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2019-2020年高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試試題 文(I) 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷第22—24題為選考題，其它題為必考題，共150分，考試時(shí)間120分鐘. 考生作答時(shí)，將答案在答題紙上，在本試卷上答題無(wú)效. 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.） 1．已知集合，則M∩N= （ ） A． B． C． D． 2．復(fù)數(shù)z滿足(1-i)z=+i，則|z|= （ ） A．1 B．2 C． D． 3．等差數(shù)列中，已知 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB中的橫坐標(biāo)為3，則|AB|等于 （ ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．一空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 ( ). A. B. C. D. 6．P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則P是△ABC的（ ） A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心 7．函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，且點(diǎn)A在直線上，則的最小值為 （ ） A．12 B．10 C．8 D．14 8．若函數(shù)f(x)=asinx-bcosx(a≠0)在x=處取得最小值,則函數(shù)y=f(-x)是 (　 　) A.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱 　 B.偶函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱　 D.奇函數(shù)且圖象關(guān)于點(diǎn)(π,0)對(duì)稱 9.在半圓x2+y2=4(y≥0)上任取一點(diǎn)P,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)小于1的概率是 ( ) A. B. C. D. 10．函數(shù)時(shí)，下列式子關(guān)系正確的是 （ ） A． B． C． D． 11．?dāng)?shù)列中，，且，則為 （ ） A． B． C． D． 12．設(shè)方程2x|lnx|=1有兩個(gè)不等的實(shí)根x1和x2，則 （ ） A. x1x2<0 B. x1x2=1 C. x1x2>1 D.00,b>0)左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)F2的直線交雙曲線C的右支于A，B兩點(diǎn)，如果|AF1|=3a，|BF1|=5a，則此雙曲線的漸近線方程為 _______________. 16．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，它的外接球的體積 為_(kāi)_____. 三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟） 17．（本小題滿分12分） 如圖，A、B兩點(diǎn)在河岸的南側(cè)，C、D兩點(diǎn)在河岸的北側(cè),由A點(diǎn)看B、C兩點(diǎn)時(shí)，張角為45，由A點(diǎn)看C、D兩點(diǎn)時(shí)，張角為75；由B點(diǎn)看A、D兩點(diǎn)時(shí)，張角為30，由B點(diǎn)看C、D兩點(diǎn)時(shí)，張角為45. 已知A、B兩點(diǎn)間的距離為km，求C、D兩點(diǎn)間的距離. 18．（本小題滿分12分） 某班50名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中，成績(jī)都屬于 區(qū)間[60，110], 將成績(jī)按如下方式分成五組： [60，70）,[70,80）,[80,90）, [90,100）, [100,110]. 部分頻率分布直方圖如圖所示. 成績(jī)不小于90分 的人數(shù)為20. （1）請(qǐng)補(bǔ)全頻率分布直方圖； （2）在成績(jī)屬于[60,70）和[100,110]的學(xué)生中任取 兩人，成績(jī)記為，求的概率. 19．（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AB⊥AC，且AB=1，BC=2，PA⊥底面ABCD，PA=，又E為邊BC上異于B, C的點(diǎn)，且PE⊥ED. （1）求證:平面PAE⊥平面PDE; （2）求點(diǎn)A到平面PDE的距離. 20．（本小題滿分12分） 已知定點(diǎn)C（-1，0）及橢圓，過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn). （1）若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線AB的方程； （2）在軸上是否存在點(diǎn)M，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 21．（本小題滿分12分） 已知f(x)=ax2-(b+1)xlnx-b，曲線y=f(x)在點(diǎn)P(e,f(e))處的切線方程為2x+y=0. (1)求f(x)的解析式； (2)研究函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 請(qǐng)考生在題22，23，24中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.做題時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑. 選修4-1：幾何證明選講： 22．（本小題滿分10分） 如圖5，⊙O1和⊙O2 公切線AD和BC相交于點(diǎn)D，A、B、C為切點(diǎn)，直線DO1與⊙O1與E、G兩點(diǎn)，直線DO2交⊙O2與F、H兩點(diǎn). （1）求證：△DEF∽△DHG； （2）若⊙O1和⊙O2的半徑之比為9：16，求的值. