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2019-2020年高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案函數(shù)問題的題型與方法一人教版 一、考試內(nèi)容 映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性；反函數(shù)、互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系；指數(shù)概念的擴(kuò)充、有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)；對數(shù)、對數(shù)的運算性質(zhì)、對數(shù)函數(shù) 函數(shù)的應(yīng)用舉例。 二、考試要求 1．了解映射的概念，理解函數(shù)的概念 2．了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法， 并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程。 3．了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會求一些簡單函數(shù)的反函數(shù)。 4．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。 5．理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。 6．能夠運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實際問題。 三、函數(shù)的概念型問題 函數(shù)概念的復(fù)習(xí)當(dāng)然應(yīng)該從函數(shù)的定義開始．函數(shù)有二種定義，一是變量觀點下的定義，一是映射觀點下的定義．復(fù)習(xí)中不能僅滿足對這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個函數(shù)關(guān)系是否相同等問題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問題中正確運用．具體要求是： 1．深化對函數(shù)概念的理解，明確函數(shù)三要素的作用，并能以此為指導(dǎo)正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系． 2．系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法．在熟練有關(guān)技能的同時，注意對換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運用． 3．通過對分段定義函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，抽象函數(shù)等的認(rèn)識，進(jìn)一步體會函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)，進(jìn)一步樹立運動變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛運用打好基礎(chǔ)． 本部分內(nèi)容的重點是不僅從認(rèn)識上，而且從處理函數(shù)問題的指導(dǎo)上達(dá)到從三要素總體上把握函數(shù)概念的要求，對確定函數(shù)三要素的常用方法有個系統(tǒng)的認(rèn)識，對于給出解析式的函數(shù)，會求其反函數(shù)． 本部分的難點首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識，真正明確不僅函數(shù)的對應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導(dǎo)．其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合． 函數(shù)的概念是復(fù)習(xí)函數(shù)全部內(nèi)容和建立函數(shù)思想的基礎(chǔ)，不能僅滿足會背誦定義，會做一些有關(guān)題目，要從聯(lián)系、應(yīng)用的角度求得理解上的深度，還要對確定函數(shù)三要素的類型、方法作好系統(tǒng)梳理，這樣才能進(jìn)一步為綜合運用打好基礎(chǔ)．復(fù)習(xí)的重點是求得對這些問題的系統(tǒng)認(rèn)識，而不是急于做過難的綜合題． ㈠深化對函數(shù)概念的認(rèn)識 例1．下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是　　　　　　　　　　（ ） 分析：處理本題有多種思路．分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因為過程太繁瑣． 從概念看，這里應(yīng)判斷對于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值，依據(jù)相應(yīng)的對應(yīng)法則，是否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對應(yīng)，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結(jié)合法作判斷，這是常用方法，請讀者自己一試． 此題作為選擇題還可采用估算的方法．對于D，y=3是其值域內(nèi)一個值，但若y=3，則可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)．于是決定本題選D． 說明：不論采取什么思路，理解和運用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問題的關(guān)鍵． 由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位，那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題． ㈡系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法 1．求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法 由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實際上是求使給定式有意義的x的取值范圍．它依賴于對各種式的認(rèn)識與解不等式技能的熟練．這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字 例2．已知函數(shù)定義域為(0，2)，求下列函數(shù)的定義域： 分析：x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量．由于f(x)，f(u)是同一個函數(shù)，故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范圍． 解：(1)由0＜x＜2， 得 說明：本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域．關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法．(2)是二種類型的綜合． 求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會涉及到． 2．求函數(shù)值域的基本類型和常用方法 函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的．其類型依解析式的特點分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運算”而得函數(shù)的值域． 3．求函數(shù)解析式舉例 例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由． 分析： 4x-9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當(dāng)然不能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)，但加上條件xy＜0呢？ 所以 因此能確定一個函數(shù)關(guān)系y=f(x)．其定義域為(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不難得到其值域為(-∞，0)∪(0，＋∞)． 說明：本例從某種程度上揭示了函數(shù)與解析幾何中方程的內(nèi)在聯(lián)系．任何一個函數(shù)的解析式都可看作一個方程，在一定條件下，方程也可轉(zhuǎn)化為表示函數(shù)的解析式．求函數(shù)解析式還有兩類問題： (1)求常見函數(shù)的解析式．由于常見函數(shù)(一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三角函數(shù))的解析式的結(jié)構(gòu)形式是確定的，故可用待定系數(shù)法確定其解析式．這里不再舉例． (2)從生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系的確定．這要把有關(guān)學(xué)科知識，生活經(jīng)驗與函數(shù)概念結(jié)合起來，舉例也宜放在函數(shù)復(fù)習(xí)的以后部分． 四、函數(shù)與方程的思想方法 函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問題的目的。 