前10年共獲利： （萬元） 貸款的本利和為：（萬元） ∴乙方案扣除本息后的凈獲利為：（萬元） 所以，甲方案的獲利較多． 例4．某工廠在xx年的“減員增效”中對(duì)部分人員實(shí)行分流，規(guī)定分流人員第一年可以到原單位領(lǐng)取工資的100％，從第二年起，以后每年只能在原單位按上一年的領(lǐng)取工資，該廠根據(jù)分流人員的技術(shù)特長，計(jì)劃創(chuàng)辦新的經(jīng)濟(jì)實(shí)體，該經(jīng)濟(jì)實(shí)體預(yù)計(jì)第一年屬投資階段，第二年每人可獲得元收入，從第三年起每人每年的收入可在上一年的基礎(chǔ)上遞增50％，如果某人分流前工資的收入每年元，分流后進(jìn)入新經(jīng)濟(jì)實(shí)體，第年的收入為元， （1）求的通項(xiàng)公式； （2）當(dāng)時(shí)，這個(gè)人哪一年的收入最少？最少為多少？ （3）當(dāng)時(shí)，是否一定可以保證這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過分流前的年收入？ 解：（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， ∴． （2）由已知， 當(dāng)時(shí)，要使得上式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得，因此這個(gè)人第三年收入最少為元． （3）當(dāng)時(shí)， ，上述等號(hào)成立，須且因此等號(hào)不能取到， 當(dāng)時(shí)，這個(gè)人分流一年后的收入永遠(yuǎn)超過分流前的年收入． （四）鞏固練習(xí)：某工廠生產(chǎn)總值月平均增長率為，則年平均增長率為（ ）