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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷 文（含解析） 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x∈N||x|≤2}，則A∩B=（） A． {3} B． {0，1，2} C． {1，2} D． {0，1，2，3} 2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=2+xi（x∈R），若z1?z2∈R，則x=（） A． ﹣2- B． ﹣1- C． 1 D． 2 3．（5分）已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的為（） A． 若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β B． 若m∥α，m∥β，則α∥β C． 若m∥α，n∥α，則m∥n D． 若m⊥α，n⊥α，則m∥n 4．（5分）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，則|+|的值為（） A． B． C． 5 D． 13 5．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5=8，S3=6，則a9=（） A． 8 B． 12 C． 16 D． 24 6．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的y=（） A． B． 1 C． ﹣1 D． 2 7．（5分）將函數(shù)y=cos（﹣2x）的圖象向右平移個(gè)單位后所得的圖象的一個(gè)對(duì)稱軸是（） A． x= B． x= C． x= D． x= 8．（5分）函數(shù)f（x）=（x﹣1）cosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 9．（5分）已知直線l：x+my+4=0，若曲線x2+y2+2x﹣6y+1=0上存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l對(duì)稱，則m的值為（） A． 2 B． ﹣2 C． 1 D． ﹣1 10．（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（） A． （﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣1，0） C． （1，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 二、填空題：本大題共5題，考生作答4小題，每小題5分，滿分15分．（一）必做題（11～13題） 11．（5分）函數(shù)y=的定義域?yàn)椋? 12．（5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖1，則該幾何體的體積為． 13．（5分）設(shè)雙曲線的離心率為2，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=8y的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為． 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16．（12分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域； （Ⅱ）若，求sin2α的值． 17．（13分）某中學(xué)xx高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83． （1）求x和y的值； （2）計(jì)算甲班7位學(xué)生成績的方差s2； （3）從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率． 18．（13分）如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45，∠C=90，∠ADC=105，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)． （1）求證：DC⊥平面ABC； （2）設(shè)CD=a，求三棱錐A﹣BFE的體積． 19．（14分）各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)的和為S4=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn； （2）記Tn為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若Tn≤λan+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值． 20．（14分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為P（0，1），過E的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1．若有一菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓E上，該菱形對(duì)角線BD所在直線的斜率為﹣1． （1）求橢圓E的方程； （2）當(dāng)直線BD過點(diǎn)（1，0）時(shí)，求直線AC的方程； （3）當(dāng)∠ABC=時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值． 21．（14分）已知函數(shù)f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，a∈R． （1）若a=1，判斷函數(shù)f（x）是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由； （2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （3）設(shè)函數(shù)g（x）=﹣．若至少存在一個(gè)x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． （二）、選做題：14、15題，考生只能從中選做一題 14．（5分）如圖，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為C，點(diǎn)B在圓O上，BC=2，∠BCD=60，則圓O的面積為． 選做題（正四棱錐與球體積選做題） 15．