方程思想是：實際問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程問題。函數(shù)和多元方程沒有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)y＝f(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)－y＝0?？梢哉f，函數(shù)的研究離不開方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時需要重點考慮的。 函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。 (一)函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點內(nèi)容．在復(fù)習(xí)中要肯于在對定義的深入理解上下功夫． 復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化．具體要求是： 1．正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性． 2．從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法． 3．培養(yǎng)學(xué)生用運動變化的觀點分析問題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力． 這部分內(nèi)容的重點是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解． 函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論．函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．函數(shù)的單調(diào)性是對某個區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制． 對函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱．這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件．稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對稱性的反映． 這部分的難點是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運用．根據(jù)已知條件，調(diào)動相關(guān)知識，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對學(xué)生能力的較高要求． 1．對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解 例4．下面四個結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R)，其中正確命題的個數(shù)是　　 （　　　 ） A．1　　　　　　 B．2 C．3　　　　　　 D．4 分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，但不一定相交，因此③正確，①錯誤． 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，但不一定經(jīng)過原點，因此②不正確． 若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④錯誤，選A． 說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零． 2．復(fù)合函數(shù)的性質(zhì) 復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集． 復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律： (1)單調(diào)性規(guī)律 如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間［m，n］上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是單調(diào)函數(shù)，那么 若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù)；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=f[g(x)]為減函數(shù)． (2)奇偶性規(guī)律 若函數(shù)g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關(guān)于原點對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時，y=f[g(x)]是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時，y= f[g(x)]是偶函數(shù)． 例5．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ?。? A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞) 分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：①使log(2-ax)有意義，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)．由于所給函數(shù)可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0時為減函數(shù)，所以必須a＞1；③[0，1]必須是y=log(2-ax)定義域的子集． 解法一：因為f(x)在［0，1］上是x的減函數(shù)，所以f(0)＞f(1)， 即log2＞log(2-a)． 解法二：由對數(shù)概念顯然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是減函數(shù)，y= logu應(yīng)為增函數(shù)，得a＞1，排除A，C，再令 故排除D，選B． 說明：本題為1995年全國高考試題，綜合了多個知識點，無論是用直接法，還是用排除法都需要概念清楚，推理正確． 3．函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運用 例6．甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km／h，已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km／h)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元． (1)把全程運輸成本y(元)表示為速度v(km／h)的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域； (2)為了使全程運輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛． 分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運輸成本=單位時間運輸成本全程運輸時間，而全程運輸時間=(全程距離)(平均速度)就可以解決． 故所求函數(shù)及其定義域為 但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckm／h，所以(2)的解決需要 論函數(shù)的增減性來解決． 由于vv＞0，v-v＞0，并且 又S＞0，所以即 則當(dāng)v=c時，y取最小值． 說明：此題是1997年全國高考試題．由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大． （二）函數(shù)的圖象 1．掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法——描點法和圖象變換法． 2．會利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題． 3．用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題． 4．掌握知識之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力． 以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節(jié)的重點． 運用描點法作圖象應(yīng)避免描點前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點成線．要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處．這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究．而這個研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個難點．用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換．這也是個難點． 1．作函數(shù)圖象的一個基本方法 例7．作出下列函數(shù)的圖象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|． 