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2019-2020年高中數(shù)學 空間幾何體 板塊四 綜合問題完整講義（學生版） 典例分析 組合體 【例1】 （xx京春）一個底面半徑為的圓柱形量杯中裝有適量的水．若放入一個半徑為的實心鐵球，水面高度恰好升高，則 ． 【例2】 已知正四面體的表面積為，其四個面的中心分別為、、、，設(shè)四面體的表面積為，則等于（ ） A． B． C． D． 【例3】 有一個軸截面是邊長為的正方形的圓柱，將它的內(nèi)部挖去一個與它同底等高的圓錐，求余下來的幾何體的表面積與體積． 【例4】 棱長為1的正方體被以為球心，為半徑的球相截，則被截形體的表面積為（ ） A． B． C． D． 【例5】 已知正三棱錐，一個正三棱柱的上底面三頂點在棱錐的三條側(cè)棱上，下底面在正三棱錐的底面上，若正三棱錐的高為，底面邊長為，內(nèi)接正三棱柱的側(cè)面積為． ⑴求正三棱柱的高； ⑵求正三棱柱的體積； ⑶求棱柱上底面所截棱錐與原棱錐的側(cè)面積之比． 【例6】 （xx福建15） 若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的表面積是　　　?。? 【例7】 正方體全面積為，求它的外接球和內(nèi)切球的表面積． 【例8】 半球內(nèi)有一個內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長為，則球的表面積和體積的比為______． 【例9】 棱長為3的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為______． 【例10】 （xx年天津理12）一個長方體的各頂點均在同一球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為則此球的表面積． 【例11】 （xx浙江卷14）如圖，已知球的球面上四點、、、，平面，，，則球點體積等于__________ 【例12】 （xx全國文15）正四棱錐的底面邊長與各側(cè)棱長都為，點、、、、都在同一球面上，則該球的體積為_______． 【例13】 求球與它的外切圓柱、外切等邊圓錐的體積之比．（等邊圓錐是指軸截面是等邊三角形的圓錐） 【例14】 設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，求： ⑴內(nèi)接正方體的棱長； ⑵內(nèi)切球的表面積． 【例15】 圓臺的內(nèi)切球半徑為，且圓臺的全面積和球面積之比為，求圓臺的上，下底面半徑（）． 【例16】 一個倒圓錐形容器，它的軸截面是正三角形，在容器內(nèi)注入水，并放入一個半徑為的鐵球，這時水面恰好和球面相切．問將球從圓錐內(nèi)取出后，圓錐內(nèi)水平面的高是多少？ 【例17】 （xx全國卷I）直三棱柱的各頂點都在同一球面上，若，，則此球的表面積等于 ． 【例18】 （06四川卷文9）如圖，正四棱錐底面的四個頂點在球的同一個大圓上，點在球面上，如果，則球的表面積是（　） A． B． C． D． 【例19】 正四面體棱長為，求其外接球和內(nèi)切球的表面積． 【例20】 如圖所示，正四面體的外接球的體積為，求四面體的體積． 【例21】 （xx新課標海南寧夏文理） 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長為，那么這個球的體積為_________． 【例22】 如圖，在等腰梯形中，，為的中點，將 與分別沿向上折起，使重合于點，則三棱錐的外接球的體積（ ） A． B． C． D． 【例23】 （xx重慶理9）如圖，體積為的大球內(nèi)有個小球，每個小球的球面過大球球心且與大球球面有且只有一個交點，個小球的球心是以大球球心為中心的正方形的個頂點．為小球相交部分（圖中陰影部分）的體積，為大球內(nèi)、小球外的圖中黑色部分的體積，則下列關(guān)系中正確的是（ ） A． B． C． D． 【例24】 (xx全國Ⅱ，理12)將半徑都為的個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為( ) A． B． C． D． 綜合問題 與三視圖、直觀圖綜合 【例1】 若一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個正三棱柱的表面積為（　　） A． B． C． D． 【例25】 若一個正三棱柱的三視圖如圖所示，則這個正三棱柱的體積為_______． 【例26】 （xx寧夏海南卷理）一個棱錐的三視圖如圖，則該棱錐的全面積（單位：）為（ ） A． B． C． D． 【例27】 （xx年豐臺一模） 若一個正三棱柱的三視圖及其尺寸如下圖所示（單位：）， 則該幾何體的體積是 ． 【例28】 （xx石景山一模） 一個幾何體的三視圖如圖所示，那么此幾何體的側(cè)面積（單位：）為（ ） A． B． C． D． 【例29】 （xx年東城一模） 下圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 ． 【例30】 （xx年東城一模） 已知某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的表面積是（ ） A． B． C． D． 【例31】 （xx年宣武一模） 若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積是 ． 【例32】 右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是________． 【例33】 （xx年崇文一模） 有一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖（單位：），該幾何體的表面積和體積為（ ） A． B． C． D．以上都不正確 【例34】 （朝陽文題12） 如下圖所示，一個空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖是邊長為1的正方形，俯視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的全面積為 ． 【例35】 （xx天津高考）一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為 【例36】 （xx浙江高考）若某幾何體的三視圖（單位：）如圖所示，則此幾何體的體積是 ． 