棱長為1的正方體的外接球的體積為． 廣東省深圳市五校聯(lián)考xx高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，集合B={x∈N||x|≤2}，則A∩B=（） A． {3} B． {0，1，2} C． {1，2} D． {0，1，2，3} 考點(diǎn)： 交集及其運(yùn)算． 專題： 集合． 分析： 求出B中不等式的解集，找出解集中的自然數(shù)解確定出B，求出A與B的交集即可． 解答： 解：由B中的不等式解得：﹣2≤x≤2，即B={x|﹣2≤x≤2，x∈N}={0，1，2}， ∵A={0，1，2，3}， ∴A∩B={0，1，2}， 故選：B． 點(diǎn)評(píng)： 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義解本題的關(guān)鍵． 2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+i，z2=2+xi（x∈R），若z1?z2∈R，則x=（） A． ﹣2- B． ﹣1- C． 1 D． 2 考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 專題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)． 分析： 直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z1?z2，然后由虛部為0即可求出x的值． 解答： 解：z1?z2=（1+i）（2+xi）=2﹣x+（2+x）i， ∵z1．z2∈R， ∴2+x=0．即x=﹣2． 故選：A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題． 3．（5分）已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的為（） A． 若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β B． 若m∥α，m∥β，則α∥β C． 若m∥α，n∥α，則m∥n D． 若m⊥α，n⊥α，則m∥n 考點(diǎn)： 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；平面與平面之間的位置關(guān)系． 專題： 閱讀型． 分析： 用身邊的事物舉例，或用長方體找反例，對(duì)答案項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證和排除． 解答： 解：反例把書打開直立在桌面上，α與β相交或垂直； 答案B：α與β相交時(shí)候，m與交線平行； 答案C：直線m與n相交，異面，平行都有可能，以長方體為載體； 答案D：，正確 故選D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了線面的垂直和平行關(guān)系，多用身邊具體的例子進(jìn)行說明，或用長方體舉反例． 4．（5分）已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，則|+|的值為（） A． B． C． 5 D． 13 考點(diǎn)： 平行向量與共線向量；向量的模；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 專題： 平面向量及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示求出x的值，然后運(yùn)用向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算求出兩個(gè)和向量的坐標(biāo)，最后利用求模公式求模． 解答： 解：由向量=（2，﹣3），=（x，6），且， 則26﹣（﹣3）x=0，解得：x=﹣4． 所以， 則=（﹣2，3）． 所以=． 故選B． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了兩個(gè)平行的坐標(biāo)表示，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了向量模的求法，是基礎(chǔ)題． 5．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a5=8，S3=6，則a9=（） A． 8 B． 12 C． 16 D． 24 考點(diǎn)： 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： 由給出的等差數(shù)列的第5項(xiàng)和前3項(xiàng)和代入通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式求等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，然后直接運(yùn)用通項(xiàng)公式求a9． 解答： 解：設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 則，解得：a1=0，d=2， 所以a9=a1+8d=0+82=16． 故選C． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，考查了計(jì)算能力，此題屬基礎(chǔ)題． 6．（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的y=（） A． B． 1 C． ﹣1 D． 2 考點(diǎn)： 程序框圖． 專題： 算法和程序框圖． 分析： 模擬程序框圖的運(yùn)行過程，得出該程序是計(jì)算y的值，并且以3為周期，從而得出程序運(yùn)行的結(jié)果是什么． 解答： 解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程，如下： y=2，i=1，1≥xx？，否，y=1﹣=； i=1+1=2，2≥xx？，否，y=1﹣=﹣1； i=2+1=3，3≥xx？，否，y=1﹣=2； i=3+1=4，4≥xx？，否，y=1﹣=； ，…， i=xx+1=xx，xx≥xx？，否，y=1﹣=2； i=xx+1=xx，xx≥xx？，是，輸出y：2． 故選：D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，尋找解答問題的途徑，是基礎(chǔ)題． 7．（5分）將函數(shù)y=cos（﹣2x）的圖象向右平移個(gè)單位后所得的圖象的一個(gè)對(duì)稱軸是（） A． x= B． x= C． x= D． x= 考點(diǎn)： 函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： 利用誘導(dǎo)公式可得f（x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），于是有f（x﹣）=cos（2x﹣），利用余弦函數(shù)的對(duì)稱性即可得到答案． 