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程： 23．（本小題滿分10分） 已知曲線E的極坐標(biāo)方程為，傾斜角為α的直線l過(guò)點(diǎn)P(2，2). （1）求E的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程； （2）設(shè)l1, l2是過(guò)點(diǎn)P且關(guān)于直線x=2對(duì)稱的兩條直線，l1與E交于A, B兩點(diǎn)，l2與E交于C, D兩點(diǎn). 求證：|PA|：|PD|=|PC|：|PB|. 選修4-5：不等式選講： 24．（本小題滿分10分） 設(shè)函數(shù) （1）若函數(shù)f(x)有最大值，求a的取值范圍； （2）若a=1，求不等式f(x)<|2x-3|的解集. 參考答案 一、選擇題 1．D; 2．B; 3．B; 4．C; 5．C; 6．D; 7．A; 8．D; 9．B; 10．C; 11．B; 12．D． 二、填空題 13．①;②k=k+1； 14．1； 15．y=x； 16．． 三、解答題 17.解:∠ACB=180-45-(30+45)=60 由 及AB=得BC=……….4分 ∠ADB=180-30-(75+45)=30 由及AB=得BD=3.………….8分 CD2=BD2+BC2-2BDBCcos45=5. ∴CD=. ……….12分 18．解：（1）由圖得，成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為4人， 所以在的人為16人， 所以在的頻率為． ………2分 在的頻率為． ………4分 補(bǔ)全的頻率分布直方圖如圖所示．………6分 （2）由圖得：成績(jī)?cè)诘挠?人， 設(shè)為； 在的為4人，設(shè)為． 則所取兩人總共有： 這21種； ………9分 其中滿足有這12種 所以的概率為………12分 19．（1）DE⊥平面PAE; （2）. 20．解：（1）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為， 將代入， 消去整理得 …………2分 設(shè) 因?yàn)辄c(diǎn)（-1，0）在橢圓內(nèi)部，所以⊿﹥0 則 …………4分 由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是， 得， 解得，適合．…………．．4分 所以直線的方程為 ，或．………6分 （2）解： 假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù)． ① 當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由（Ⅰ）知 所以 …………8分 將代入，整理得 注意到是與無(wú)關(guān)的常數(shù)， 從而有， 此時(shí)…………10分 ② 當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為， 當(dāng)時(shí)， 亦有 ………11分 綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù)．………12分 21．解：（1）a=1,b=e, f(x)=x2-(e+1)xlnx-e; ………………………5分 （2）x2-(e+1)xlnx-e=0 x-(e+1)lnx-=0 ,x∈. 設(shè)g(x)= x-(e+1)lnx-, x∈, 則g’(x)= 由g’(x)=0得x1=1, x2=e, ………………………8分 當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，g’(x)>0, x∈(1,e)時(shí)，g’(x)<0, x∈(e,e4)時(shí)，g’(x)>0, 所以g(x)在(0,1)上增，在(1,e)上減，在(e,e4) 上增, ………9分 極大值g(1)=1-e<0, 極小值g(e)=-2<0, g(e4)=e4-4(e+1)-, ∵4(e+1)+<44+1=17，e4>2.74>2.54>62=36. ∴g(e4)>0. ………………………………11分 g(x)在內(nèi)有唯一零點(diǎn), 因此，f(x) 在內(nèi)有唯一零點(diǎn). …………………………12分 選修4—1：幾何證明選講： 22．（1）證明：∵AD是兩圓的公切線， ∴AD2=DEDG，AD2=DFDH, ∴DEDG= DFDH, ∴， 又∵∠EDF=∠HDG，∴△DEF∽△DHG.………………………4分 （2）連結(jié)O1 A，O2A，∵AD是兩圓的公切線， ∴O1A⊥AD，O2A⊥AD， ∴O1O2共線， ∵AD和BC是⊙O1和⊙O2公切線，DG平分∠ADB， DH平分∠ADC， ∴DG⊥DH，∴AD2= O1AO2A， ………………………8分 設(shè)⊙O1和⊙O2的半徑分別為9x和16x，則AD=12x， ∵AD2=DEDG，AD2=DFDH， ∴144x2=DE（DE+18x），144x2=DF（DF+32x） ∴DE=6x，DF=4x，∴. ………………………10分 選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程： 23．解：（1）E:x2=4y(x≠0), l: (t為參數(shù)) ………5分 （2）∵l1, l2關(guān)于直線x=2對(duì)稱, ∴l(xiāng)1, l2的傾斜角互補(bǔ).設(shè)l1的傾斜角為α，則l2的傾斜角為π-α, 把直線l1:(t為參數(shù))代入x2=4y并整理得： t2cos2α+4(cosα-sinα)t-4=0, 根據(jù)韋達(dá)定理，t1t2=,即|PA||PB|=.……8分 同理即|PC||PD|==. ∴|PA||PB|=|PC||PD|, 即|PA|：|PD|=|PC|：|PB|. ……10分 選修4—5：不等式選講： 24．解：（1）,………………………2分 ∵f(x)有最大值， ∴1-a≥0且1+a≤0, ………………………4分 解得a≤-1. 最大值為f(2)=2 ……………………5分 （2）即|x-2|-|2x-3|+x>0. 設(shè)g(x)= |x-2|-|2x-3|+x=, …………7分 由g(x)>0解得x>. 原不等式的解集為{x|x>}. ………………………10分