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2019-2020年高中數(shù)學 第2章 解三角形 3 解三角形的實際應(yīng)用舉例 第2課時 角度和物理問題同步練習 北師大版必修5 一、選擇題 1．在某次高度測量中，在A處測得B點的仰角為60，在同一鉛垂平面內(nèi)測得C點的俯角為70，則∠BAC等于(　　) A．10　　　　　　　　 B．50 C．120　 D．130 [答案]　D [解析]　如圖，可知∠BAC＝130 2．某人向正東方向走x km后，他向右轉(zhuǎn)150，然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好 km，那么x的值為(　　) A.　　　　　　　 B．2 C．2或　 D．3 [答案]　C [解析]　由題意畫出三角形如下圖．則∠ABC＝30， 由余弦定理得，cos30＝，∴x＝2或. 3．(xx三亞高二檢測)兩燈塔A，B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在C的北偏東30，B在C的南偏東60，則A，B之間距離為(　　) A.akm　 B.akm C．a(chǎn)km　 D．2akm [答案]　A [解析]　△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90，AB＝a. 4．甲船在島B的正南A處，AB＝10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時，乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)ィ敿住⒁覂纱嗑嘧罱鼤r，它們所航行的時間是(　　) A.分鐘　 B.小時 C．21.5分鐘　 D．2.15分鐘 [答案]　A [解析]　設(shè)行駛xh后甲到點C，乙到點D，兩船相距ykm，則∠DBC＝180－60＝120. ∴y2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)6xcos120＝28x2－20x＋100＝28(x－)2－＋100， ∴當x＝小時＝分鐘，y2有最小值，∴y最?。? 5．如圖所示，B、C、D三點在地面同一直線上，DC＝a，從C、D兩點測得A點的仰角分別為β、α(α＜β)，則A點離地面的高AB等于(　　) A.　　　 B. C.　 D. [答案]　A [解析]　由tanα＝，tanβ＝，聯(lián)立解得AB＝. 6．一質(zhì)點受到平面上的三個力、、(單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知、成60角，且、的大小分別為2和4，則的大小為(　　) A．6　 B．2 C．2　 D．2 [答案]　D [解析]　由題意，得＋＋＝0， ∴＋＝－， ∴(＋)2＝2， ∴2＋2＋2＝2， ∴4＋16＋224cos60＝2， ∴2＝28，∴||＝2.故選D. 二、填空題 7．如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75處，且與它相距8 n mile.此船的航速是________n mile/h. [答案]　32 [解析]　設(shè)船的航速為vn mile/h，在△ABS中，AB＝v，BS＝8，∠BSA＝45， 由正弦定理得：＝， ∴v＝32. ∴此船的航速為32n mile/h. 8．在靜水中劃船的速度是每分鐘40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達對岸，那么船前進的方向指向河流的上游并與河岸垂直的方向所成的角為________． [答案]　30 [解析]　水流速度與船速的合速度為v，方向指向河岸，如圖 由題意可知sinα＝＝＝ ∴α＝30. 三、解答題 9．如圖所示，海中一小島周圍3.8n mile內(nèi)有暗礁，一船從A由西向東航行望見此島在北75東．船行8n mile后，望見此島在北60東，如果該船不改變航向繼續(xù)前進，有沒有觸礁的危險． [解析]　在△ABC中，AC＝8，∠ACB＝90＋60＝150，∠CAB＝90－75＝15，∴∠ABC＝15. ∴△ABC為等腰三角形，BC＝AC＝8，在△BCD中，∠BCD＝30，BC＝8，∴BD＝BCsin30＝4>3.8.故該船沒有觸礁危險． 10．海島O上有一座海拔1km的山，山頂設(shè)有一觀察站A，上午11時測得一輪船在島的北偏東60的C處，俯角為30，11時10分，又測得該船在島的北偏西60的B處，俯角為60. (1)求該船的速度； (2)若此船以不變的船速繼續(xù)前進，則它何時到達島的正西方向？此時輪船所在點E離海島O的距離是多少千米？ [解析]　(1)如圖，在Rt△AOB和Rt△AOC中，OB＝OAcot60＝，OC＝OAcot30＝， 在△BOC中，由余弦定理得 BC＝＝. ∵由C到B用的時間為＝(小時)， ∴該船的速度為＝2(千米/小時)． (2)在△OBC中，由余弦定理，得 cos∠OBC＝＝， ∴sin∠OBC＝＝. ∴sin∠OEB＝sin(∠OBE＋∠EOB) ＝sin∠OBEcos∠EOB＋cos∠OBEsin∠EOB＝. 在△BEO中，由正弦定理得 OE＝＝， BE＝＝. ∴從B到E所需時間為： 2＝(小時)＝5(分鐘)． 