分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點有些困難，除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對已知解析式進(jìn)行等價變形． 解：(1)當(dāng)x≥2時，即x-2≥0時， 當(dāng)x＜2時，即x-2＜0時， 這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見圖6) (2)當(dāng)x≥1時，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x； 當(dāng)0＜x＜1時，lgx＜0， 所以 這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出．(見圖7) 說明：作不熟悉的函數(shù)圖象，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價，要特別注意x，y的變化范圍．因此必須熟記基本函數(shù)的圖象．例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖象． 在變換函數(shù)解析式中運用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想． 2．作函數(shù)圖象的另一個基本方法——圖象變換法． 一個函數(shù)圖象經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q(如平移、伸縮、對稱、旋轉(zhuǎn)等)，得到另一個與之相關(guān)的圖象，這就是函數(shù)的圖象變換． 在高中，主要學(xué)習(xí)了三種圖象變換：平移變換、伸縮變換、對稱變換． (1)平移變換 函數(shù)y=f(x+a)(a≠0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|個單位而得到； 函數(shù)y=f(x)+b(b≠0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|個單位而得到． (2)伸縮變換 函數(shù)y=Af(x)(A＞0，A≠1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的縱坐標(biāo)伸長(A＞1)或縮短(0＜A＜1)成原來的A倍，橫坐標(biāo)不變而得到． 函數(shù)y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上 而得到． (3)對稱變換 函數(shù)y=-f(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱的圖形而得到． 函數(shù)y=f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱的圖形而得到． 函數(shù)y=-f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱的圖形而得到． 函數(shù)y=f-1(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的圖形而得到。 函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)在y軸右方的圖象及其與y軸對稱的圖形而得到． 函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象，然后把在x軸下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余部分保持不變而得到． 例8．已知f(x+199)=4x＋4x+3(x∈R)，那么函數(shù)f(x)的最小值為____． 分析：由f(x＋199)的解析式求f(x)的解析式運算量較大，但這里我們注意到，y=f(x ＋100)與y=f(x)，其圖象僅是左右平移關(guān)系，它們?nèi)〉? 求得f(x)的最小值即f(x＋199)的最小值是2． 說明：函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)本身在學(xué)習(xí)中也是密切聯(lián)系的，是“互相利用”關(guān)系，函數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性及求最值等方面都有重要用途． 五、函數(shù)綜合應(yīng)用 函數(shù)的綜合復(fù)習(xí)是在系統(tǒng)復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行函數(shù)的綜合應(yīng)用: 1．在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識．在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識經(jīng)歷一個由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過程．這個過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在應(yīng)用深化基礎(chǔ)知識的同時，使基礎(chǔ)知識向深度和廣度發(fā)展． 2．以數(shù)學(xué)知識為載體突出數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識．函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想．此外還應(yīng)注意在解題中運用的分類討論、換元等思想方法．解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行一系列等價轉(zhuǎn)化或非等價轉(zhuǎn)化．因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 3．重視綜合運用知識分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng)．函數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開始，還不可能在大范圍內(nèi)綜合運用知識．但從復(fù)習(xí)開始就讓學(xué)生樹立綜合運用知識解決問題的意識是十分重要的．推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，近幾年高考命題中加強(qiáng)對這方面的考查，尤其是對代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的．本課題在例題安排上作了這方面的考慮． 具體要求是： 1．在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念，全面把握各類函數(shù)的特征，提高運用基礎(chǔ)知識解決問題的能力． 2．掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運用和推理論證能力的培養(yǎng)． 3．初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識的橫向聯(lián)系，提高綜合運用知識解決問題的能力． 4．樹立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運動變化的觀點分析問題． 本部分內(nèi)容的重點是：通過對問題的講解與分析，使學(xué)生能較好的調(diào)動函數(shù)的基礎(chǔ)知識解決問題，并在解決問題中深化對基礎(chǔ)知識的理解，深化對函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的理解與運用． 難點是：函數(shù)思想的理解與運用，推理論證能力、綜合運用知識解決問題能力的培養(yǎng)與提高． 函數(shù)的綜合運用主要是指運用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題．函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系．因此，運動變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識是運用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識是運用函數(shù)思想的關(guān)鍵． 1．準(zhǔn)確理解、熟練運用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識 在中學(xué)階段函數(shù)只限于定義在實數(shù)集合上的一元單值函數(shù)，其內(nèi)容可分為兩部分．第一部分是函數(shù)的概念和性質(zhì)，這部分的重點是能從變量的觀點和集合映射的觀點理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握描述函數(shù)性質(zhì)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七類常見函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性質(zhì)．第一部分是理論基礎(chǔ)，第二部分是第一部分的運用與發(fā)展． 例9．已知函數(shù)f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所含元素的個數(shù)是．