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2019-2020年高考數(shù)學二輪復習 第三篇 方法應用篇 專題3.1 配方法 專題（講）理 一、配方法的定義：配方法是對數(shù)學式子進行一種定向變形（配成“完全平方”）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯(lián)系，從而化繁為簡.如何配方，需要我們根據(jù)題目的要求，合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧，完成配方.配方法是數(shù)學中化歸思想應用的重要方法之一. 二、配方法的基本步驟：配方法使用的最基本的配方依據(jù)是二項完全平方公式，具體操作時通過加上一次項系數(shù)一半的平方，配湊成完全平方式，注意要減去所添的項，最常見的配方是進行恒等變形，使數(shù)學式子出現(xiàn)完全平方.它主要適用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解等問題.如： 三、常見的基本配方形式 可得到各種基本配方形式，如： ； ； ； 結合其它數(shù)學知識和性質，相應有另外的一些配方形式，如： ； 。 本文就高中階段出現(xiàn)這類問題加以類型的總結和方法的探討. 1 配方法與函數(shù) 二次函數(shù)或通過換元能化為二次函數(shù)的函數(shù)均可用配方法求其最值.在換元的過程中要注意引入?yún)?shù)的取值范圍。 例1.【xx高考浙江文數(shù)】已知函數(shù)f（x）=x2+bx，則“b<0”是“f（f（x））的最小值與f（x）的最小值相等”的（ ） A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】 由題意知，最小值為. 令，則， 當時，的最小值為，所以“”能推出“的最小值與的最小值相等”； 當時，的最小值為0，的最小值也為0，所以“的最小值與的最小值相等”不能推出“”．故選A． 例2．【xx屆浙江省臺州中學高三上學期第三次統(tǒng)練】已知函數(shù)． （1）當時，若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍； （2）若為正整數(shù)，方程的兩個實數(shù)根滿足，求的最小值． 【答案】（1）或；（2）11． 試題解析：（1）當時， 由題意可知， 在上有兩個不等實根，或在上有兩個不等實根，則或, 解得或 即實數(shù)的取值范圍是或. （2）設，則由題意得，即 ， 所以，由于 ①當時， ，且無解， ②當時， ，且，于是無解， ③當時， ，且，由，得，此時有解， 綜上所述， ，當時取等號，即的最小值為11． 2 配方法與三角函數(shù) 在三角函數(shù)中，同角三角函數(shù)基本關系式中的平方關系及其變形 、二倍角公式及其變形為考察配方法提供了平臺， 例3.【xx屆寧夏銀川一中高三上學期第二次月考】函數(shù)f(x)＝cos2x＋sinx的最小值為________． 【答案】-2 【解析】 ，所以當 時， 取最小值 3配方法與解三角形 在解三角形中，余弦定理為考察配方法提供了平臺，因為對于三角形的三邊，如果能用一個變量給表示出來，就可以轉化為二次函數(shù)問題，可以通過配方法來解。 例4.【xx屆河北省石家莊市二?！吭谙ＥD數(shù)學家海倫的著作《測地術》中記載了著名的海倫公式，利用三角形的三條邊長求三角形面積，若三角形的三邊長為， ， ，其面積，這里．已知在中， ， ，其面積取最大值時__________． 【答案】 4 配方法與平面向量 例5.【xx屆山東省德州市高三上學期期中】已知向量. （1）當時，求的值； （2）當時， (為實數(shù)），且，試求的最小值. 【答案】(1) 或;(2) . 【解析】試題分析：（1）由可得，整理得，解方程可得的值；（2）由可得，根據(jù)數(shù)量積的計算并將代入整理得，因此，結合二次函數(shù)最值的求法可得最小值為。 試題解析： （1）∵， ∴， 整理得， 解得或. ∴或。 （2）∵， ∴， 即 當時， ， ∴ 式化簡得 ∴， ∴當時， 取得最小值，且最小值是. 5配方法與不等式 例6.【xx年高考二輪】已知不等式|y＋4|－|y|≤2x＋對任意實數(shù)x，y都成立，則常數(shù)a的最小值為( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 ∵|y＋4|－|y|≤|y＋4－y|＝4， ∴(|y＋4|－|y|)max＝4，要使不等式對任意實數(shù)x，y都成立，應有2x＋≥4， ∴a≥－(2x)2＋42x＝－(2x－2)2＋4， 令f(x)＝－(2x－2)2＋4，則a≥f(x)max＝4，∴a的最小值為4，故選D. 6 配方法與導數(shù) 例7.【xx屆廣東省深圳市高級中學高三11月考】設和是函數(shù)的兩個極值點,其中. (1)求的取值范圍; (2)若,求的最大值. 【答案】(1) . (2) 試題解析： (1)函數(shù)的定義域為 因為 所以. 由題意得方程有兩個不等的正根m,n(其中). 故,且. 所以 即的取值范圍是. (2)當時, . 設, 則, 于是有, 所以 , 令, 則. 所以在上單調(diào)遞減, 所以. 故的最大值是。 7 配方法與數(shù)列 例 8.數(shù)列{an}中，如果存在ak，使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，則稱ak為數(shù)列{an}的峰值．若an＝－3n2＋15n－18，則{an}的峰值為( ) A．0 B．4 C. D. 【答案】A 【解析】 因為an＝－3＋，且n∈N*，所以當n＝2或n＝3時，an取最大值，最大值為a2＝a3＝0.故選A. 8 配方法與立體幾何 例9.已知菱形ABCD的邊長為，∠ABC＝60，將菱形ABCD沿對角線AC折成如圖所示的四面體，點M為AC的中點，∠BMD＝60，P在線段DM上，記DP＝x，PA＋PB＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為( ) 【答案】D 【解析】由題意可知AM＝AB＝，BM＝MD＝1，∵DP＝x，∴MP＝1－x， 在Rt△AMP中，PA＝＝， 在△BMP中，由余弦定理得PB＝＝， ∴y＝PA＋PB＝＋＝＋(0≤x≤1) ∵當0≤x≤時，函數(shù)y單調(diào)遞減，當x≥1時，函數(shù)y單調(diào)遞增，∴對應的圖象為D. 9 配方法與解析幾何 例10.已知點的坐標為，是拋物線上不同于原點的相異的兩個動點，且． （1）求證：點共線； （2）若，當時，求動點的軌跡方程． 【答案】（1）證明見解析；（2）. 【解析】 （1）設，則， 因為，所以，又，所以 因為，， 且， 所以，又都過點，所以三點共線． 【反思提升】綜合上面的九種類型，配方法在高考題目中頻繁出現(xiàn)，配方法是對數(shù)學式子進行一種定向的變形技巧,由于這種配成“完全平方”的恒等變形,使問題的結構發(fā)生了轉化,從中可找到已知與未知之間的聯(lián)系,促成問題的解決.主要用于已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函數(shù)、二次代數(shù)式的討論與求解以及與最值一類有關的問題中.對于應用配方法的意識在于平時的訓練與積累。