解答： 解：令f（x）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）， 則f（x﹣）=cos[2（x﹣）﹣]=cos（2x﹣）， 由2x﹣=kπ（k∈Z），得其對(duì)稱軸方程為： x=+（k∈Z）， 當(dāng)k=0時(shí)，x=，即為將函數(shù)y=cos（﹣2x）的圖象向右平移個(gè)單位后所得的圖象的一個(gè)對(duì)稱軸， 故選：A． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查余弦函數(shù)的對(duì)稱性，屬于中檔題． 8．（5分）函數(shù)f（x）=（x﹣1）cosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（） A． 4 B． 5 C． 6 D． 7 考點(diǎn)： 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用． 分析： 令函數(shù)值為0，構(gòu)建方程，即可求出在區(qū)間[0，4]上的解，從而可得函數(shù)f（x）=（x﹣1）cosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù) 解答： 解：令f（x）=0，可得x=1或cosx2=0 ∴x=1或x2=kπ+，k∈Z， ∵x∈[0，4]，則x2∈[0，16]， ∴k可取的值有0，1，2，3，4， ∴方程共有6個(gè)解， ∴函數(shù)f（x）=（x﹣1）cosx2在區(qū)間[0，4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為6個(gè)， 故選C 點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角函數(shù)的周期性以及零點(diǎn)的概念，屬于基礎(chǔ)題． 9．（5分）已知直線l：x+my+4=0，若曲線x2+y2+2x﹣6y+1=0上存在兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線l對(duì)稱，則m的值為（） A． 2 B． ﹣2 C． 1 D． ﹣1 考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系． 專題： 直線與圓． 分析： 曲線x2+y2+2x﹣6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，說明曲線是圓，直線過圓心，易求m的值； 解答： 解：曲線方程為（x+1）2+（y﹣3）2=9表示圓心為（﹣1，3），半徑為3的圓． ∵點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱， ∴圓心（﹣1，3）在直線上．代入得m=﹣1． 故選：D． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，圓的一般式方程，考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題． 10．（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（） A． （﹣1，0）∪（1，+∞） B． （﹣1，0） C． （1，+∞） D． （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 考點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的性質(zhì)． 專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用． 分析： 根據(jù)當(dāng)x＞0時(shí)，有＞0成立，可得為增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，可分析出在各個(gè)區(qū)間上，和f（x）的符號(hào)，進(jìn)而可得不等式f（x）＞0的解集． 解答： 解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，有＞0成立， ∴當(dāng)x＞0時(shí)，為增函數(shù)， 又∵f（1）=0， ∴當(dāng)x＞1時(shí)，＞0，f（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，＜0，f（x）＜0， 又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)， ∴是定義在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函數(shù)， 故當(dāng)x＜﹣1時(shí)，＞0，f（x）＜0，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，＜0，f（x）＞0， 故f（x）＞0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）， 故選：A 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔． 二、填空題：本大題共5題，考生作答4小題，每小題5分，滿分15分．（一）必做題（11～13題） 11．（5分）函數(shù)y=的定義域?yàn)閧x|x＞o且x≠1}． 考點(diǎn)： 函數(shù)的定義域及其求法． 分析： 函數(shù)式是分式，分子含有根式，分母含有對(duì)數(shù)式，函數(shù)的定義域是使根式內(nèi)的代數(shù)式大于等于0，且分母不等于0，還要使對(duì)數(shù)函數(shù)有意義． 解答： 解：要使原函數(shù)有意義，則需解得：x＞0且x≠1， 所以原函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0，且x≠1}． 故答案為{x|x＞0，且x≠1}． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了函數(shù)的定義域及其求法，屬于以函數(shù)的定義為平臺(tái)，求集合的交集的基礎(chǔ)題，也是xx高考常會(huì)考的題型． 12．（5分）一個(gè)幾何體的三視圖如圖1，則該幾何體的體積為6π． 