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2019-2020年八年級數(shù)學下冊專題講解+課后訓練：特殊平行四邊形 課后練習及詳解 題一： 下列說法中，正確的是(　　) A．對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形 B．對角線相等的四邊形是平行四邊形 C．四條邊相等的四邊形是菱形 D．矩形的對角線一定互相垂直 題二： 如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD．則下列說法中，不正確的是(　　) A．當AB=CD，AO=DO時，四邊形ABCD為矩形 B．當AB=AD，AO=CO時，四邊形ABCD為菱形 C．當AD∥BC，AC=BD時，四邊形ABCD為正方形 D．當AB≠CD，AC=BD時，四邊形ABCD為等腰梯形 題三： 如圖，已知四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點， 題四： ①求證：四邊形EFGH是平行四邊形． 題五： ②探索下列問題，并選擇一個進行證明． 題六： a．原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足________時，四邊形EFGH是矩形． 題七： b．原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足________時，四邊形EFGH是菱形． 題八： c．原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足________時，四邊形EFGH是正方形． 題九： 如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD， 等邊△ACE、等邊△BCF． (1)求證：四邊形DAEF是平行四邊形； (2)探究下列問題：(只填滿足的條件，不需證明) ①當△ABC滿足_________條件時，四邊形DAEF是矩形； ②當△ABC滿足_________條件時，四邊形DAEF是菱形； ③當△ABC滿足_________條件時，以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在． 題十： 如圖所示，在四邊形ABCD中，點E、F是對角線BD上的兩點，且BE=FD． 題十一： (1)若四邊形AECF是平行四邊形，求證：四邊形ABCD是平行四邊形； 題十二： (2)若四邊形AECF是菱形，那么四邊形ABCD也是菱形嗎？為什么？ 題十三： (3)若四邊形AECF是矩形，試判斷四邊形ABCD是否為矩形，不必寫理由． 題十四： 如圖，任意四邊形ABCD，對角線AC、BD交于O點，過各頂點分別作對角線AC、BD的平行線，四條平行線圍成一個四邊形EFGH．試想當四邊形ABCD的形狀發(fā)生改變時，四邊形EFGH的形狀會有哪些變化？完成以下題目： 題十五： (1)①當ABCD為任意四邊形時，EFGH為___________； 題十六： ②當ABCD為矩形時，EFGH為___________； ③當ABCD為菱形時，EFGH為___________； ④當ABCD為正方形時，EFGH為___________； (2)請對(1)中①②你所寫的結論進行證明． (3)反之，當用上述方法所圍成的平行四邊形EFGH分別是矩形、菱形時，相應的原四邊形ABCD必須滿足怎樣的條件？ 題十七： 如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，P、Q分別是BM、DN的中點． 題十八： (1)求證：△MBA≌△NDC； 題十九： (2)四邊形MPNQ是什么樣的特殊四邊形？請說明理由． 題二十： 在折紙這種傳統(tǒng)手工藝術中，蘊含許多數(shù)學思想，我們可以通過折紙得到一些特殊圖形．把一張正方形紙片按照圖①～④的過程折疊后展開． (1)猜想四邊形ABCD是什么四邊形； (2)請證明你所得到的數(shù)學猜想． 題二十一： 如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中點，P是BC邊上的一動點(P與B，C不重合)，連接PM并延長交AD的延長線于Q． 題二十二： (1)試說明△PCM≌△QDM； 題二十三： (2)當P在B、C之間運動到什么位置時，四邊形ABPQ是平行四邊形？并說明理由． 題二十四： 如圖，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，動點M從點D出發(fā)，按折線D-C-B方向以2cm/s的速度運動，動點N從點D出發(fā)，沿DA方向以1cm/s的速度向點A運動．動點M、N同時出發(fā)，當一個點到達終點時，另一個點也隨即停止運動． 題二十五： (1)若點E在線段BC上，且BE=4cm，經(jīng)過幾秒鐘，點A、E、M、N組成平行四邊形？ 題二十六： (2)動點M、N在運動的過程中，線段MN是否經(jīng)過矩形ABCD的兩條對角線的交點？如果線段MN過此交點，請求出運動的時間；如果線段MN不過此交點，請說明理由． 題二十七： 如圖，已知，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120，CD= 4，∠ABC=∠DCB，求BC的長． 題二十八： 已知：如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AB= 4，BC=6，CD=5，AD=3．求：四邊形ABCD的面積． 特殊平行四邊形 課后練習參考答案 題一： C． 詳解：A．對角線互相垂直且相等的四邊形不能判定正方形，故本選項錯誤； B．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故本選項錯誤； C．四邊相等的四邊形是菱形，故本選項正確； D．矩形的對角線互相平分且相等，不一定垂直，故本選項錯誤； 故選C． 題二： C． 詳解：選項A的結論正確，AB=CD可判定為平行四邊形，AO=DO可判定對角線相等，故是矩形； 選項B的結論正確，AB=AD可判定△ABD為等邊三角形，AO=CO可判定△CDB也為等邊三角形，故是菱形； 選項C的結論錯誤，判定結果為矩形，不一定是正方形； 選項D的結論正確，對角線相等的梯形是等腰梯形； 故選C． 題三： 見詳解． 詳解：①連接AC，BD， ∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點， ∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，∴EH∥FG，同理：GH∥EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．②a．當AC⊥BD時，四邊形EFGH是矩形．∵由①得：四邊形MONH是平行四邊形， ∴當AC⊥BD時，四邊形MONH是矩形，∴∠EHG=90，∴四邊形EFGH是矩形． b．當AC=BD時，四邊形EFGH是菱形．∵HG=AC，EH=BD， ∴EH=GH，∴四邊形EFGH是菱形； c．由a與b可得：原四邊形ABCD的對角線AC、BD滿足AC⊥BD且AC=BD時， 四邊形EFGH是正方形． 故答案為：a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD． 題四： 見詳解． 