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2019-2020年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)方法3.2填空題的解法教學(xué)案文 填空題的特征：填空題是不要求寫出計(jì)算或推理過程，只需要將結(jié)論直接寫出的“求解題”．填空題與選擇題也有質(zhì)的區(qū)別：第一，填空題沒有備選項(xiàng)，因此，解答時(shí)有不受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個(gè)正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容(既可以是條件，也可以是結(jié)論)，留下空位，讓考生獨(dú)立填上，考查方法比較靈活． 從歷年高考成績(jī)看，填空題得分率一直不是很高，因?yàn)樘羁疹}的結(jié)果必須是數(shù)值準(zhǔn)確、形式規(guī)范、表 達(dá)式最簡(jiǎn)，稍有毛病，便是零分．因此，解填空題要求在“快速、準(zhǔn)確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計(jì)算過程，因此要想“快速”解答填空題，則千萬(wàn)不可“小題大做”，而要達(dá)到“準(zhǔn)確”，則必須合理靈活地運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒?，在“巧”字上下功夫? 2． 解填空題的基本原則：解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空題的常用方法有：直接法、數(shù)形結(jié)合法、特殊化法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、合情推理法等． 【方法要點(diǎn)展示】 方法一　直接法：直接法就是從題干給出的條件出發(fā)，運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí)，通過變形、推理、計(jì)算等，直接得出結(jié)論．這種策略多用于一些定性的問題，是解填空題最常用的策略．這類填空題是由計(jì)算題、應(yīng)用題、證明題、判斷題改編而成的，可直接從題設(shè)的條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)公式、公理、定理、法則等通過準(zhǔn)確的運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?、合理的?yàn)證得出正確的結(jié)論，使用此法時(shí)，要善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)，自覺地、有意識(shí)地采用靈活、簡(jiǎn)捷的解法． 例1函數(shù)，的定義域都是，直線（），與，的圖象分別交于，兩點(diǎn)，若的值是不等于的常數(shù)，則稱曲線，為“平行曲線”，設(shè)（，），且，為區(qū)間的“平行曲線”，，在區(qū)間上的零點(diǎn)唯一，則的取值范圍是 ． 思路分析：本題是一道函數(shù)的新定義問題，函數(shù)與方程，可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性來解的參數(shù)，從而得到關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式可求出參數(shù)的取值范圍. 【答案】. 唯一零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)等價(jià)于，即，即的取值范圍是. 點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義問題、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，以及學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力及運(yùn)算能力，屬難題；高考對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的考查多以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)或方程的根所在區(qū)間求參數(shù)的范圍應(yīng)分三步：1.判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.利用函數(shù)存在性定理，得到參數(shù)所滿足的不等式；3.解不等式求參數(shù)范圍. 例2【廣西南寧市xx屆期末】分別是雙曲線 的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線分別交于點(diǎn)（點(diǎn)在右支上），若為等邊三角形，則雙曲線的方程為__________． 思路分析：本題是雙曲線的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)條件求出 的關(guān)系是解題的關(guān)鍵． 【答案】 【規(guī)律總結(jié)】直接法是解決計(jì)算型填空題最常用的方法，在計(jì)算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應(yīng)用，將計(jì)算過程簡(jiǎn)化從而得到結(jié)果，這是快速準(zhǔn)確地求解填空題的關(guān)鍵． 【舉一反三】 1.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，有，則 ． 【答案】4 【解析】，又等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以. 2. 為的邊上一點(diǎn)，，過點(diǎn)的直線分別交直線于，若，其中，則________． 【答案】3 【解析】因?yàn)?，所? 方法二　特例法 當(dāng)填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值(或特殊函數(shù)，或特殊角，特殊數(shù)列，圖形特殊位置，特殊點(diǎn)，特殊方程，特殊模型等)進(jìn)行處理，從而得出待求的結(jié)論．這樣可大大地簡(jiǎn)化推理、論證的過程． 例3已知函數(shù)（）為奇函數(shù)，則 . 思路分析：根據(jù)奇函數(shù)的特點(diǎn)，帶入特殊值即可求出的值. 【答案】 【規(guī)律總結(jié)】求值或比較大小等問題的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此種方法僅限于求解結(jié)論只有一種的填空題，對(duì)于開放性的問題或者有多種答案的填空題，則不能使用該種方法求解．本題中的發(fā)現(xiàn)函數(shù)過一個(gè)定點(diǎn)是本題的運(yùn)用特值法的前提條件，從而減少了計(jì)算量． 【舉一反三】 1. 　如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD，垂足為P，且AP＝3，則＝________. 【答案】 【解析】把平行四邊形ABCD看成正方形，則P點(diǎn)為對(duì)角線的交點(diǎn)，AC＝6，則＝18. 