考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： 由三視圖知幾何體是一個(gè)半圓柱，半圓柱的底面是一個(gè)半徑為2的半圓，高是3，根據(jù)所給的數(shù)據(jù)作出底面積，乘以高，得到體積． 解答： 解：由三視圖知幾何體是一個(gè)半圓柱， 半圓柱的底面是一個(gè)半徑為2的半圓，高是3， 故半圓柱的體積V=π223=6π， 故答案為：6π 點(diǎn)評(píng)： 本題考查由三視圖還原幾何體，并且求幾何體的體積，本題解題的關(guān)鍵是理解三個(gè)視圖高長寬之間的關(guān)系，進(jìn)而判斷出幾何體的形狀，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題． 13．（5分）設(shè)雙曲線的離心率為2，且一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=8y的焦點(diǎn)相同，則此雙曲線的方程為． 考點(diǎn)： 拋物線的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 利用拋物線的方程先求出拋物線的焦點(diǎn)即雙曲線的焦點(diǎn)，利用雙曲線的方程與系數(shù)的關(guān)系求出a2，b2，利用雙曲線的三個(gè)系數(shù)的關(guān)系列出m，n的一個(gè)關(guān)系，再利用雙曲線的離心率的公式列出關(guān)于m，n的另一個(gè)等式，解方程組求出m，n的值，代入方程求出雙曲線的方程． 解答： 解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）， 所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上且c=2， 所以雙曲線的方程為， 即a2=n＞0，b2=﹣m＞0， 所以，又， 解得n=1， 所以b2=c2﹣a2=4﹣1=3，即﹣m=3，m=﹣3， 所以雙曲線的方程為． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 解決雙曲線、橢圓的三參數(shù)有關(guān)的問題，有定注意三參數(shù)的關(guān)系：c2=a2+b2而橢圓中三參數(shù)的關(guān)系為a2=c2+b2 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答需寫出文字說明、證明過程和演算步驟． 16．（12分）已知函數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域； （Ⅱ）若，求sin2α的值． 考點(diǎn)： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；二倍角的正弦；三角函數(shù)的周期性及其求法． 專題： 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)． 分析： （Ⅰ）將化為f（x）=cos（x+）即可求得f（x）的最小正周期和值域； （Ⅱ）由可求得cos（α+）=，由余弦函數(shù)的二倍角公式與誘導(dǎo)公式可求得sin2α的值． 解答： 解：（Ⅰ）由已知，f（x）=﹣sincos﹣ =（1+cosx）﹣sinx﹣ =cos（x+）． ∴函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，值域?yàn)閇﹣，]． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（α）=cos（α+）=， ∴cos（α+）=， ∴sin2α=﹣cos（+2α）=﹣cos2（α+） =1﹣2 =1﹣ =． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)、兩角和的正（余）弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 17．（13分）某中學(xué)xx高三年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽儯M分100分）的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83． （1）求x和y的值； （2）計(jì)算甲班7位學(xué)生成績的方差s2； （3）從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求甲班至少有一名學(xué)生的概率． 考點(diǎn)： 古典概型及其概率計(jì)算公式；莖葉圖；極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差． 專題： 概率與統(tǒng)計(jì)． 分析： （1）利用平均數(shù)求出x的值，中位數(shù)求出y的值，解答即可． （2）根據(jù)所給的莖葉圖，得出甲班7位學(xué)生成績，做出這7次成績的平均數(shù)，把7次成績和平均數(shù)代入方差的計(jì)算公式，求出這組數(shù)據(jù)的方差． （3）設(shè)甲班至少有一名學(xué)生為事件A，其對(duì)立事件為從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲班沒有一名學(xué)生；先計(jì)算出從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生的所有抽取方法總數(shù)，和沒有甲班一名學(xué)生的方法數(shù)目，先求出從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲班沒有一名學(xué)生的概率，進(jìn)而結(jié)合對(duì)立事件的概率性質(zhì)求得答案． 解答： 解：（1）∵甲班學(xué)生的平均分是85， ∴， ∴x=5， ∵乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是83，∴y=3； （2）甲班7位學(xué)生成績的方差為s2==40； （3）甲班成績?cè)?0分以上的學(xué)生有兩名，分別記為A，B， 乙班成績?cè)?0分以上的學(xué)生有三名，分別記為C，D，E， 從這五名學(xué)生任意抽取兩名學(xué)生共有10種情況： （A，B），（A，C），（A，D），（A，E）， （B，C），（B，D），（B，E）， （C，D），（C，E）， （D，E） 其中甲班至少有一名學(xué)生共有7種情況：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E）． 記“從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生， 甲班至少有一名學(xué)生”為事件M，則． 答：從成績?