詳解：(1)∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60， ∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，∴∠DBF=∠ABC． 在△ABC和△DBF中，BA=BD，∠ABC=∠DBF，BC=BF， ∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD． ∴四邊形ADFE是平行四邊形． (2)當∠BAC=150，∠DAE=360-60-60-150=90，∴平行四邊形DAEF是矩形． 當AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四邊形DAEF是菱形． 當∠BAC=60，△FBC與△ABC重合，故以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在． 題五： 見詳解． 詳解：連AC，設AC、BD相交于點O， (1)∵四邊形AECF是平行四邊形，∴OE=OF，OA=OC， ∵BE=FD，∴OB=OD．∴四邊形ABCD是平行四邊形； (2)∵四邊形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD． ∵BE=FD，∴OB=OD．∴四邊形ABCD是菱形； (3)四邊形ABCD不是矩形． 題六： 見詳解． 詳解：(1)平行四邊形；菱形；矩形；正方形； (2)結合圖形，聯(lián)想特殊四邊形的特征及識別很容易發(fā)現(xiàn)，其中的橋梁為AC、BD． ①當ABCD為任意四邊形時，EFGH為平行四邊形． ∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四邊形EFGH為平行四邊形． ②若ABCD為矩形，則EFGH為菱形． ∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH． ∴四邊形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均為平行四邊形． ∴EH=AC=FG，EF=BD=GH． ∵四邊形ABCD為矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH． ∴四邊形EFGH為菱形． (3)當平行四邊形EFGH是矩形時，四邊形ABCD必須滿足：對角線互相垂直． 當平行四邊形EFGH是菱形時，四邊形ABCD必須滿足：對角線相等． 題七： 見詳解． 詳解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90， ∵在矩形ABCD中，M、N分別是AD、BC的中點，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN， 在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90，AM=CN，∴△MBA≌△NDC； (2)四邊形MPNQ是菱形． 理由如下：連接AP，MN， 則四邊形ABNM是矩形， ∴AN和BM互相平分，則A，P，N在同一條直線上， 易證：△ABN≌△BAM，∴AN=BM， ∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN， ∵P、Q分別是BM、DN的中點，∴PM=NQ， ∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP， ∴△MQD≌△NPB，∴四邊形MPNQ是平行四邊形， ∵M是AD中點，Q是DN中點，∴MQ=AN，∴MQ=BM， ∵MP=BM，∴MP=MQ，∴平行四邊形MQNP是菱形． 題八： 見詳解． 詳解：(1)四邊形ABCD是菱形； (2)∵△AMG沿AG折疊，使AM落在AC上， ∴∠MAD=∠DAC=∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=∠CAN， ∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠ACN， ∵四邊形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA， ∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA， ∴AD∥BC，AB∥DC，∴四邊形ABCD為平行四邊形， ∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四邊形ABCD為菱形． 題九： 見詳解． 詳解：(1)∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM， ∵M是CD的中點，∴DM=CM， ∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM； (2)當四邊形ABPQ是平行四邊形時，PB=AQ， ∵BC-CP=AD+QD，∴8-CP=5+CP，∴CP=(8-5)2=1.5， ∴當PC=1.5時，四邊形ABPQ是平行四邊形． 題十： 見詳解． 詳解：(1)∵點N只在AD上運動， ∴當點M運動到BC邊上的時候，點A、E、M、N才可能組成平行四邊形， 即2.5＜t＜7.5， 設經(jīng)過t秒，四點可組成平行四邊形．分兩種情形： ①當M點在E點右側， 如圖：此時AN=EM，則四邊形AEMN是平行四邊形， ∵DN= t，CM=2t -5，∴AN=10- t，EM=10- 4-(2t -5)， ∴10- t =10- 4-(2t -5)，解得：t =1， ∵2.5＜t＜7.5，∴t =1舍去； ②當M點在B點與E點之間，如圖， 則MC=2t -5，BM=10-(2t -5)=15-2t， ∴ME= 4-(15-2t)=2t -11，2t -11=10-t，解得t =7，此時符合， ∴當t =7秒時，點A、E、M、N組成平行四邊形； (2)動點M、N在運動的過程中，線段MN能經(jīng)過矩形ABCD的兩條對角線的交點，此時M在BC上，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO， 在△ANO和△CMO中，∠NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠， ∴△ANO≌△CMO(ASA)，∴AN=CM， 設N運動的時間是t秒，則10-t=2t -5，解得：t =5，即動點M、N在運動的過程中，線段MN能經(jīng)過矩形ABCD的兩條對角線的交點，此時運動的時間是5秒． 題十一： 8． 詳解：∵AD∥BC，∠A=120，∴∠ABC=180-120=60， ∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABC=60=30， 又∵∠ABC=∠DCB=60，∴∠BDC=180-30-60=90， ∴BC=2CD=24=8． 題十二： 18． 詳解：過D作DE∥AB，交CB于E點， 又∵AD∥CB，∴四邊形ABED是平行四邊形， ∴EB=AD=3，DE=AB=4， ∵CB=6，∴EC=BC-BE=6-3=3， ∵CD=5，∴CD2=DE2+CE2， ∴△DEC是直角三角形，∴∠DEC=90， ∴四邊形ABCD的面積是：(AD+CB)?DE=(3+6)4=18．