（　　　 ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言．從函數(shù)觀點看，問題是求函數(shù)y=f(x)，x∈F的圖象與直線x=1的交點個數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點是1個，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因為函數(shù)是由定義域、值域、對應(yīng)法則三要素組成的．這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1∈F時有1個交點，當(dāng)1 F時沒有交點，所以選C． 2．掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力 高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了，對一些典型問題的研究十分重視，如求函數(shù)的定義域，確定函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等，并形成了研究這些問題的初等方法，這些方法對分析問題能力，推理論證能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的． 函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的．對于函數(shù)f(x)與g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式，因此對于某些方程、不等式的問題用函數(shù)觀點認(rèn)識是十分有益的；方程、不等式從另一個側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具． 例10．方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為（　　　 ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，+∞) 分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)．它們的交點橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D．至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實際上這是要比較與2的大?。?dāng)x=2時，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C． 說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間．?dāng)?shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫．不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷． 例11．(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，試證明之； (2)試用上面結(jié)論證明下面的命題： 若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則ab+bc+ca＞-1． 分析：問題(1)實質(zhì)上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若區(qū)間兩個端點的函數(shù)值均為正，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的．因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手． (1)證明： 當(dāng)k＞0時，函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是增函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0； 當(dāng)k＜0時，函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是減函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0． 所以對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立． (2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1．則 f(a)=(b+c)a+bc+1． 當(dāng)b+c=0時，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1． 因為|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0． 當(dāng)b+c≠0時，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù)． 因為|b|＜1，|c|＜1， f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0． 由問題(1)對于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0． 說明：問題(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”．把證明ab+bc+ca＞-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是對稱的，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，則f(a)=(b+c)a+bc+1，問題轉(zhuǎn)化為在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的條件下證明f(a)＞0．(也可構(gòu)造 f(x)=(a+c)x+ac+1，證明f(b)＞0)。 例12．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求證f(x)為奇函數(shù)； (2)若f(k3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍． 分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明． (1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　?、? 令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0． 令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有 0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)． (2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)． f(k3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k3＜-3+9+2， 3-(1+k)3+2＞0對任意x∈R成立． 令t=3＞0，問題等價于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立． R恒成立． 說明：問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對于任意t＞0恒成立．對二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解．本題還有更簡捷的解法： 分離系數(shù)由k3＜-3+9+2得 上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎． 六、強(qiáng)化訓(xùn)練 1．對函數(shù)作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是 ( ) A． B． C．g(t)=(t－1)2 D．g(t)=cost 2．方程f(x,y)=0的曲線如圖所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲線是 ( ) 3．已知命題p：函數(shù)的值域為R，命題q：函數(shù) 是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是 A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<2 C．1m(x－1)對滿足|m|≤2的一切實數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。 16. 設(shè)等差數(shù)列{a}的前n項的和為S，已知a＝12，S>0，S<0 。 ①.求公差d的取值范圍； ②.指出S、S、…、S中哪一個值最大，并說明理由。(1992年全國高考) P M A H B D C 17. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點，設(shè)∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求異面直線PB和AC的距離。 18. 已知△ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tanAtanC＝2＋，又知頂點C的對邊c上的高等于4,求△ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。 