【例37】 （xx年崇文二模） 一個幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積等于（ ） A． B． C． D． 【例38】 （xx年朝陽二模） 一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積是 （ ） A． B． C． D． 【例39】 已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖（或稱主視圖）是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖（或稱左視圖）是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形． ⑴求該幾何體的體積； ⑵求該幾何體的側(cè)面積． 【例40】 已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸， 可得這個幾何體的體積是_______． 【例41】 （xx揚州中學高三期末）一個三棱錐的三視圖是三個直角三角形，如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為 ． 【例42】 （xx山東文理6）右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（ ） A． B． C． D． 【例43】 已知一個幾何體的主視圖及左視圖均是邊長為的正三角形，俯視圖是直徑為的圓，如圖，則此幾何體的外接球的表面積為 ． 【例44】 （xx新課標海南寧夏） 如下的三個圖中，上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出（單位：）． ⑴在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖； ⑵按照給出的尺寸，求該多面體的體積； ⑶在所給直觀圖中連結(jié)，證明：面． 【例45】 一個多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M、N分別是AF、BC的中點）． ⑴求證：MN∥平面CDEF； ⑵求多面體A—CDEF的體積． 其他問題 【例46】 已知一個全面積為24的正方體，有一個與每條棱都相切的球，此球的體積為 ． 【例47】 有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點．已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積（包括上下底面面積）超過39，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例48】 （xx年全國高考）一間民房的屋頂有如下圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜．記三種蓋法屋頂面積分別為、、．若屋頂斜面與水平面所成的角都是，則（　?。? A． B． C． D． 雜題 【例49】 （xx江西）如圖1，一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點．如果將容器倒置，水面也恰好過點（圖2）．有下列四個命題： A．正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半 B．將容器側(cè)面水平放置時，水面也恰好過點 C．任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經(jīng)過點 D．若往容器內(nèi)再注入升水，則容器恰好能裝滿 其中真命題的代號是： （寫出所有真命題的代號）． 【例50】 （xx年全國文最后一題）⑴給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明； ⑵試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大?。? ⑶如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請設(shè)計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明． 【例51】 （xx江蘇）兩相同的正四棱錐組成如圖所示的幾何體，可放棱長為的正方體內(nèi)，使正四棱錐的底面與正方體的某一個平面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ） A．個　　　　　B．個 C．個　　　　　D．無窮多個 【例52】 （06江西卷）如圖，在四面體中，截面經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個面都相切的球）球心，且與，分別截于、，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐與三棱錐的表面積分別是，，則必有（ ） A．　　B．　　 C．　　D．，的大小關(guān)系不能確定 【例53】 （xx福建，16）如圖，將邊長為的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器（如圖）． 當這個正六棱柱容器的底面邊長為 時，其容積最大． 【例54】 （xx全國Ⅱ，理12）將半徑都為的個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（ ） A． B． C． D． 【例55】 養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為，高．養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽．現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來大（高不變）；二是高度增加（底面直徑不變）． ⑴分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積； ⑵分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積； ⑶哪個方案更經(jīng)濟些？