故船速為2千米/小時，該船于11時15分到達島的正西方向，此時E離海島O的距離是1.5千米. 一、選擇題 1．如下圖所示，一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為(　　) A.海里/小時　　　 B．34海里/小時 C.海里/小時　 D．34海里/小時 [答案]　A [解析]　由題意知PM＝68，∠MPN＝120，∠N＝45， 由正弦定理知＝?MN＝68＝34， ∴速度為＝(海里/小時)． 2．如圖所示，有一廣告氣球，直徑為6m，放在公司大樓上空，當行人仰望氣球中心時，測得仰角∠BAC＝30時，氣球的視角β＝1，若θ很小時可取sinθ≈θ，試估算該氣球的高BC的值約為(　　) A．72m　 B．86m C．102m　 D．118m [答案]　B [解析]　過C作CD⊥AD于D，在Rt△ADC中，先求AC的長， ∵sinβ＝， ∴AC＝＝≈＝， 再在Rt△ABC中求BC， BC＝ACsin30＝≈86(m)． 3．渡輪以15km/h的速度沿與水流方向成120角的方向行駛，水流速度為4km/h，則渡輪實際航行的速度為(精確到0.1km/h)(　　) A．14.5km/h　 B．15.6km/h C．13.5km/h　 D．11.3km/h [答案]　C [解析]　由物理學知識， 畫出示意圖，如圖．AB＝15，AD＝4， ∠BAD＝120.在?ABCD中，D＝60， 在△ADC中，由余弦定理，得 AC＝ ＝＝≈13.5(km/h)． 故選C. 4．有一長為10m的斜坡，傾斜角為75，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30，則坡底要延長的長度(單位：m)是(　　) A．5　 B．10 C．10　 D．10 [答案]　C [解析]　如圖，設(shè)將坡底加長到B′時，傾斜角為30， 在△ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的長度． 在△ABB′中，∠B′＝30， ∠BAB′＝75－30＝45，AB＝10m， 由正弦定理，得 BB′＝＝＝10(m)． ∴坡底延伸10m時，斜坡的傾斜角將變?yōu)?0. 二、填空題 5．一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4h后，船到達B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為________km. [答案]　30 [解析]　如圖，依題意有AB＝154＝60，∠MAB＝30，∠AMB＝45，在三角形AMB中，由正弦定理得＝， 解得BM＝30(km)． 6．在燈塔上面相距50米的兩點A、B，測得海內(nèi)一出事漁船的俯角分別為45和60，試計算該漁船離燈塔的距離________． [答案]　25(＋1)(米) [解析]　由題意，作出圖形如圖所示， 設(shè)出事漁船在C處，根據(jù)在A處和B處測得的俯角分別為45和60， 可知∠CBD＝30，∠BAC＝45＋90＝135， ∴∠ACB＝180－135－30＝15， 又AB＝50，在△ABC中，由正弦定理，得＝， ∴AC＝＝＝25(＋)(米)． ∴出事漁船離燈塔的距離 CD＝AC＝＝25(＋1)(米)． 三、解答題 7．A、B是海平面上的兩個點，相距800 m，在A點測得山頂C的仰角為45，∠BAD＝120，又在B點測得∠ABD＝45，其中D是點C到水平面的垂足，求山高CD. [解析]　如圖，由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可． 在△ABD中，∠BDA＝180－45－120＝15， 由＝， 得AD＝＝＝800(＋1)(m)． ∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45， ∴CD＝AD＝800(＋1)≈2 186(m)． 答：山高CD為2 186 m. 8．如圖所示，A、B兩個小島相距21n mile，B島在A島的正南方，現(xiàn)在甲船從A島出發(fā)，以9n mile/h的速度向B島行駛，而乙船同時以6n mile/h的速度離開B島向南偏東60方向行駛，問行駛多少時間后，兩船相距最近，并求出兩船的最近距離． [解析]　行駛t小時后，甲船行駛了9tn mile到達C處，乙船行駛了6tn mile到達D處．當9t<21，即t<時，C在線段AB上，此時BC＝21－9t，在△BCD中，BC＝21－9t，BD＝6t，∠CBD＝180－60＝120，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BCBDcos120 ＝(21－9t)2＋(6t)2－2(21－9t)6t(－) ＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189. ∴當t＝2時，CD取得最小值＝3. 當t＝時，C與B重合，此時CD＝6＝14>3. 當t>時，BC＝9t－21，則CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2(9t－21)6tcos60＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189>189. 綜上可知，t＝2時，CD取最小值3，故行駛2h后，甲、乙兩船相距最近為3n mile.