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2019-2020年中考中的數(shù)學(xué)思想方法《分類討論思想》(方法指導(dǎo)及例題解析) 一、概述： 當(dāng)我們面對(duì)一大堆雜亂的人民幣時(shí)，我們一般會(huì)先分10元，5元，2元，1元，5角，…… 等不同面值把人民幣整理成一疊疊的，再分別數(shù)出各疊錢數(shù)，最后把各疊的錢數(shù)加起來得出這一堆人民幣的總值。這樣做，比隨意一張張地?cái)?shù)的方法要快且準(zhǔn)確的多，因?yàn)檫@種方法里滲透了分類討論的思想。 在數(shù)學(xué)中，分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，把數(shù)學(xué)的研究對(duì)象區(qū)分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想，正確應(yīng)用分類思想，是完整解題的基礎(chǔ)。而在中考中，分類討論思想也貫穿其中，幾乎在全國各地的重考試卷中都會(huì)有這類試題，經(jīng)常利用分類討論題來加大試卷的區(qū)分度，很多壓軸題也都涉及分類討論，由此可見分類思想的重要性，下面精選了幾道有代表性的試題予以說明。 二、例題導(dǎo)解： 1、（xx年上海市中考題）直角三角形的兩條邊長分別為6和8,那么這個(gè)三角形的外接圓半徑等于 .③ 這是一道比較基礎(chǔ)卻很典型的分類 討論題，關(guān)鍵是要注意題設(shè)中的“兩條邊長”。 解：①當(dāng)6、8是直角三角形的兩條直角邊時(shí)，斜邊長為10， 此時(shí)這個(gè)三角形的外接圓半徑等于╳ 10 =5 ②當(dāng)6是這個(gè)三角形的直角邊，8是斜邊時(shí)，此時(shí)這個(gè)三角形 的外接圓半徑等于╳ 8=4 2、（xx年北京市中考題）在△ABC中，∠B＝25，AD是BC邊上的高，并且，則∠BCA的度數(shù)為____________。 解：①如圖1，當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)， ∠BCA=90-25=65 ①如圖2，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)， ∠BCA=90+25=115 圖1 圖2 這是一道非常容易出錯(cuò)的題目，很多同學(xué)由于看慣了圖1所示的圖形而漏解，一些難度并不很大的題目頻頻十分很多時(shí)候就是由于缺乏分類思想。 3、（xx年濟(jì)南市中考題）如圖1，已知中，，．過點(diǎn)作，且，連接交于點(diǎn)． （1）求的長； （2）以點(diǎn)為圓心，為半徑作⊙A，試判斷與⊙A是否相切，并說明理由； A B C P E E A B C P Ｄ 圖1 圖2 （3）如圖2，過點(diǎn)作，垂足為．以點(diǎn)為圓心，為半徑作⊙A；以點(diǎn)為圓心，為半徑作⊙C．若和的大小是可變化的，并且在變化過程中保持⊙A和⊙C相切，且使點(diǎn)在⊙A的內(nèi)部，點(diǎn)在⊙A的外部，求和的變化范圍． （1）在中，， 　　　?。? 　　　　，． 　　　?。? 　　　　，． （2）與⊙A相切． 　　　　在中，，， 　　　　，． 　　　　又，， 　　　　與⊙A相切． （3）因?yàn)?，所以的變化范圍為? 　　　　當(dāng)⊙A與⊙C外切時(shí)，，所以的變化范圍為； 　　　　當(dāng)⊙A與⊙C內(nèi)切時(shí)，，所以的變化范圍為． 這是xx年濟(jì)南市的中考數(shù)學(xué)壓軸題，其中第（3）小題涉及圓的位置關(guān)系分類討論，須分內(nèi)切和外切兩種情況加以討論，只要解題時(shí)注意讀題，“相切”兩字是正確解題的關(guān)鍵字。 y x P O T 1 1 4、（xx年上海市普陀區(qū)中考模擬題）直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P（－2，－1）， 點(diǎn)T（t，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn). (1) 求點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)t取何值時(shí)，△TO是等腰三角形？ 解：（1）點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）. （2）. （a）動(dòng)點(diǎn)T在原點(diǎn)左側(cè). 當(dāng)時(shí)，△是等腰三角形. ∴點(diǎn). （b）動(dòng)點(diǎn)T在原點(diǎn)右側(cè). 此題涉及了兩個(gè)層次的分類討論，點(diǎn)的位置的分類與等腰三角形的分類，請(qǐng)注意體會(huì)。 ①當(dāng)時(shí)，△是等腰三角形. 得：. ② 當(dāng)時(shí)，△是等腰三角形. 得：點(diǎn). ③ 當(dāng)時(shí)，△是等腰三角形. 得：點(diǎn). 綜上所述，符合條件的t的值為. 5、如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB與軸,軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點(diǎn), ,點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)C作CD⊥軸于點(diǎn)D. (1)求直線AB的解析式; (2)若S梯形OBCD＝,求點(diǎn)C的坐標(biāo); (3)在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P,使得以P,O,B為頂點(diǎn)的 三角形與△OBA相似.若存在,請(qǐng)求出所有符合條件 的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 解：（1）直線AB解析式為：y=x+． （2）方法一：設(shè)點(diǎn)Ｃ坐標(biāo)為（x，x+），那么OD＝x，CD＝x+．　　 ∴＝＝． 由題意： ＝，解得（舍去） ∴　Ｃ（２，） 方法二：∵　,＝，∴． 由OA=OB，得∠BAO＝30，AD=CD． ∴?。紺DAD＝＝．可得CD＝． ∴　AD=１，OD＝２．∴C（２，）． （３）當(dāng)∠OBP＝Rt∠時(shí)，如圖 ①若△BOP∽△OBA，則∠BOP＝∠BAO=30，BP=OB=3， ∴（3，）． ②若△BPO∽△OBA，則∠BPO＝∠BAO=30,OP=OB=1． ∴（1，）． 當(dāng)∠OPB＝Rt∠時(shí) ③ 過點(diǎn)P作OP⊥BC于點(diǎn)P(如圖)，此時(shí)△PBO∽△OBA，∠BOP＝∠BAO＝30 過點(diǎn)P作PM⊥OA于點(diǎn)M． 方法一： 在Rt△PBO中，BP＝OB＝，OP＝BP＝． ∵ 在Rt△PＭO中，∠OPM＝30， ∴ OM＝OP＝；PM＝OM＝．∴（，）． 方法二：設(shè)Ｐ（x ，x+），得OM＝x ，PM＝x+ 由∠BOP＝∠BAO,得∠POM＝∠ABO． ∵tan∠POM=== ，tan∠ABO==． ∴x+＝x，解得x＝．此時(shí)，（，）． ④若△POB∽△OBA(如圖)，則∠OBP=∠BAO＝30，∠POM＝30．　　　 　 ∴　PM＝OM＝． ∴　（，）（由對(duì)稱性也可得到點(diǎn)的坐標(biāo)）． 當(dāng)∠OPB＝Rt∠時(shí)，點(diǎn)P在ｘ軸上,不符合要求. 綜合得，符合條件的點(diǎn)有四個(gè)，分別是： （3，），（1，），（，），（，）． xx年金華市的壓軸題是一道極具典型意義的試題，有一定的難度，分類的情況比較復(fù)雜，解題時(shí)要多讀試題，首先確定分類的方向，理好解題思路，做到胸有成竹，而不要急忙下筆。