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，甲校至少有一名學(xué)生的概率為． 點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查莖葉圖、樣本均值、樣本方差、概率等知識(shí)，考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識(shí)． 18．（13分）如圖甲，在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45，∠C=90，∠ADC=105，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)． （1）求證：DC⊥平面ABC； （2）設(shè)CD=a，求三棱錐A﹣BFE的體積． 考點(diǎn)： 直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積． 專題： 證明題． 分析： （1）先證明AB⊥底面BDC，可得AB⊥CD，又DC⊥BC，從而證明DC⊥平面ABC． （2）由（1）知 EF⊥平面ABC，求得，代入體積公式進(jìn)行運(yùn)算可得答案． 解答： 解：（1）證明：在圖甲中，∵AB=BD，且∠A=45， ∴∠ADB=45，∠ABC=90 即AB⊥BD． 在圖乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD， ∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．又∠DCB=90， ∴DC⊥BC，且AB∩BC=B，∴DC⊥平面ABC． （2）∵E、F分別為AC、AD的中點(diǎn)，∴EF∥CD， 又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC， ∴，在圖甲中，∵∠ADC=105，∴∠BDC=60，∠DBC=30， 由CD=a得，，∴， ∴，∴． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求棱錐的體積，求出△AEB的面積，確定棱錐的高為EF 是解題的關(guān)鍵． 19．（14分）各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前四項(xiàng)的和為S4=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn； （2）記Tn為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，若Tn≤λan+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值． 考點(diǎn)： 數(shù)列的求和；數(shù)列與不等式的綜合． 專題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列． 分析： （1）設(shè)公差為d，利用S4=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列，建立方程，即可求得首項(xiàng)與公差，從而可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）利用裂項(xiàng)法，可求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，則Tn≤λan+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立， 等價(jià)于λ≥對(duì)?n∈N*恒成立，求得的最大值即可． 解答： 解：（1）設(shè)公差為d，則 ∵S4=14，且a1，a3，a7成等比數(shù)列 ∴4a1+6d=14，（a1+2d）2=a1（a1+6d） ∵d≠0，∴d=1，a1=2， ∴an=n+1， sn==． （2）==﹣ ∴Tn==﹣= ∵Tn≤λan+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立， ∴≤λan+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立， 等價(jià)于λ≥對(duì)?n∈N*恒成立． 又=≤=，且在n=2時(shí)取等號(hào)， 所以實(shí)數(shù)λ的最小值為． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力以及恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化能力，綜合性強(qiáng)，屬于難題． 20．（14分）已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)為P（0，1），過E的焦點(diǎn)且垂直長軸的弦長為1．若有一菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓E上，該菱形對(duì)角線BD所在直線的斜率為﹣1． （1）求橢圓E的方程； （2）當(dāng)直線BD過點(diǎn)（1，0）時(shí)，求直線AC的方程； （3）當(dāng)∠ABC=時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值． 考點(diǎn)： 直線與圓錐曲線的綜合問題；直線的一般式方程；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 專題： 綜合題． 分析： （1）依題意，b=1，解，得|y|=，所以，由此能求出橢圓E的方程． （2）直線BD：y=﹣1（x﹣1）=﹣x+1，設(shè)AC：y=x+b，由方程組得，再由根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和菱形的性質(zhì)能推導(dǎo)出AC的方程． （3）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積，由AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=2（x2﹣x1）2=2（x2+x1）2﹣8x1x2=，能推導(dǎo)出當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值． 