19. 設(shè)f(x)＝lg，如果當(dāng)x∈(-∞,1]時f(x)有意義，求 實數(shù)a的取值范圍。 20．已知偶函數(shù)f(x)=cosqsinx－sin(x－q)+(tanq－2)sinx－sinq的最小值是0，求f(x)的最大值 及此時x的集合． 21．已知，奇函數(shù)在上單調(diào)． （Ⅰ）求字母應(yīng)滿足的條件； （Ⅱ）設(shè)，且滿足，求證：． 七、參考答案 1．不改變f(x)值域，即不能縮小原函數(shù)定義域。選項B，C，D均縮小了的定義域，故選A。 2．先作出f(x,y)=0關(guān)于軸對稱的函數(shù)的圖象，即為函數(shù)f(-x,y)=0的圖象，又 f(2－x,y)=0即為，即由f(-x,y)=0向右平移2個單位。故選C。 3．命題p為真時，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q為真時，。 若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個是真命題，一個是假命題。 若p為真，q為假時，無解；若p為假，q為真時，結(jié)果為10），則＋＝，解出x＝2，再用萬能公式，選A； 8．利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)S＝S＝m，＝x，則（,p）、(,q)、 (x，p+q)在同一直線上，由兩點斜率相等解得x＝0，則答案：0； 9．設(shè)cosx＝t，t∈[-1,1]，則a＝t－t－1∈[－,1]，所以答案：[－,1]； 10．設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h＝2，答案：24； 11．設(shè)長x，則寬，造價y＝4120＋4x80＋80≥1760，答案：1760。 12．運用條件知：=2，且 ==16 13．依題意可知，從而可知，所以有 ，又為正整數(shù)，取，則 ，所以，從而，所以，又，所以，因此有最小值為。 下面可證時，，從而，所以, 又,所以,所以,綜上可得:的最小值為11。 14．分析:這是有關(guān)函數(shù)定義域、值域的問題，題目是逆向給出的，解好本題要運用復(fù)合函數(shù)，把f(x)分解為u=ax+2x+1和y=lgu 并結(jié)合其圖象性質(zhì)求解． 切實數(shù)x恒成 立． a=0或a＜0不合題意， 解得a＞1． 當(dāng)a＜0時不合題意； a=0時，u=2x+1，u能取遍一切正實數(shù)； a＞0時，其判別式Δ=22-4a1≥0，解得0＜a≤1． 所以當(dāng)0≤a≤1時f(x)的值域是R． 15．分析：此問題由于常見的思維定勢，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的問題。對此的研究，設(shè)f(m)＝(x－1)m－(2x－1)，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒為負(fù)值時參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件。 解：問題可變成關(guān)于m的一次不等式：(x－1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立，設(shè)f(m)＝(x－1)m－(2x－1), 則 解得x∈（,） 說明 本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問題。本題有別于關(guān)于x的不等式2x－1>m(x－1)的解集是[-2,2]時求m的值、關(guān)于x的不等式2x－1>m(x－1)在[-2,2]上恒成立時求m的范圍。 一般地，在一個含有多個變量的數(shù)學(xué)問題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題更明朗化。或者含有參數(shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問題。 16．分析： ①問利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；②問利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時S取最大值的函數(shù)最值問題。 解：① 由a＝a＋2d＝12,得到a＝12－2d，所以 S＝12a＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0， S＝13a＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。 解得：－0、a<0 ，即：由d<0知道a>a>…>a，由S＝13a<0得a<0，由S＝6(a＋a)>0得a>0。所以，在S、S、…、S中，S的值最大。 P M A H B D C 17．分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。 解：在PB上任取一點M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H， 設(shè)MH＝x，則MH⊥平面ABC，AC⊥HD 。 ∴MD＝x＋[(2r－x)sinθ]＝(sin＋1)x－4rsinθ x＋4rsinθ＝(sinθ＋1)[x－]＋ 即當(dāng)x＝時，MD取最小值為兩異面直線的距離。 說明：本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問題變成代數(shù)中的“函數(shù)問題”。一般地，對于求最大值、最小值的實際問題，先將文字說明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言后，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)、重要不等式和有關(guān)知識進(jìn)行解答。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子。 18．分析：已知了一個積式，考慮能否由其它已知得到一個和式，再用方程思想求解。 解： 由A、B、C成等差數(shù)列，可得B＝60； 由△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，得 tanA＋tanC＝tanB(tanAtanC－1)＝ (1＋) 設(shè)tanA、tanC是方程x－(＋3)x＋2＋＝0的兩根，解得x＝1，x＝2＋ 設(shè)A0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式問題。 解：由題設(shè)可知，不等式1＋2＋4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立， 即：()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。 設(shè)t＝(), 則t≥， 又設(shè)g(t)＝t＋t＋a，其對稱軸為t＝－ ∴ t＋t＋a＝0在[,+∞)上無實根， 即 g()＝()＋＋a>0，得a>－ 所以a的取值范圍是a>－。 說明：對于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡了不等式后，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進(jìn)行解決問題，其中也聯(lián)系到了方程無解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想。一般地，我們在解題中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系，將問題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。 在解決不等式()＋()＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的問題時，也可使用“分離參數(shù)法”： 設(shè)t＝(), t≥，則有a＝－t－t∈(－∞,－]，所以a的取值范圍是a>－。其中最后得到a的范圍，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用“函數(shù)思想”。 20．解：f(x)=cosqsinx－(sinxcosq－cosxsinq)+(tanq－2)sinx－sinq =sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq 因為f(x)是偶函數(shù)， 所以對任意xR，都有f(－x)=f(x)， 即sinqcos(－x)+(tanq－2)sin(－x)－sinq=sinqcosx+(tanq－2)sinx－sinq, 即(tanq－2)sinx=0， 所以tanq=2 由 解得或 此時，f(x)=sinq(cosx－1). 當(dāng)sinq=時，f(x)=(cosx－1)最大值為0，不合題意最小值為0，舍去； 當(dāng)sinq=時，f(x)=(cosx－1)最小值為0， 當(dāng)cosx=－1時，f(x)有最大值為, 自變量x的集合為{x|x=2kp+p,kZ}． 21．解：（1）；．， 若上是增函數(shù)，則恒成立，即 若上是減函數(shù)，則恒成立，這樣的不存在． 綜上可得：． （2）（證法一）設(shè)，由得，于是有，（1）－（2）得：，化簡可得 ，，，故，即有． （證法二）假設(shè)，不妨設(shè)，由（1）可知在 上單調(diào)遞增，故， 這與已知矛盾，故原假設(shè)不成立，即有．