方法三　數(shù)形結(jié)合法 對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以借助圖形的直觀性，迅速作出判斷，簡(jiǎn)捷地解決問題，得出正確的結(jié)果，Venn圖、三角函數(shù)線、函數(shù)的圖象及方程的曲線等，都是常用的圖形． 例4若滿足，則的最小值為 ． 思路分析：本題是一道線性規(guī)劃問題，作出圖像，結(jié)合圖像即可． 【答案】 【規(guī)律總結(jié)】圖解法實(shí)質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的思想方法在解決填空題中的應(yīng)用，利用圖形的直觀性并結(jié)合所學(xué)知識(shí)便可直接得到相應(yīng)的結(jié)論，這也是高考命題的熱點(diǎn)．準(zhǔn)確運(yùn)用此類方法的關(guān)鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用幾何圖形中的相關(guān)結(jié)論求出結(jié)果． 【舉一反三】 1. 【湖南省郴州市一中xx屆高三十二月月考】點(diǎn)分別是函數(shù)、圖像上的點(diǎn)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱是一對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.已知， ，則函數(shù)、圖像上的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”有__________ 對(duì)． 【答案】2 方法四　構(gòu)造法 構(gòu)造型填空題的求解，需要利用已知條件和結(jié)論的特殊性構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)模型，從而簡(jiǎn)化推理與計(jì)算過程，使較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得到簡(jiǎn)捷的解決，它來源于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法的積累，需要從一般的方法原理中進(jìn)行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到過的類似問題中尋找靈感，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)、概率、幾何等具體的數(shù)學(xué)模型，使問題快速解決． 例5 已知奇函數(shù)定義域?yàn)闉槠鋵?dǎo)函數(shù),且滿足以下條件①時(shí),；②；③,則不等式的解集為 . 思路分析：本題是一道函數(shù)問題，由條件可構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性即可求解． 【答案】 【解析】時(shí)，令，又為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，因?yàn)椋?，，從而解集? 點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造. 構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造等 【舉一反三】 1. 【華大新高考聯(lián)盟xx屆1月】設(shè)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），當(dāng)時(shí)， 恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________． 【答案】 方法五　歸納推理法 做關(guān)于歸納推理的填空題的時(shí)候，一般是由題目的已知可以得出幾個(gè)結(jié)論(或直接給出了幾個(gè)結(jié)論)，然后根據(jù)這幾個(gè)結(jié)論可以歸納出一個(gè)更一般性的結(jié)論，再利用這個(gè)一般性的結(jié)論來解決問題．歸納推理是從個(gè)別或特殊認(rèn)識(shí)到一般性認(rèn)識(shí)的推演過程，這里可以大膽地猜想． 例6圖中是應(yīng)用分形幾何學(xué)做出的一個(gè)分形規(guī)律圖，按照?qǐng)D甲所示的分形規(guī)律可得圖乙所示的一個(gè)樹形圖，我們彩用 “坐標(biāo)”來表示圖乙各行中的白圈黑圈的個(gè)數(shù)（橫坐標(biāo)表示白圈的個(gè)數(shù)，縱坐標(biāo)表示黑圈的個(gè)數(shù)）比如第一行記為，第二行記為，第三行記為，照此下去，第四行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”為_________． 思路分析：本題中如何求出第四行中白圈與黑圈的“坐標(biāo)”是解題的一個(gè)關(guān)鍵，也是一個(gè)難點(diǎn)，觀察所給條件不難發(fā)現(xiàn)運(yùn)用特殊到一般的規(guī)律進(jìn)行處理，進(jìn)而求解． 【答案】 【規(guī)律總結(jié)】這類問題是近幾年高考的熱點(diǎn)．解決這類問題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)歸納對(duì)象．如本題把函數(shù)的前幾個(gè)值一一列舉出來．觀察前面列出的函數(shù)值的規(guī)律，歸納猜想一般結(jié)論或周期，從而求得問題． 【舉一反三】 1.所有真約數(shù)（除本身之外的正約數(shù)）的和等于它本身的正整數(shù)叫做完全數(shù)（也稱為完備數(shù)、完美數(shù)）.如：；；.此外，它們都可以表示為2的一些連續(xù)正整數(shù)次冪之和.如，，……，按此規(guī)律，可表示為 ． 【答案】 【解析】因?yàn)?，又由，解得．所以＝? 從考試的角度來看，解填空題只要做對(duì)就行，不需要中間過程，正因?yàn)椴恍枰虚g過程，出錯(cuò)的概率大大增加.我們要避免在做題的過程中產(chǎn)生筆誤，這種筆誤很難糾錯(cuò)，故解填空題要注意以下幾個(gè)方面： (1)要認(rèn)真審題，明確要求，思維嚴(yán)謹(jǐn)、周密，計(jì)算有據(jù)、準(zhǔn)確. (2)要盡量利用已知的定理、性質(zhì)及已有的結(jié)論. (3)要重視對(duì)所求結(jié)果的檢驗(yàn). (4)注意從不同的角度分析問題，從而比較用不同的方法解決題目的速度與準(zhǔn)確度，從而快速切題，達(dá)到準(zhǔn)確解題的目的. 填空題的主要特征是題目小，跨度大，知識(shí)覆蓋面廣，形式靈活，突出考查考生準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)、全面、靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.近年來填空題作為命題組改革實(shí)驗(yàn)的一個(gè)窗口，出現(xiàn)了一些創(chuàng)新題，如閱讀理解型、發(fā)散開放型、多項(xiàng)選擇型、實(shí)際應(yīng)用型等，這些題型的出現(xiàn)，使解填空題的要求更高、更嚴(yán)了.