解答： 解：（1）依題意，b=1， 解，得|y|=， 所以，a=2， 橢圓E的方程為． （2）直線BD：y=﹣1（x﹣1）=﹣x+1， 設(shè)AC：y=x+b， 由方程組得， 當(dāng)時(shí)， A（x1，y1），C（x2，y2）的中點(diǎn)坐標(biāo)為=﹣，， ABCD是菱形，所以AC的中點(diǎn)在BD上，所以 解得，滿足△=5﹣b2＞0，所以AC的方程為y=x﹣． （3）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面積， 由（2）可得AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y2）2=2， AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=2（x2﹣x1）2=2（x2+x1）2﹣8x1x2=2=， 因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值，最大值為． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要靈活運(yùn)用根的判別式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和菱形的性質(zhì)，結(jié)合橢圓的性質(zhì)注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化． 21．（14分）已知函數(shù)f（x）=a（x﹣）﹣2lnx，a∈R． （1）若a=1，判斷函數(shù)f（x）是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由； （2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間； （3）設(shè)函數(shù)g（x）=﹣．若至少存在一個(gè)x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 分析： （1）利用求極值的方法，先求導(dǎo)，再判斷函數(shù)f（x）單調(diào)性，然后判斷是否存在極值； （2）求含有參數(shù)的f（x）的單調(diào)區(qū)間，需要分類討論； （3）本命題等價(jià)于f（x）﹣g（x）＞0在[1，e]上有解，設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），F(xiàn)（x）min=F（1）=0，從而求得a的取值范圍． 解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，，其定義域?yàn)椋?，+∞）． ∵， ∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增， ∴函數(shù)f（x）不存在極值． （2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．， 當(dāng)a≤0時(shí)， ∵f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減． 當(dāng)a＞0時(shí)， 當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，方程f（x）=0與方程ax2﹣2x+a=0有相同的實(shí)根，△=4﹣4a2=4（1﹣a2）， ①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，△＞0，可得，，且0＜x1＜x2， ∴x∈（0，x1）時(shí)，f（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）上單調(diào)遞增； ∴x∈（x1，x2）時(shí)，f（x）＜0，所以f（x）在（x1，x2）上單調(diào)遞減； ∴x∈（x2，+∞）時(shí)，f（x）＞0，所以f（x）在（x2，+∞）上單調(diào)遞增； ②當(dāng)a≥1時(shí)，△≤0，∴f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增． 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞）； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為與；單調(diào)減區(qū)間為； 當(dāng)a≥1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）． （3）由存在一個(gè)x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立， 得ax0＞2lnx，即， 令F（x）=，等價(jià)于“當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，a＞F（x）min”， ∵，且當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0， ∴F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增， 故F（x）min=F（1）=0， 因此a＞0． 點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查了函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力． （二）、選做題：14、15題，考生只能從中選做一題 14．（5分）如圖，CD是圓O的切線，切點(diǎn)為C，點(diǎn)B在圓O上，BC=2，∠BCD=60，則圓O的面積為4π． 考點(diǎn)： 與圓有關(guān)的比例線段． 專題： 計(jì)算題；立體幾何． 分析： 通過弦切角，求出圓心角，結(jié)合弦長，得到半徑，然后求出圓的面積． 解答： 解：∵弦切角等于同弧上的圓周角，∠BCD=60， ∴∠BOC=120， ∵BC=2， ∴圓的半徑為：=2， ∴圓的面積為：π?22=4π． 故答案為：4π． 點(diǎn)評(píng)： 本題是基礎(chǔ)題，考查弦切角的應(yīng)用，圓周角與圓心角的關(guān)系，確定面積的求法，考查計(jì)算能力． 選做題（正四棱錐與球體積選做題） 15．棱長為1的正方體的外接球的體積為． 考點(diǎn)： 球的體積和表面積． 專題： 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線，由此能求出正方體的外接球的體積． 解答： 解：∵正方體棱長為1， ∴正方體的外接球的半徑R=， ∴正方體的外接球的體積V=（）3=． 故答案為：． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查正方體的外接球的體積的求法，解題的關(guān)鍵是明確正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線．